Определение абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность – разность между точными и приближёнными значениями величины по модулю

∆ (дельта) ∆ = |х-а|, где х - точное значение, а – приближённое.

Пример: 0, 388 ≈ 0, 39

Определение относительной погрешности

Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к модулю приближённой величины.

ε (эпсилон) ε = ∆ /|а| (%)

 

Определение линейных уравнений с одной переменной

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида: ах+в=0

Решение линейных уравнений основано на теоремах:

1- если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число, то получится уравнение равносильное данному

2- если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, не равное 0, то получится уравнение, равносильное данному.

Пример: 1/4х + 3/8 = 0

1/4х = -3/8

х = -3/8: 1/4

х = -3/2

Определение линейных неравенств с одной переменной

Линейные неравенства называются неравенство вида: ах + b > 0 (ax + b < 0), где a и b – действительные числа.

Пример: 5-х/8 + 3-2х/4 ≥ 0

5-х + 6-4х ≥ 8

-х – 4х ≥ 8 – 5 – 6

-5х ≥ - 19

х ≤ 19/5

Системы неравенств с одной переменной и способы их решения

Решением системы неравенств называется число, которое при его подстановке в систему обращает каждое неравенство в верное числовое неравенство. Традиционно неравенства системы объединяются фигурной скобкой.

Пример:

 

С помощью координатной прямой находим, что

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если необходимо найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств. Традиционно совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой.

Пример:

 

Для решения совокупности неравенств нужно взять все x, которые удовлетворяют хотя бы одному из данных неравенств. Значит,

 

Если нужно найти решение двух или более неравенств с одной переменной, это значит нужно решить систему двух или более неравенств с одной переменной.

Решением системы неравенств являются такие значения переменной, которые являются решением сразу всех неравенств, входящих в данную систему.

Решить систему неравенств с одной переменной, значит найти все её решения или доказать что их нет.

 

Квадратные уравнения и способы их решения

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x − переменная, a, b и c − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше второй

Если a = 0, то уравнение примет вид bx + c = 0 и будет уравнением степени не выше первой, которое рассмотрено выше.

Если a ≠ 0, то уравнение рассматриваемого вида называется квадратным уравнением (или уравнением второй степени).

Обозначим f (x) = ax2 + bx + c и зададимся целью решить уравнение

f (x) = ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.

D = b² – 4ac

Следующим существенным шагом является извлечение арифметического квадратного корня из обеих частей полученного уравнения, но поскольку дискриминант может иметь разные знаки, то возникает три случая:

1. Если D < 0, то действительных корней нет.
2. Если D = 0, то корни совпадают и равны

 

 

1. Если D > 0, то, извлекая корень, получим

 

 

Это и есть формула для решения квадратного уравнения

 

Квадратные неравенства и способы их решения

Под квадратным неравенством понимается неравенство, которое может быть приведено к одному из следующих неравенств:

ax²+bx+c> 0,

ax²+bx+c< 0,

ax²+bx+c≥ 0,

ax²+bx+c≤ 0,

 

где a, b, c - некоторые действительные числа и a/=0.

 

Простейшими квадратными неравенствами являются неравенства

x2< m и x2> m

 

Множество решений неравенства x2< m:

1) при m≤ 0 x=∅ (т. е. нет решений);

2)при m> 0 x=(− √ m; √ m), т.е. − √ m< x< √ m,

 

Множество решений неравенства x2> m:

1) при m< 0 x=R (т.е. x - любое действительное число);

2) при m> 0 x=(− ∞; − √ m)⋃ (√ m; +∞ ), т.е. − ∞ < x< − √ m и √ m< x< +∞,

 

Квадратное неравенство ax²+bx+c> 0 в зависимости от значений своих коэффициентов a, b, c имеет множества решений:

1) при a> 0, D=b2− 4ac≥ 0

X=(− ∞; 2a− b− √ D)⋃ (2a− b+√ D; +∞ );

2) при a> 0, D< 0 x=R;

3) при a< 0, D≥ 0

X=(2a− b− √ D; 2a− b+√ D)

4) при a< 0, D< 0x=∅ (т. е. нет решений);

 

Решение неравенства ax²+bx+c< 0 сводится к решению рассмотренного выше неравенства, если обе части неравенства умножить на − 1.

Множество решений нестрогих неравенств ax²+bx+c≥ 0 и ax²+bx+c≤ 0 находится как объединение множеств решений соответствующих строгих неравенств и уравнения ^ax2+bx+c=0.

 

Нелинейные неравенства с одной переменной и способы их решения

⇐ Предыдущая12

Поделиться: