Производная сложной функции.

Производная сложной функции.

Пусть дана сложная функция у=g(u), где u=f(x).

Если функция u=f(x) дифференцируема в некоторой точке х, а функция у=g(u) определена на множестве значений функции f(x) и дифференцируема в точке u=f(x), то сложная функция у=g(f(x)) в данной точке x имеет производную, которая находится по формуле

У’= g’(u)•f’(x).

Пример:

У’=((1+x²)⁵)’=5•(1+x²)⁴•2x

Приложение производной к исследованию функций.

Касательная и нормаль к плоской кривой. Скорость и ускорение.

Касательная и нормаль к плоской кривой.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. k = f ' (х0) = tgα Уравнение касательной к графику функции

у = f(x)в точке М(х₀; f(x₀)) имеет вид

у = f(x₀)+ f '(x₀)(х – х₀).

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания М(х0; f(x0)), называется нормалью к кривой.

Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Возрастание и убывание функции.

Интервалы, на которых функция только возрастает или же только убывает, называются интервалами монотонности функции, а сама функция называется монотонной на этих интервалах.

Максимум.

Функция y=f(x) имеет максимум х=а, если при всех х, достаточно близких к а, выполняется неравенство f(a)> f(x).

Признаки максимума:

1. f’(a)=0;

2. f’(x) при переходе аргумента через х=а, меняет знак с «+» на «-».

Минимум.

y=f(x) имеет минимум х=а, если при всех х, достаточно близких к а, выполняется неравенство f(a)< f(x).

Признаки максимума:

3. f’(a)=0;

4. f’(x) при переходе аргумента через х=а, меняет знак с «-» на «+».

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; в]. Тогда она принимает как наибольшее, так и наименьшее значения на этом отрезке.

При решении этой задачи возможны два случая:

1) либо наибольшее (наименьшее) значение функции достигается внутри отрезка и тогда эти значения окажутся в числе экстремумов функции;

2) либо наибольшее (наименьшее) значение функции достигается на концах отрезка [а; в].

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной на отрезке [а; в] функции:

1. Найти все критические точки, принадлежащие промежутку [а; в], и вычислить значения функции в этих точках.

2. Вычислить значения функции на концах отрезка [а; в], т.е. найти f(а) и f(в).

3. Сравнить полученные результаты; наибольшее из найденных значений является наибольшим значением функции на отрезке [а; в]; аналогично, наименьшее из найденных значений есть наименьшее значение функции на этом отрезке.

Например. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

у =х⁵– 5х⁴ +5х³+ 3 на отрезке [- 1; 2].

Решение:

1. Находим критические точки, принадлежащие интервалу (- 1; 2) и значения функции в этих точках:

у' =5 х⁴- 20х³ + 15х²; 5 х⁴- 20х³ + 15х² = 0; 5х²(х²– 4х + 3) = 0;

х¹= 0, х² = 1, х³ = 3.

Критическая точка х³ = 3 не принадлежит заданному отрезку.

2. Вычисляем значения функции в двух других критических точках:

у(0) = 3, у(1) = 4.

3. Вычислим значения функции на концах заданного отрезка:

у(- 1) = - 8, у(2) = - 5.

4. Сравнивая полученные результаты, делаем вывод, что

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Пусть у = F(x) имеет производную у' = f (х), тогда ее дифференциал

dy = f (x) dx

Функция F(x) по отношению к ее дифференциалу f(x) dx называется первообразной.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x) = f (x). Дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Пусть F(x) - первообразная для дифференциала f (x) dx.

Тогда:

(F(x) + С)' = F'(x) + С' = f (x) + 0 = f (x) , где С - постоянная.

Определение: совокупность всех первообразных функций F(x)+С для дифференциала f (x) dx называется неопределенным интегралом и обозначается .

= F(x)+С, где - подынтегральное выражение.

С- постоянная интегрирования. Процесс нахождения первообразной называется интегрированием. Формулы интегрирования

Определенный интеграл.

Определенный интеграл от неотрицательной функции с геометрической точки зрения равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых х=а, х=b, снизу отрезком [a; b] Ох

Вычисление площадей

Фигура, ограниченная кривой у = f (x), осью абсцисс и двумя прямыми, перпендикулярными к оси абсцисс, называется криволинейной трапецией. Отрезок [a; b] называется основанием криволинейной трапеции. Различные примеры криволинейных трапеций приведены на рисунках а – г.

Площадь фигуры, ограниченной кривой у = f (x), где f (x) > 0, осью ОХ и двумя прямыми х = а и х = b, выражается определенным интегралом: