Кривые второго порядка на плоскости.

Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой равно . Привести уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

Прямая и плоскость в пространстве.

Дана треугольная пирамида с вершинами в точках , , , ,. Найти:

a) уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С;

б) величину угла между ребром SC и гранью АВС;

в) площадь грани АВС;

г) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВС, и ее длину;

д) объем пирамиды SАВС.

Дифференциальное исчисление

Пределы, непрерывность и разрывы функций.

3.1.1.Найти пределы функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3.1.2.В точках и для функции установить непрерывность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции в окрестностях этих точек:

;

Производные функций.

3.1.3.Найти производные функций:

а) ; б) ;

в) ; д) ; е) ;

ж)

 

Приложения производной.

3.2.1.С помощью методов дифференциального исчисления построить графики функций:
а) ; б)

3.2.2.Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Приближенное решение алгебраических уравнений.

3.3.1.Для уравнения отделить положительный корень и найти его приближенно с точностью :

а) методом деления отрезка пополам;

б) методом касательных.

Примечание. Можно считать, что точность достигнута, если разность между соседними приближениями и удовлетворяет неравенству .

 

Интегральное исчисление

 

Неопределенный интеграл.

4.1.1.Найти интегралы:

а) б)
в) г) ;

д) ; е) .

 

Несобственные интегралы.

4.2.1.Вычислить интеграл или установить его расходимость:

Применения определенных интегралов.

4.3.1.Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

;

 

4.3.2.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

.

 

Приближенное вычисление определенных интегралов.

4.4.1.Для вычисления определенного интеграла , разбивая отрезок интегрирования сначала на 10 равных частей, а затем на 20 равных частей, найти приближенное значение и : а) по формуле трапеций; б) по формуле Симпсона. Оценить точность приближения с помощью разности .

 

Функции нескольких переменных

 

Частные производные и дифференциал функции.

5.1.1.Найти частные производные , и функций:
а) ; б)

5.1.2.Найти дифференциал функции .

5.1.3.Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Приложения частных производных.

5.2.1.Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

5.2.2.Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

 

 

Двойные, тройные и криволинейные интегралы

Двойные интегралы.

6.1.1.Изменить порядок интегрирования:

.

6.1.2.Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями и плоскостью, проходящей через точки и .

6.1.3.Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) .

Тройные интегралы.

6.2.1.Найти , если тело V ограниченно плоскостями и .

6.2.2.Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

Криволинейные интегралы.

6.3.1.Вычислить , где , , а контур С образован линиями , : а) непосредственно; б) по формуле Грина.

6.3.2.Вычислить , где контур С является одним витком винтовой линии:

.

Элементы теории поля

Дифференциальные операции.

7.1.1.В точке составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой

 

.

 

7.1.2.Найти в точке градиент скалярного поля

.

7.1.3.Найти в точке дивергенцию векторного поля

.

7.1.4.Найти в точке ротор векторного поля

.

Интегралы и интегральные теоремы.

7.2.1.Убедиться, что поле потенциально, и найти его потенциал.

7.2.2.Даны поле и цилиндр D, ограниченный поверхностями z=0, z=m, x²+y²=(n+1)². Найти:

а) поток поля через боковую поверхность цилиндра в направлении внешней нормали;

б) поток поля через всю поверхность цилиндра в направлении внешней нормали непосредственно и с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.

7.2.3. Даны поле и замкнутый виток , ( обход контура происходит в направлении, соответствующем возрастанию параметра φ ). Найти циркуляцию поля вдоль контура γ непосредственно и с помощью теоремы Стокса.

 

Дифференциальные уравнения

Уравнения первого порядка.

8.1.1.Найти общее решение уравнения:

а) ; б) ; в) .

8.1.2.Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла миллионов рублей.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: