Элементы логики. Алгебра логики.

Логика – начало любой научной теории; наука о способах мышления приводящих к истине. Основы заложены древнегреческими философами: парменид, зенон, сократ. Аристотель – создатель теории логики. Затем логикой занимались паскаль рассел гильберт. В последние десятилетия логика широко применялась в технике при разработке вычислительных машин, в теории вероятностей, комбинаторном анализе. Она внедряется в экономику, биологию, медицину, психологию, право. Основной потребитель логики – математик, так как все утверждения в ней доказываются с помощью умозаключений.
логические высказывания это всякое повествовательное предложение утверждающее что-либо о чем либо и при этом мы можем сказать истинно оно или ложно в данных условиях. Логическое значение – понятие истина или ложь. Алгебра логики – мат аппарат с помощью которого записывают вычисляют упрощают и преобразовывают логические высказывания. Операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.
1. Отрицание – высказывание противоположное исходному (не икс)
2. Конъюнкция – новое высказывание которое считается стинным если оба высказывания истинны и ложным если одно из них ложно.(xVy)
3. Дизъюнкция – новое высказывание которое считается истинным если хоть одно истинно и ложным если оба ложные
4. Импликация – следование, из истины следует ложь. (=> )
5. Эквивалентность – равносильность (ó тогда и только тогда)

15. Основные элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.
комбинаторика – раздел математики в котором изучается вопрос о том сколько различных комбинаций подчиненных тем или иным условиям можно составить из элементов данного множества. Выборки элементов. Выборка – некий набор составленный из элементов данного множества по определенному правилу.
1. Размещения. Anm (размещение из n по m) – выборки содержащие м элементов выбранных из н элементного множества и отличающаяся одна от другой составом элементов либо порядком их расположения.
2. Перестановки. Перестановками из н элементов называются размещения у которых м=н, отличающиеся только порядком следования элементов. Pn=Amn=n!
3. Сочетание. Сочетания из н по м называют любые м-элементные подмножества н-элементного множества.

Предмет и задачи теории вероятности. Области применения методов теории вероятностей.

ТВ – раздел математики в котором изучаются закономерности присущие массовым случайным явлениям. Методы ТВ применяются при мат обработке результатов измерений а также в экономике, статистике, страховке, массовом обслуживании. Первые работы в которых зарождались основные понятия ТВ представляли собой попытки создания теории азартных игр (паскаль, ферма, гюйгенс). Задачи ТВ заключается в построении вероятностных моделей случайных экспериментов. Вероятностная модель позволяет придать строгий математический смысл таким словам как случайность событие вероятность правдоподобный, и оценить шансы на появление различных резултатов возможных в случайном эксперименте.

Основные элементы теории вероятностей. Случайные события: понятия, виды случайных событий.

ТВ – раздел математики в котором изучаются закономерности присущие массовым случайным явлениям. Опыт эксперимент наблюдение называются испытанием. Испытаниями может быть бросание монеты или выстрел из винтовки. Результат испытания называется событием. Событиями являются: выпадение орла или решки, попадание в цель или промах. События бывают трех видов: достоверные (если в данном испытании является единственным возможным исходом), случайные (в данном испытании могут произойти а могут не произойти) и невозможные (если в данном испытании оно произойти не может), противоположные ( события не совместны и одно из них обязательно происходит). Также события могут быть совместными и несовместными. Два события называются совместными если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. Два события называются несовместными если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Вероятность случайного события: определение, способы вычисления вероятности.

Вероятность события А — число Р(А), характеризующее возможность появления этого события. По определению, О < Р(А) < 1. Вероятность невозможного события равна нулю, вероятность достоверного события равна единице. Иногда вероятность выражают в процентах.

Суммой событий А и В называется событие

С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий

А или В. Аналогично определяется сумма большего числа событий. На-

пример, появление четной грани кости есть сумма трех событий: выпаде-

ния 2, или 4, или 6.

Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошли и

событие А, и событие В.

Условная вероятность — вероятность появления события А при ус-

ловии, что произошло событие В, обозначается £ VA| Вероятность про-

изведения событий вычисляется с помощью условных вероятностей по

формуле

Р(А и В) = Р(А) х РА (В) = Р(В) х Рв (А).

Теорема сложения несовместных событий.

Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Доказательство
Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 — число исходов, благоприятствующих событию A; m2— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1 + m2. Следовательно,

Р (A + В) = (m1 + m2) / n = m1 / n + m2 / n.

Приняв во внимание, что m1 / n = Р (А) и m2 / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A1 + A2 +... + An) = Р (A1) + Р (A2) +... + Р (An).
20. Полная группа событий. Противоположные события.

Теорема. Сумма вероятностей событий А1, А2, ..., Аn, образующих полную группу, равна единице:
Р (A1) + Р (А2) +... + Р (Аn) = 1.
Противоположные события.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать Ā
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. Теорему о полной группе событий).
З а м е ч а н и е 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы
p + q = l
З а м е ч а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле

Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Р(А и В)=Р(АВ)=Р(А)хР(В)

Произведением события А и В будет событие С=АВ состоящие из например попадания в мешен двух стрелков.

Произведение несовместных событий невозможно.

22. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
Условная вероятность- вероятность появления события А при условии что произошло событие В. Вероятность произведений событий обычно вычисляется по формуле

Р(А и В)=Р(А)х Р­А(В­) =Р (В)х Р ­В(А)

Для зависимых событий

Р(АиВ)=Р(А)х Р­А(В­)=Р(В)х Р ­В(А)

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема совместных событий- значит попадание хотя бы одного из испытыемых(может больше) рассчитывается по формуле

Р(А или В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Формула полной вероятности.

События H1, H2, …, Hn образуют полную группу событий, если они попарно несовместимы и вместе образуют достоверное событие.

Теорема. Если события H1, H2, …, Hn образуют полную группу, а событие A происходит в результате появления одного и только одного из событий Hi, то используется формула:

Р(А)= (Н­I­)Р­(A/Hi) (Н­I­)=1

H­I= ­Это выбор i (урны к примеру)

Теорема Байеса.

Определяет вероятность наступления события в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях

Т. Пусть рассматриваются Н1, Н2…Нn – гипотезы образующие полную группу и событие А которое может наступить если произойдет одно из событий Hi тогда условные вероятности гипотез можно вычислить по формуле P(A/B)= P(B/A)P(A)/P(B)

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: