Понятие функции двух переменных, ее геометрический смысл. Линии уровня

Ответы: Математика (II)

Понятие функции двух переменных, ее геометрический смысл. Линии уровня

Понятие функции нескольких переменных. Обозначение функций. Переменная величина z называется однозначной функцией двух переменных x, y, если у каждой совокупности их значений (x, y )из данной области соответствует единственное определенное значение z. Переменные x, y называются аргументами или независимыми переменными. Функциональная зависимость обозначается так:

Z = f (x, y), или z = F (x, y) т.п.

Аналогично определяются функции трех и большего числа аргументов.

Область существования функции. (геометрический смысл). Под областью существования (определения) функции z = f (x, y) понимается совокупность точек (x, y) плоскости XOY, в которых данная функция определена (т.е. принимает определенные действительные значения). В простейших случаях область существования функции представляет собой конечную или бесконечную часть координатной плоскости XOY, ограниченную одной или несколькими кривыми (граница области).

Аналогично для функции трех переменных u = f (x, y, z) областью существования функции служит некоторое тело в пространстве OXYZ.

Линии поверхности уровня функции. Линией уровня функции z = f (x, y) называется такая линия f (x, y) = С на плоскости XOY, в точках которой функция принимает одно и то же значение z= С ( обычно проставляемое на чертеже в виде отметки).

Поверхностью уровня функции трех аргументов u = f (x, y, z) называется такая поверхность f (x, y, z)=С, в точках которой функция принимает постоянное значение u=С.

Предел и непрерывность функции двух переменных

Предел функции. Число А называется пределом функции z= f (x, y) при стремлении точки P’(x, y) к точке Р (a, b), если для любого ε > 0 существует такое ẟ > 0, что при 0< p< ẟ, где p= – расстояние между точками Р и Р’, имеет место неравенство

В этом случае пишут:

Непрерывность и точки разрыва. Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке P (a, b), если

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Нарушение условий непрерывности для функции f(x, y) может происходить как в отдельных точках (изолированная точка разрыва), так и в точках, образующих одну или несколько линий (линии разрыва), а иногда и более сложные геометрические образы.

Частные производные: определение, геометрический смысл

Определение частных производных. Если z = f (x, y), то, полагая, например, y постоянной, получаем производную

,

которая называется частной производной функции z по переменной x. Аналогично определяется и обозначается частная производная функции z по переменной y. Очевидно, что для нахождения частных производных можно пользоваться формулами дифференцирования.

Функция Эйлера. Функция f(x, y) называется однородной функцией измерения n, если для любого действительного множителя k имеет место равенство

f (kx, ky) =

 

Целая рациональная функция будет однородной, если все члены ее одного и того же измерения.

Для однородной дифференцируемой функции измерения n справедливо соотношение (теорема Эйлера)

Полный дифференциал функции двух переменных

Полным дифференциалом функции z=f(x, y) называется главная часть полного приращения 𝛥 z, линейная относительно приращений аргументов 𝛥 x и 𝛥 y.

Разность между полным приращением и полным дифференциалом функции есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с p=

Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых переменных, по определению, совпадают с их приращениями, то есть dx=𝛥 x и dy=𝛥 y.

Полный дифференциал функции z=f(x, y) вычисляется по формуле:

Применение полного дифференциала функции к приближенным вычислениям. При достаточно малых , а значит при достаточно малом р= для дифференцируемой функции z=f(x, y) имеет место приближенное равенство 𝛥 z≈ dz или

Ответы: Математика (II)

Понятие функции двух переменных, ее геометрический смысл. Линии уровня

Понятие функции нескольких переменных. Обозначение функций. Переменная величина z называется однозначной функцией двух переменных x, y, если у каждой совокупности их значений (x, y )из данной области соответствует единственное определенное значение z. Переменные x, y называются аргументами или независимыми переменными. Функциональная зависимость обозначается так:

Z = f (x, y), или z = F (x, y) т.п.

Аналогично определяются функции трех и большего числа аргументов.

Область существования функции. (геометрический смысл). Под областью существования (определения) функции z = f (x, y) понимается совокупность точек (x, y) плоскости XOY, в которых данная функция определена (т.е. принимает определенные действительные значения). В простейших случаях область существования функции представляет собой конечную или бесконечную часть координатной плоскости XOY, ограниченную одной или несколькими кривыми (граница области).

Аналогично для функции трех переменных u = f (x, y, z) областью существования функции служит некоторое тело в пространстве OXYZ.

Линии поверхности уровня функции. Линией уровня функции z = f (x, y) называется такая линия f (x, y) = С на плоскости XOY, в точках которой функция принимает одно и то же значение z= С ( обычно проставляемое на чертеже в виде отметки).

Поверхностью уровня функции трех аргументов u = f (x, y, z) называется такая поверхность f (x, y, z)=С, в точках которой функция принимает постоянное значение u=С.

Поделиться: