Системы счисления, используемые в компьютере

Системы нумерации

1. Египетская

2. Алфавитная

3. Древнегреческая

4. Славянская кириллическая

5. Римская

6. Арабская

 

Счёт появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов.

Сначала люди просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много».

Первыми понятиями математики были " меньше", " больше" и " столько же". Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Самым простым инструментом счета были пальцы на руках человека. С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10. Одна из таких систем счета впоследствии и стала общеупотребительной - десятичная.

В древние времена люди ходили босиком.

Поэтому они могли использовать для счета пальцы как рук, так и ног. Таким образом они могли, казалось бы, считать лишь до двадцати.

Но с помощью этой «босоногой машины» люди могли достигать значительно больших чисел: 1 человек – это 20, 2 человека - это два раза по 20 и т.д. До сих пор существуют в Полинезии племена, которые для счета используют 20-ричную систему счисления. Запомнить большие числа было трудно, поэтому к «счётной машине» рук и ног добавляли механические приспособления. Способов счета было придумано немало. В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации. Например, перуанцы употребляли для запоминания чисел разноцветные шнуры с завязанными на них узлами. Для запоминания чисел использовались камешки, зёрна, ракушки и т.д.

С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена. Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения. С операцией умножени я люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян. Когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми «ртами», выполнялась операция деления.

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди научились считать. Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине и т.д. Люди рисовали палочки на стенах и делали зарубки на костях животных или ветках деревьев. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10-11 тыс. лет до н.э.). Этот способ записи чисел называют единичной («палочной», «унарной») системой счисления. Любое число в ней образуется повторением одного знака – единицы.

Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем большие числа становились им нужны. Единична запись для таких чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа. Появились специальные обозначения для «пятерок», «десяток», «сотен» и т.д.

 

Египетская нумерация

Очень наглядной была система таких знаков у египтян. Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад. Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку.

Умножение и деление они производили путем последовательного удвоения чисел – фактически представлением числа в двоичной системе.

 

Алфавитная нумерация

В середине 5 века до н.э. появилась запись чисел нового типа, так называемая алфавитная нумерация.

В этой системе записи числа обозначались при помощи букв алфавита, над которыми ставились черточки: первые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять - числа 10, 20, 30, ..., 90, и следующие девять - числа 100, 200, ..., 900. Таким образом, можно было обозначать любое число до 999.

 

Древнегреческая нумерация

Запись алфавитными символами могла делаться в любом порядке, так как число получалось как сумма значений отдельных букв.

Например, записи φ λ β, β φ λ и φ β λ эквивалентны и означают число 532.

Однако выполнять арифметические вычисления в такой системе было настолько трудно, что без применения каких-то приспособлений оказалось обойтись практически невозможно.

 

Славянская кириллическая нумерация

 

Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. Если посмотреть внимательно, то увидим, что после " а" идет буква " в", а не " б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите.

Чтобы различать буквы и цифры, над числами ставился особый значок – титло (~). Так можно было записывать числа до 999. Для больших чисел использовался знак тысяч ≠, который ставился впереди символа, обозначавшего число. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

 

Римская нумерация

 

Это нумерация, известная нам и в настоящее время. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов и т. д.

Возникла эта нумерация в древнем Риме. В ней имеются узловые числа: один, пять и т. д. Остальные числа получались путем прибавления или вычитания одних узловых чисел из других.

Например, четыре записывается как IV (пять минус один), восемь – VIII (пять плюс три), сорок – XL (пятьдесят минус десять), девяносто шесть – XCVI (сто минус десять плюс пять и плюс еще один) и т. д.

 

Арабская нумерация

Это самая распространенная на сегодняшний день нумерация, которой мы пользуемся в настоящее время.

Применяемые в настоящее время цифры 1234567890 сложились в Индии около 400 г. н.э. Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н.э., а примерно в 1200 г.н.э. ее начали применять в Европе, однако в Европе они стали известны благодаря трудам арабских математиков, и потому за ними утвердилось название «арабские», хотя сами арабы вплоть до настоящего времени пользуются совсем другими символами.

В России арабская нумерация стала использоваться при Петре I (до конца XVII века сохранилась славянская нумерация).

В древней Индии и Китае существовали записи, построенные на мультипликативной принципе. В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда.

Если десятки обозначить символом Д, а сотни – С, то число 325 будет выглядеть так: ЗС2Д5.

Между II и VI вв.н.э. индийцы познакомились с греческой астрономией. Индийцы и соединили греческие принципы нумерации со своей десятичной мультипликативной системой.

Из арабского языка заимствовано и слово " цифра" (по-арабски " сыфр" ), означающее буквально " пустое место". Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохранялся до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин " нуль" (nullum – ничто).

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся, установилась в XVI веке.

По мнению марроканского историка Абделькари Боунжира арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры.

 

Система счистления

 

Система счисления – совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами. Количество цифр (знаков), используемых для представления чисел называют основанием систем счисления.

Сегодня мы настолько сроднились с 10-ной системой счисления, в которой десять цифр, что не представляем себе иных способов счёта. Но до наших дней сохранились следы счета шестидесятками. Ведь до сих пор мы делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Окружность делят на 360 (то есть 6*60) градусов, градус – на 60 минут, а минуту – на шестьдесят секунд.

В сутках 24 часа, а в году 365 дней. Таким образом, время (часы и минуты) мы считаем в 60-ной системе, сутки – в 24-ной, недели – в 7-ной.

Системы счисления делятся на:

• Позиционные – системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число (десятичная, двоичная и т.д.).

• Непозиционные – системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа (древнегреческая, кириллическая, римская).

В римской записи числа важно не собственное положение цифры, а где она стоит относительно другой цифры: записи XII и IX. Здесь в обоих случаях цифра « I » стоит на 2-ом месте справа, но в одном случае ее нужно прибавлять к 10, а в другом вычитать.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, в числе 53 цифра «5» в разряде десятков дает числу вклад в 50 единиц (5*10). Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Число 444 записано тремя одинаковыми цифрами, но каждая из них имеет свое значение: четыре сотни, четыре десятка и четыре единицы. То есть его можно записать вот так:

• 444 = 4 х 100 + 4 х 10 + 4 х 1;

• 444 = 4 х 10² + 4 х 10¹+4 х 10⁰.

Нетрудно заметить, что если обозначить цифры числа как а₂, а₁ и а₀, то любое трехзначное число может быть представлено в виде:

• N = а₂ х 10² + а₁ х 10¹ +а₀ х 10⁰.

Число 10, степени которого используются в этой формуле (и именно столько разных цифр есть в десятичной системе), называют основанием системы счисления, а степени десятки - весами.

 

Кодирование

 

Кодирование – процесс отображения дискретных сообщений сигналами в виде определенных сочетаний символов. Кодирование – процесс шифрования.

Шифрование – процесс перевода текстов, цифровых и других данных в зашифрованную форму с целью ограничения доступа к их содержанию нежелательных лиц, организаций и т.д.

Дешифрование – процесс преобразования закодированных текстов, цифровых и других данных в их первоначальную или другую удобную для чтения форму.

 

Звуковые файлы

Звуковые файлы – файлы, содержащие цифровую запись аудиоданных (голоса, музыкальных произведений или их фрагментов и других звуков любой природы). Существует два основных типа звуковых файлов:

• с оцифрованным звуком (digitized sound files) – *.snd, *.mp3, *.pcm, *.wav.

• нотной записью – *.amf, *.mid, *.mod, *.org.

 

Студийная звукозапись

Все серьезные современные музыкальные коллективы, записываются на студиях, что позволяет получить музыкальные треки очень высокого качества. Соответственно и требования к студийной аппаратуре, помещению и персоналу очень высокие. К примеру, 1 метр профессионального студийного кабеля стоит порядка 500 долларов, и выше.

Системы нумерации

1. Египетская

2. Алфавитная

3. Древнегреческая

4. Славянская кириллическая

5. Римская

6. Арабская

 

Счёт появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов.

Сначала люди просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много».

Первыми понятиями математики были " меньше", " больше" и " столько же". Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Самым простым инструментом счета были пальцы на руках человека. С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10. Одна из таких систем счета впоследствии и стала общеупотребительной - десятичная.

В древние времена люди ходили босиком.

Поэтому они могли использовать для счета пальцы как рук, так и ног. Таким образом они могли, казалось бы, считать лишь до двадцати.

Но с помощью этой «босоногой машины» люди могли достигать значительно больших чисел: 1 человек – это 20, 2 человека - это два раза по 20 и т.д. До сих пор существуют в Полинезии племена, которые для счета используют 20-ричную систему счисления. Запомнить большие числа было трудно, поэтому к «счётной машине» рук и ног добавляли механические приспособления. Способов счета было придумано немало. В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации. Например, перуанцы употребляли для запоминания чисел разноцветные шнуры с завязанными на них узлами. Для запоминания чисел использовались камешки, зёрна, ракушки и т.д.

С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена. Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения. С операцией умножени я люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян. Когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми «ртами», выполнялась операция деления.

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди научились считать. Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине и т.д. Люди рисовали палочки на стенах и делали зарубки на костях животных или ветках деревьев. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10-11 тыс. лет до н.э.). Этот способ записи чисел называют единичной («палочной», «унарной») системой счисления. Любое число в ней образуется повторением одного знака – единицы.

Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем большие числа становились им нужны. Единична запись для таких чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа. Появились специальные обозначения для «пятерок», «десяток», «сотен» и т.д.

 

Египетская нумерация

Очень наглядной была система таких знаков у египтян. Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад. Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку.

Умножение и деление они производили путем последовательного удвоения чисел – фактически представлением числа в двоичной системе.

 

Алфавитная нумерация

В середине 5 века до н.э. появилась запись чисел нового типа, так называемая алфавитная нумерация.

В этой системе записи числа обозначались при помощи букв алфавита, над которыми ставились черточки: первые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять - числа 10, 20, 30, ..., 90, и следующие девять - числа 100, 200, ..., 900. Таким образом, можно было обозначать любое число до 999.

 

Древнегреческая нумерация

Запись алфавитными символами могла делаться в любом порядке, так как число получалось как сумма значений отдельных букв.

Например, записи φ λ β, β φ λ и φ β λ эквивалентны и означают число 532.

Однако выполнять арифметические вычисления в такой системе было настолько трудно, что без применения каких-то приспособлений оказалось обойтись практически невозможно.

 

Славянская кириллическая нумерация

 

Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. Если посмотреть внимательно, то увидим, что после " а" идет буква " в", а не " б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите.

Чтобы различать буквы и цифры, над числами ставился особый значок – титло (~). Так можно было записывать числа до 999. Для больших чисел использовался знак тысяч ≠, который ставился впереди символа, обозначавшего число. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

 

Римская нумерация

 

Это нумерация, известная нам и в настоящее время. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов и т. д.

Возникла эта нумерация в древнем Риме. В ней имеются узловые числа: один, пять и т. д. Остальные числа получались путем прибавления или вычитания одних узловых чисел из других.

Например, четыре записывается как IV (пять минус один), восемь – VIII (пять плюс три), сорок – XL (пятьдесят минус десять), девяносто шесть – XCVI (сто минус десять плюс пять и плюс еще один) и т. д.

 

Арабская нумерация

Это самая распространенная на сегодняшний день нумерация, которой мы пользуемся в настоящее время.

Применяемые в настоящее время цифры 1234567890 сложились в Индии около 400 г. н.э. Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н.э., а примерно в 1200 г.н.э. ее начали применять в Европе, однако в Европе они стали известны благодаря трудам арабских математиков, и потому за ними утвердилось название «арабские», хотя сами арабы вплоть до настоящего времени пользуются совсем другими символами.

В России арабская нумерация стала использоваться при Петре I (до конца XVII века сохранилась славянская нумерация).

В древней Индии и Китае существовали записи, построенные на мультипликативной принципе. В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда.

Если десятки обозначить символом Д, а сотни – С, то число 325 будет выглядеть так: ЗС2Д5.

Между II и VI вв.н.э. индийцы познакомились с греческой астрономией. Индийцы и соединили греческие принципы нумерации со своей десятичной мультипликативной системой.

Из арабского языка заимствовано и слово " цифра" (по-арабски " сыфр" ), означающее буквально " пустое место". Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохранялся до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин " нуль" (nullum – ничто).

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся, установилась в XVI веке.

По мнению марроканского историка Абделькари Боунжира арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры.

 

Система счистления

 

Система счисления – совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами. Количество цифр (знаков), используемых для представления чисел называют основанием систем счисления.

Сегодня мы настолько сроднились с 10-ной системой счисления, в которой десять цифр, что не представляем себе иных способов счёта. Но до наших дней сохранились следы счета шестидесятками. Ведь до сих пор мы делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Окружность делят на 360 (то есть 6*60) градусов, градус – на 60 минут, а минуту – на шестьдесят секунд.

В сутках 24 часа, а в году 365 дней. Таким образом, время (часы и минуты) мы считаем в 60-ной системе, сутки – в 24-ной, недели – в 7-ной.

Системы счисления делятся на:

• Позиционные – системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число (десятичная, двоичная и т.д.).

• Непозиционные – системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа (древнегреческая, кириллическая, римская).

В римской записи числа важно не собственное положение цифры, а где она стоит относительно другой цифры: записи XII и IX. Здесь в обоих случаях цифра « I » стоит на 2-ом месте справа, но в одном случае ее нужно прибавлять к 10, а в другом вычитать.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, в числе 53 цифра «5» в разряде десятков дает числу вклад в 50 единиц (5*10). Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Число 444 записано тремя одинаковыми цифрами, но каждая из них имеет свое значение: четыре сотни, четыре десятка и четыре единицы. То есть его можно записать вот так:

• 444 = 4 х 100 + 4 х 10 + 4 х 1;

• 444 = 4 х 10² + 4 х 10¹+4 х 10⁰.

Нетрудно заметить, что если обозначить цифры числа как а₂, а₁ и а₀, то любое трехзначное число может быть представлено в виде:

• N = а₂ х 10² + а₁ х 10¹ +а₀ х 10⁰.

Число 10, степени которого используются в этой формуле (и именно столько разных цифр есть в десятичной системе), называют основанием системы счисления, а степени десятки - весами.

 

Системы счисления, используемые в компьютере

• Двоичная (0, 1). Является основной системой представления информации в памяти компьютера.

• Восьмеричная (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

• Шестнадцатеричная (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г. В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.

Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием.

Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов.

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

- для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, как в десятичной;

- представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

- двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы – быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Для программистов удобнее работать с более компактной записью. Такими системами и являются 8-ая и 16-ая.

 

Кодирование

 

Кодирование – процесс отображения дискретных сообщений сигналами в виде определенных сочетаний символов. Кодирование – процесс шифрования.

Шифрование – процесс перевода текстов, цифровых и других данных в зашифрованную форму с целью ограничения доступа к их содержанию нежелательных лиц, организаций и т.д.

Дешифрование – процесс преобразования закодированных текстов, цифровых и других данных в их первоначальную или другую удобную для чтения форму.

 

Поделиться: