Площадь фигуры, ограниченной двумя графиками.

Для нахождения площади фигуры ограниченной двумя графиками функций необходимо:
1. Задать первую функцию и построить ее график.
2. Задать вторую функцию и построить ее график.
3. Определить замкнутую область и точки пересечения графиков.
4. Отметить точки пересечения графиков кликом мыши в местах точек пересечения (2)(3), либо воспользоваться режимом распознавания точек пересечения (1). При включении этого режима в верхней панели программы и подведении курсора мыши к предполагаемой точке пересечения автоматически точка пересечения отметится кружочком (2), курсор отскочит и будет готов к отметке по такому же принципу второй точки (3).
5. После выявления двух точек пересечения графиков автоматически область, ограниченная двумя графиками, заштрихуется и на экране появится форма с вычисленной ее площадью.

Вычисление пути, пройденного телом.

Длина дуги плоской кривой.

Дифференциал функции. Дифференциальные уравнения.

Дифференциа́ л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Использование знака дифференциала

Знак дифференциала используется в выражении для интеграла . При этом иногда (и не корректно) дифференциал вводится как часть определения интеграла.

Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции и тождественной функции верно соотношение

Обыкновенное дифференциальное уравнение

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

или ,

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число называется порядкомдифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

,

где — независимые переменные, а — функция этих переменных.

 

Решение дифференциальных уравнений.

Частное решение дифференциальных уравнений.

Числовые последовательности. Виды числовых последовательностей.

Бесконечно малые числовые последовательности.

Предел числовой последовательности. Свойства пределов.

Вычисление предела числовой последовательности.

Предел функции. Таблица замечательных пределов.

Свойства пределов функции. Вычисление пределов.

Определение числового ряда.

Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых nслагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится. Элементы ряда представляют собой либо вещественные, либо комплексные числа.

Определение

Пусть — числовой ряд. Число называется -ой частичной суммойряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.

Сходимость числовых рядов

Свойство 1. Если ряд

(1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

(1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

,

а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды

,

причём сумма каждого равна соответственно .

Необходимый признак сходимости ряда

Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный! ). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

 

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды.

Исследование ряда на сходимость.

Признак Даламбера.

Признак Даламбера — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если — расходится.

Замечание. Если , то признак д′ Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Примеры

Ряд

абсолютно сходится для всех комплексных , так как

Ряд

расходится при всех , так как

Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда

и

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.

38. Признак Коши!!!!.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда , то если ряд сходится, если ряд расходится, если вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство

1. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже сходится.

2. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже расходится.

Примеры

1. Ряд

сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши

2. Рассмотрим ряд

ряд сходится.

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться: