Вопрос№17 Угол между прямой и плоскостью в пространстве.

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

s = {l; m; n}

и уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

sin φ =	\| A · l + B · m + C · n \|
√ A² + B² + C² · √ l² + m² + n²

Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью

Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой

s = {l; m; n}

Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид

q = {A; B; C}

Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

cos ψ =	\| q · s \|
\| s \| · \|q \|

Так как φ = 90° - ψ, то синус угла между прямой и плоскостью sin φ = cos ψ.

Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.

ПРЕДЕЛЫ 1.Последовательность (определение). Определение предела последовательности. Числовая последовательность – это функция натурального аргумента:

Числа

называются членами последовательности, а число

– общим или n-ным членом данной последовательности. Например: 2, 4, 6, 8, …, 2n. Число

называется пределом последовательности

, если для любого

существует номер

, зависящий от

такой, что для любого

выполняется неравенство

Последовательность

называется ограниченной сверху, если существует такое число M> 0, что для любого номера

Монотонные последовательности: Последовательность

называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

— неубывающая

Последовательность

называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

— невозрастающая

Теорема. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел (М). Последовательность

называется бесконечно малой, если

, т.е.

. Пример:

Последовательность

называется бесконечно большой, если

, или

. Пример:

2.Определение предела функции, определения односторонних пределов. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке (сформулировать). 1) Определение предела ф-ции в точке Число А называется пределом ф-ции f(x) в точке x=a (

) ó

: ∀ х ∈ Ủ (a, δ ) =>

Замечание. Ủ - проколотой δ -окрестностью точки а называется следующее множество: Ủ (a, δ ) = (а – δ; а)∪ (а; а + δ ) Из определения пределов ф-ции следует, что чем ближе значение х к точке а, тем меньше различаются значение ф-ции и значение предела А. 2) Определение пределов ф-ции на +∞

Из определения следует, что чем больше значение х, тем меньше различаются значение ф-ции и значение предела А. 3) Определение пределов ф-ции на

∞ Число А называется пределом ф-цииf(x) при х, стремящемся к минус бесконечности

х< S =>

Из определения следует, что чем меньше значение х, тем меньше различаются значение ф-ции и значение предела А. Определение односторонних примеров. Пределом слева ф-ции f(x) в точке х=а называется число А (

: ∀ х ∈ (a- δ; a) =>

Иначе можно обозначить предел слева f(a-0). Пределом справа ф-ции f(x) в точке х=а называется число В (

: ∀ х ∈ (а; а+ δ ) =>

Иначе можно обозначить f(a+0). Теорема. Необходимое и достаточное условие существования пределов ф-ции в точке. Для того, чтобы в точке х=

существовал предел, необходимо и достаточно существование обоих односторонних пределов, равных между собой

3.Теорема о единственности предела. Теоремы о свойствах ф-ций, имеющих предел. Теорема. Если функция

в точке

имеет предел, то этот предел единственный. Докажем методом от противного. Предположим, что

. Возьмём

, по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая

-окрестность точки

(

), в которой одновременно будут выполнятся неравенства

, тогда в точках этой же окрестности

Получили противоречие

. Отсюда, функция

в точке

имеет единственный предел. Основные теоремы о пределе ф-ций. 1) Пусть ф-ция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х=а и принимает в этой окрестности постоянное значение f(x)=C, тогда предел ф-ции также равен С:

2) Пусть ф-ция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х=а и для всех Х в этой окрестности выполняется неравенство f(x)> p (или f(x)< p) Тогда, если в точке а существует предел, то он ≥ p (или ≤ p). Следствие: если в некоторой окрестности точки х=а ф-ция положительна, то пределом, если он есть, будет число неотрицательное ( ≥ 0 ). А если ф-ция отрицательная, то предел неположительный ( ≤ 0 ). 3) Пусть ф-ция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х=а и существует

a. Тогда, если M≤ A≤ N, то существует окрестность, для которой M≤ f(x)≤ N. Следствие: если ф-ция имеет предел, то она ограниченна в некоторой окрестности точки. 4) Теорема о пределе промежуточной ф-ции. Пусть ф-ции y=f(x), y=φ (x), y=ψ (x) определены в некоторой окрестности точки х=а и пусть для всех х из этой окрестности выполняется: φ (x) ≤ f(x) ≤ ψ (x). Тогда, если существуют пределы

=А, тогда существует и предел

=А. Доказательство. Из определения 1 предела ф-ции в точке следует:

=А ó

Ủ (a;

) => |

-A|<

Для другой ф-ции:

=А ó

Ủ (a;

) => | ψ (x) -A|<

Рассмотрим неравенство из условия: φ (x) ≤ f(x) ≤ ψ (x). Тогда: |f(x) – A| ≤ max

≤

, если взять значения х из интервала Ủ (а;

), где

. Это и означает существование пределов ф-ций f(x) в точке х=а. 4.Бесконечно малые и бесконечно большие функции (определения). Теорема о связи б.м. и б.б. функций. Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→ a или при x→ ∞, если

или

, т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Функция называется бесконечно большой при , если . Теорема. Теорема о представлении ф-ции. Пусть ф-ция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х=а

, где

- б.м.ф. при х

а Доказательство. По определению предела ф-ции

Ủ (a;

=> |f(x) – A|<

(f(x) – A=

) ó

Ủ (a;

=> |

-0|<

следовательно

- б.м.ф. при

Это равносильно

, где

- б.м.ф. при

. Замечание. Теорема позволяет доказывать утверждение, не прибегая к определению предела. Теорема. Связь между б.м. и б.б. функциями. 5. Свойства б.м.ф. (без доказательств). Сравнение б.м.ф.; эквивалентные функции. Основные свойства б.м.ф. 1) Сумма конечного числа б.м.ф. при

есть б.м.ф.при

б.м.

2) Произведение ограниченной функции на б.м.ф. при

есть б.м.ф. при

огр.пос-ность * б.м.п. = б.м.п. 3)Произведение конечного числа б.м.ф. при

есть б.м.ф. при

Сравнение б.м.ф. Пусть

– б.м.ф. при

и пусть существует

, тогда: 1) при А=0,

называется б.м.ф. более высокого порядка, чем

2) при А=∞,

называется б.м.ф. более низкого порядка, чем

3) при А=1,

называются эквивалентными б.м. Обозначается

при

4) при А=const, А

называются б.м. одного порядка 5) если предел не существует, то

называются несравнимыми б.м. Таблица эквивалентности функций (

) й Теорема. Пусть

- б.м.ф. при

; и пусть

при

, тогда

6. Основные свойства пределов (арифметические) Теорема. Арифметические свойства пределов. Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки х=

и пусть существует

Доказательство. Из теоремы о представлении функций следует, что

б.м.ф.;

; 𝑓

Следовательно по теореме о представлении функций

. Остальные пункты аналогичны. 7. 1-й и 2-й замечательные пределы. Примеры их применения. 1-й замечательный предел.

Замечания: 1) 1-й замечательный предел раскрывает неопределенность вида

; 2) На практике удобнее этот предел применять в виде

Например. 2-й замечательный предел.

Замечания: 1) Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида

; 2) На практике удобнее представлять этот предел в виде

Например. 8. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки

. Функция называется непрерывной в точке

, если выполнены следующие условия: 1) функция определена в точке

т.е.

; 2)

; 3)

. Использую данное определение непрерывности, можно вывести другое определение: рассмотрим 3 пункт определения и учтем теорему о представлении функции

при

– второе определение непрерывности функции в точке. Если нарушено хотя бы одно условие первого определения непрерывности функции в точке, то

называется точкой разрыва. Если в точке

существуют оба односторонних предела (конечных числовых), то

называется точкой разрыва 1 рода. 1) Точка разрыва 1 рода – «скачок»

2) Точка разрыва 1 рода – «устранимая»

Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва 1 рода, являются точками разрыва 2 рода (если хотя бы один предел не существует или равен бесконечности). 9.Свойства функция, непрерывных на отрезке (сформулировать). Если функция f(x) непрерывна в каждой точке х

М, то ее называют непрерывной на множестве М. Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке

, если выполнены следующие условия: 1) она непрерывна в каждой точке х из интервала (а; b); 2)

;

. Теорема. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Пусть y=f(x) определена и непрерывна на отрезке

, тогда: 1) она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения; 2) если на концах отрезка функция принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна такая точка х=с

(a; b), для которой f(c)=0; 3) если на концах отрезка функция принимает неравные между собой значения А и В (A< B), то она принимает и любое промежуточное значение С

(А; В) в некоторой точке х=с

(а; b). Теорема. Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны на некотором множестве М, тогда непрерывными будут и следующие функции: 1)

, при g(x)

0 для всех х

М.

Диффернцирование 1) . Определение производной. Теорема о связи непрерывности и дифференцирования. Пусть функ. у=f(x) определено в некоторой окрестности точки х0 в этой точке сущ. производная функц. f(x), если существует след. предел (конечный) Limd(x0+Δ x)-d(x0)=f ‘ (x0) x-0 где Δ x-приращение аргументов Δ у= d(x0+Δ x)-d(x0)-приращение функции Связь производной и непрерывности.если функция у=f(x) определена в окрестности х0 имеет в этой точке производную, то она не прерывна в точке х0. 2).геометрический смысл производной. производная в т. х0=tg угла наклонной косательной к положительному направления оси ох.Если в точке х0 сущ. невертикальная косательная, то существует и производная И ОБРАТНОЕ 3)Основные правила дифференцирования. Производная сложной функций. Производная параметрически заданной функции

производная сложной функции.пусть функция у=у(х) диффернц. на множестве х, а функция х=х(t) диффернц на множестве Т, тогда для вычисления производной сложной функции y=(y(x(t)) – y(x(t)))’=y’x*x’t производная параметрически заданной функции.Пусть функц. задана в параллели виде у=у(t) х=х(t), где х(t) и y(t) дифференцфункц. параметра t.тогда производная y’(t) находят по формуле Y’x=y’(t): x’(t) 5)Производная показательно-степенной функции. функция вида у=И(х)^t(x) показательно степенная.длядиффернцирования нельзя применять ни формулы для показательной функции ни формулу для степенной. lny=lnИ(X)^t(x) lny=t(x) * lnИ(x) невно заданная 1/у *у’=И’(x) *lnИ(x) +t(x) * 1/И(х) * И’(x) умножим обе части на у=И(х)^t(x) y’=(И’(x) *lnИ(x)* И(х)^t(x)+ 1/И(х) * И’(x)* И(х)^t(x) 6. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши (сформулировать). ТЕОРМЕРА ФЕРМА Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Если в некоторой очке х=с∈ (а; b) функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения, то если производная в этой точке существует, она равно 0⇒ f*(c)=0 ТЕОРЕМА РОЛЛЯ Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a; b]. если функция удовлетворяет условия 1. непрерывна на [a; b] 2. дифференцируема на (a; b) 3. f(a)=f(b) Если выполнено условие, то найдется хотя бы 1 такая точка x=c∈ (a; b) для которой справедливо f*(c)=0 ТЕОРЕМА ЛАНГРАДЖА Пусть функция y=f(x) определена на [a; b]. Если функция отвечает условиям: 1)непрерывна на [a; b] 2. дифференцируемана (a; b) То найдется хотя бы одна такая точка, где x=c(a; b), для которой справедливо f*(c)=f(b)-f(a) ________ b-a ТЕОРЕМА КОШИ Пусть функции y=f(x) и g=f(x) определены на отрезке [a; b]. Если н удовлетворяют условиям 1. непрерывна на [a; b] 2. дифференцируемы на (a; b) 3. Ɐ x∈ (a; b) g*(x) ≠ 0 То найдется хотя бы 1 такая точка x=c∈ (a; b), для которой справедливо f*(c) f(b)-f(a) ___=_____ g*(c) f(b) - g(a) 7. Следствия из теорем о среднем. 1. правило Лопиталя: Пусть функция y=f(x) и y=g(x) определены на [a; b], если выполнены следующие условия 1. непрерывнына [a; b] 2. Дифференцируема на (a; b) 3. Ɐ x∈ (a; b). g*(x)≠ 0 4. f(a)=g(a)=0 Доказательсвт функция f(x) и g(x) твечают условиям теоремы КОШИ на отрезке[a; b], ф значит и на любом меньшем отрезке [a; x]c[a; b] 8. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Правило Лопиталя раскрывает неопределенность вида 0 делить на 0 и в случаях если x→ a-0 x→ a x→ - + бесконечность Правило лопиаля остается справеливым для бесконечность делить на бескнечность 9. Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции. Сформулировать необходимое и достаточное условия существования экстремума. достаточное условия существования экстремума. Пусть функция y=f(x) определена непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки x=c.Если выполнены следующие условия 1. f*(c) =0 2. Ɐ x меньше с, f*(x) меньше 0, aⱯ x Больше cf*(x) больше 0 то x=c- точка минимума; если Ɐ x меньше с f*(x) больше 0, а Ɐ х больше с f*(x) меньше 0 то ч=с — точка максимума необходимое условие экстремума Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х=с. Если х=с — точка экстремума, то f* в этой точке f*(c) =0 или f*(c) – несуществует.Докв следует из теоремы ферма 10)Точки перегиба (необходимое и достаточные условия) — сформулировать. 1 достаточное Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна и дважды дифференцируема в окрестности точки х=с, если выполнены следующие условия 1. f **(c) = 0 2. при переходе через точку x=cf** меняет знак, то х=с — точка перегиба\ 2 достаточное Пусть функция y=f(x) определен непрервна и 2жды дифференцируема в некоторой кресстности точки х=с. ч=с является точкой максимуа если выполнены следующи условия 1. f*(c)=0 2. f**(c) меньше 0 точка х=с являтся точкой минимума если выполнено 1. f*(c) = 0 2. f**(c) больше 0 11. Выпуклость и вогнутость графика функции (определения). Условия выпуклости или вогнутости функции. Пусть функция y=f(x) пределена, непрерывна и дифференцируема на интервале [a; b] Если точки графика функции на этом интервале расположены ниже точек любой ее касательной, то функцию называют выпухлой. Если точки графика функции расположены выше точек любой касательной а этом интервале то функция назваетсявыпухлой

ИНТЕГРАЛЫ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл (определение, геометрический смысл). 2. Определение и свойства неопределенного интеграла.

Вопрос 3 Основные методы интегрирования. Непосредственное- заключается в том, чтобы использовать свойсва функции и интегралов и привести их к табличному виду

Вопрос 4 Интегрирование простейших тригонометрических функций.

Интегрирование тригонометрических функций 1°. Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

2°. Интегралы вида

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

Вопрос 5 Интегрирование иррациональных функций - Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен. Интегралы вида