Тема 1 Неопределенный интеграл

Уфа 2010

УДК 51

ББК 22.14

М 54

 

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № 2 от 24 февраля 2010 года)

 

 

Составитель: доцент Костенко Н.А.

 

Рецензент: доцент кафедры бухгалтерского учета и аудита Насырова А.Д.

 

Ответственный за выпуск: зав каф. математики доцент Лукманов Р.Л.

 

 

Оглавление

Введение
Общие методические указания
Тема 1 Неопределенный интеграл
Тема 2 Определенный интеграл
Тема 3 Дифференциальные уравнения
Тема 4 Ряды
Тема 5 Случайные события. Вероятность события
Тема 6 Повторные независимые испытания Тема 7 Случайные величины и их числовые характеристики
Задания для контрольной работы №2
Литература

Введение

 

 

Настоящие методические указания предназначены для студентов-заочников экономических специальностей Башкирского государственного аграрного университета.

Методические указания содержат общие рекомендация по изучению дисциплины, краткие указания к выполнению контрольных работ, образцы решения некоторых задач, контрольные задания.

Дисциплина " Математика" - одна из учебных дисциплин, составляющих основу высшего образования. Знание математики, умение применять ее методы к решению практических задач - необходимые условия подготовки специалистов в высших учебных заведениях.

Задачи изучения курса математики вытекают из требований ГОСа и квалификационной характеристики выпускника, который должен уметь:

- строить простейшие математические модели экономических задач;

- выбрать нужный метод для решения этих задач и решать эти задачи;

-уметь выработать на основе полученных решений практические рекомендации.

Целью данных методических указаний являются оказание теоретической и практической помощи студентам – заочникам в выполнении контрольной работы №2, в усвоении теоретического материала дисциплины и в подготовке к сдаче итогового испытания.

Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы рекомендуемой литературы и воспользоваться решениями типовых примеров, содержащихся в настоящих методических указаниях.

Номер варианта по каждому заданию студент выбирает по формуле N_i=ab+c, где N_i – номер варианта,

a - номер задания,

b - предпоследняя цифра шифра студента,

c - последняя цифра шифра

Пример. Пусть шифр студента 1235, тогда:

Номер варианта первого задания: N₁=1× 3+5=8;

Номер варианта второго задания N₂=2× 3+5=11;

Номер варианта третьего задания N₃=3× 3+5=14;

Номер варианта четвертого задания N₄=4× 3+5=17.

Таким образом, студент, имеющий шифр 1235 должен решать задачу №8 в первом задании, №11 – во втором, №14 – в третьем, №17 – в четвертом.

Если итоговая цифра по формуле получится число больше 20, то для определения варианта от полученной цифры отнимают 20.

Пример. Путь шифр студента 1298.

Номер варианта второго здания: N₂=2× 9+9=26. Промежуток 26-20=6. Таким образом, во втором задании студент решает задачу варианта №6.

Общие методические указания

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий.

Если в процессе изучения материала или при решении задач у студента возникают трудности, то можно обратиться к. преподавателю кафедры математики для получения устной, или письменной консультации. В случае письменной консультации студент должен точно указать характер затруднения, полное название учебника или задачника, год издания и страницу, где находится непонятный для студента вопрос или задача.

При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1. Каждая работа должна выполняться в отдельной тет-ради (в клетку), на внешней обложке которой должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, номер контрольной работы, дата ее отсылки в институт, домашний адрес студента.

2. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие.

3. Решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул, теорем.

4. Решение, задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами (желательно на миллиметровой бумаге), выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба. Объяснения к задачам должны соответствовать обозначениям, приведенным на чертежах.

5. На каждой странице тетради, необходимо оставлять поля шириной 3 — 4 см для замечаний преподавателя.

6. Контрольные работы должны, выполняться самостоятельно. Несамостоя­тельно выполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по теме. Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, то она не будет зачтена.

Изучите теорию по указанным разделам, разберите решения задач, приведенных в данных методических указаниях и приступайте к выполнению контрольных работ. Желаем удачи!

Тема 4 Ряды

Задача 1. Написать первые три члена ряда найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение: Беря последовательно n=1, 2, 3, ..., запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству < 1, или |x|< , или

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При х= данный ряд принимает вид .

Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит, х — принадлежит области сходимости данного ряда.

При х= данный ряд принимает вид . Исследуем сходимость этого ряда при помощи интегрального пpизнака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

Так, как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. 3начит, при х= исходный ряд сходится. Таким образом, область сходимости данного ряда.

Задача 2.Вычислить с точностью до 0, 001.

Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив х в разложении функции sin х на , имеем:

Тогда

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0, 001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда

Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовым рядом?

2. Что называется n-й частичной суммой числового ряда?

3. Какой числовой ряд называется сходящимся?

4. Что является необходимым условием сходимости числового ряда?

5. Назовите достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов.

6. Назовите признак Даламбера сходимости рядов, радикальный признак сходимости Коши?

7. В чем состоит интегральный признак сходимости Коши?

8. Какие ряды называются знакочередующимися? Приведите примеры.

9. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

10. Какие знакочередующиеся ряды называются абсолютно сходящимися? условно сходящимися?

11. Дайте определение степенного ряда и области его сходимости.

12. Kaк найти область сходимости степенного ряда?

13. Запишите разложение в степенной ряд функций е^x, sin х, соs х, (1+x)^m, 1n 5(1+х).

14. Как обеспечивается требуемая точность при применении степенны рядов в при­ближенных вычислениях?

 

Задания для контрольной работы №2

Задание 1

В задачах 1 – 20 найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

1. а) б) в)

2. а) б) в)

3. а) б) в)

4. а) б) в)

5. а) б) ; в)

6. а) б) в) .

7. а) б) в)

8. а) б) в)

9. а) б) в)

10. а) б) в)

11. а) б) в)

12.а) б) в)

13. а) б) в)

14. а) б) в)

15. а) б) в)

16. а) б) в)

17. а) б) в)

18. а) б) в)

19. а) б) в)

20. а) б) в)

 

Задание 2

В задачах 1 – 10 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

1. у = х³; у = 2. у = у = 6 – х.

3. у = у = 4 – х. 4. у = х²+2; у = 4 – х².

5. у = - х²+1; у = х – 1. 6. у = x² – 4x+4; y=x.

7. y = y = 4x. 8. y = y = 7 – x.

9. y = 3x²+1; y = 3x+7. 10. y = 2x – x²; y = - x.

В задачах 11 – 15 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

11. y² = x; y = x². 12. xy = 4; x = 1; x = 4; y = 0.

13.y = sin x (одна полуволна); y = 0. 14. y = x²+1; y = 3x – 1.

15.

В задачах 16 – 20 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

16. y² =4 – x; x=0. 17.

18. x + y – 2 =0; x=0; y=0. 19. xy =2; x=0; y=1; y=4.

20. y =-x²+4; x=0; y=0; y=3.

 

Задание 3

В задачах 1 – 20 найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.

1. (e^2x+1)dy+ye^2xdx=0. 2. (2+y) dx – (2 – x ) dy =0.

3. x²dy+(y – 1)dx =0. 4. y (e^x+1)dy – e^xdx =0.

5. (e^x+2)y^/ =ye^x. 6. y^/ =e^{x – y} .

7. xyy^/ = 3x². 8. y^/ tg x – y =0.

9. (1+x²)y^/ = 1+y². 10. y^/ cos x – y sin x=0.

11. xy^/ - y =x³. 12. xy^/ - y = – 2lnx.

13. x³y^/ +3x²y =2. 14. y^/ + e^x y =e^2x.

15. xy^/ + y = x+1. 16. y^/ – y cosx = – sin 2x.

17. xy^/ – y = -ln x. 18. y^/ – 4xy = -4x³.

19. 2xy^/ + y = 2x³. 20. y^/ + xy = –x³.

 

Задание 4

В задачах 1 – 20 найти общее решение дифференциального уравнения.

1.

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

 

 

Задание 5

В задачах 1 – 20 найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

1.y′ ′ +y′ -2y=6x2, y(0)=-4, y′ (0)=–1.

2. y′ ′ –4y =8x3, y(0) = 2, y′ (0) = – 3.

3. y′ ′ – 2y′ +y =8ex, y(0) = 1, y′ (0) =3.

4. y′ ′ + 2y′ +5y = 4e-x, y(0) = 1, y′ (0) -1.

5. y′ ′ +6y′ +9y = 10 sin x, y(0)=0, y′ (0) =1.

6. y′ ′ +9y = cos 3x, y(0) =1, y′ (0) =3.

7. y′ ′ – 3y′ +2y =ex, y(0) =2, y′ (0) = 2.

8. y′ ′ – 5y′ + 6y = 13 sin 3x, y(0) = 2, y′ (0)=2.

9. y′ ′ – 2y′ = 2x+1, y(0) =1, y′ (0) =1.

10. y′ ′ + y =2x3– x+2, y(0) =3, y′ (0) = – 2.

11. y′ ′ +y′ -2y=6x2, y(0)=-4, y′ (0)=–1.

12. y′ ′ –4y =8x3, y(0) = 2, y′ (0) = – 3.

13. y′ ′ – 2y′ +y =8ex, y(0) = 1, y′ (0) =3.

14. y′ ′ + 2y′ +5y = 4e-x, y(0) = 1, y′ (0) -1.

15. y′ ′ +6y′ +9y = 10 sin x, y(0)=0, y′ (0) =1.

16. y′ ′ +9y = cos 3x, y(0) =1, y′ (0) =3.

17. y′ ′ – 3y′ +2y =ex, y(0) =2, y′ (0) = 2.

18. y′ ′ – 5y′ + 6y = 13 sin 3x, y(0) = 2, y′ (0)=2.

19. y′ ′ – 2y′ = 2x+1, y(0) =1, y′ (0) =1.

20. y′ ′ + y =2x3– x+2, y(0) =3, y′ (0) = – 2.

 

 

Задание 6

В задачах 1 – 20 дан степенной ряд

При заданных значениях а и b написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

1. a=2, b=3. 2. a=3, b= 5. 3. a=4, b=7. 4. a=5, b=9.

5. a=7, b=6. 6. a=2, b=5. 7. a=3, b=2. 8. a=4, b=3.

9. a=5, b=2. 10. a=6, b=4. 11. a=3, b=7. 12. a=4, b=5.

13. a=8, b=3. 14. a=7, b=4. 15. a=5, b=7. 16. a=2, b=6.

17. a=3, b=4. 18. a=7, b=5. 19. a=5, b=8. 20. a=2, b=4.

 

Задание 7

В задачах 1 – 20 вычислить определенный интеграл с точностью до 0, 001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

 

 

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

 

Задание 8

 

1. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в мягком переплете. Библиотекарь взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в мягком переплете.

2. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает ответы на предложенные ему экзаменатором три вопроса.

3. Для некоторой местности в июле шесть пасмурных дней. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.

4. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 человек. Найти вероятность того, что два случайно выбранных рабочих не выполняют норму.

5. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0, 6, вторым – 0, 7, третьим – 0, 8. Найти вероятность того, что при одном выстреле попадут в цель: а) все три стрелка; б) попадает хотя бы один из них.

6. В ящике лежат 20 электрических лампочек, из которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что взятые одна за другой две лампочки окажутся стандартными.

7. Одновременно бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что на каждой появится нечетное количество очков.

8. Из заготовленной для посева пшеницы зерно первого сорта составляет 40%, второго сорта – 50%, третьего сорта – 10%. Вероятность того, что взойдет зерно первого сорта, равна 0.8, второго – 0.5, третьего – 0.3. Найти вероятность того, что взойдет наугад взятое зерно.

9. В магазин поступили телевизоры из трех заводов. Вероятность того, что телевизор изготовлен на первом заводе, равна – 0.3, на втором – 0.2, на третьем – 0.5. Вероятность того, что телевизор окажется бракованным, для первого завода равна 0.2, для второго – 0.1, для третьего – 0.3.Найти вероятность того, что наугад взятый телевизор окажется небракованным.

10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0, 7. Производится 4 выстрела. Найти вероятность того, что цель будет поражена: а) три раза; б) не более двух раз.

11. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам на удачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

12. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.

13. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.

14. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна р, а для второго – 0.7. Известно, что вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0.38. Найдите р.

15. Бросают 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на всех выпадет одинаковое число очков.

16. В партии из 10 изделий имеется 4 бракованных. Наугад выбирают 5 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 5 изделий окажется 3 бракованных.

17. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.75; для второго – 0.8, для третьего – 0.9. Найти вероятность того, что: 1) все три стрелка попадут в цель; 2) все трое промахнутся; 3) только один стрелок попадет в цель; 4) хотя бы один стрелок попадет в цель.

18. В первом ящике 6 белых и 4 черных шара, во втором – 7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наугад вынимают по одному шару. Чему равна вероятность того, что вынутые шары разного цвета?

19. На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь стандартная, для первого станка равна 0.8, для второго – 0.9. Производительность второго станка втрое больше, чем первого. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной.

20. Из партии, в которой 20 деталей без дефектов и 5 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что: 1) все три детали без дефектов; 2) по крайней мере одна деталь без дефектов?

 

Задание 9

 

В задачах 1 –10 дана вероятность р того, что семя злака прорастет. Найти вероятность того, что из n посеянных семян прорастет ровно k семян.

 

1.n =100, р=0.9, k=95. 6.n =100, р=0.8, k=85.

2.n =400, p=0.8, k=330. 7.n =400, p=0.9, k=330.

3.n =900, p=0.36, k=340. 8.n =900, p=0.25, k=240.

4.n =225, p=0.64, k=158. 9.n =225, p=0.49, k=112.

5.n =250, p=0.81, k=200. 10.n =250, p=0.64, k=160.

 

В задачах 11 – 20 дана вероятность р появления события А в каждом из n независимых испытаний. найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее k₁ раз и не более k₂ раз.

11.n =360, p=0.8, k₁=280, k₂=300.

12.n =490, p=0.6, k₁ =320, k₂=350.

13.n =640, p=0.9, k₁=500, k₂=540.

14.n =225, p=0.2, k₁=50, k₂=60.

15.n =810, p=0.4, k₁=340, k₂=400.

16.n =250, p=0.7, k₁=150, k₂=180.

17.n =300, p=0.3, k₁=110, k₂=130.

18.n =625, p=0.8, k₁=480, k₂=500.

19.n =100, p=0.5, k₁=60, k₂=80.

20.n =256, p=0.9, k₁=200, k₂=220.

 

Задание 10

 

В задачах 1 – 20 задан закон распределения дискретной случайной величины Х ( в первой строке указанны возможные значения величины Х, во второй строке даны вероятности р этих значений). Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(Х); 3) среднее квадратическое отклонение σ.

1. Х 8 4 6 5

р 0, 3 0, 2 0, 2 0, 3

2. Х 13 25 27 29

р 0, 2 0, 1 0, 3 0, 4

3. Х 10 8 6 9

р 0, 4 0, 1 0, 3 0, 2

4. Х 32 40 37 35

р 0, 1 0, 3 0, 4 0, 2

5. Х 42 41 43 45

р 0, 3 0, 3 0, 2 0, 2

6. Х 15 11 13 12

р 0, 2 0, 5 0, 2 0, 1

7. Х 52 54 57 51

р 0, 1 0, 4 0, 3 0, 2

8. Х 21 20 22 26

р 0, 5 0, 2 0, 2 0, 1

9. Х 34 30 32 36

р 0, 2 0, 4 0, 3 0, 1

10. Х 50 48 51 53

р 0, 3 0, 2 0, 2 0, 3

11. Х 8 4 6 5

р 0, 3 0, 2 0, 2 0, 3

12. Х 13 25 27 29

р 0, 2 0, 1 0, 3 0, 4

13. Х 10 8 6 9

р 0, 4 0, 1 0, 3 0, 2

14. Х 32 40 37 35

р 0, 1 0, 3 0, 4 0, 2

15. Х 42 41 43 45

р 0, 3 0, 3 0, 2 0, 2

16. Х 15 11 13 12

р 0, 2 0, 5 0, 2 0, 1

17. Х 52 54 57 51

р 0, 1 0, 4 0, 3 0, 2

18. Х 21 20 22 26

р 0, 5 0, 2 0, 2 0, 1

19. Х 34 30 32 36

р 0, 2 0, 4 0, 3 0, 1

20. Х 50 48 51 53

р 0, 3 0, 2 0, 2 0, 3

 

Задание 11

 

В задачах 1 – 20 случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(х). Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(х); 2) математическое ожидание М(х); 3) дисперсию D(Х).

1. F(x)= 2. F(x)=

3. F(x)= 4. F(x)=

5. F(x)= 6. F(x)=

7. F(x)= 8. F(x)=

9. F(x)= 10. F(x)=

11. F(x)= 12. F(x)=

13. F(x)= 14. F(x)=

15. F(x)= 16. F(x)=

17. F(x)= 18. F(x)=

19. F(x)= 20. F(x)=

 

Задание 12

 

1.Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0, 25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199, 5мм и 200, 5мм. Найти процент стандартных деталей.

2. Средний диаметр стволов деревьев на некотором участке равен 25см, среднее квадратическое отклонение равно 5см. Считая диаметр ствола случайной величиной, распределенной нормально, найти процент деревьев, имеющих диаметр свыше 20см.

3. Процент всхожести семян равен 90%. Оценить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет от 850 до 950 семян включительно.

4. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равно 0, 5.Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 1.

5.Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 150мм и средним квадратическим отклонением 0, 5 мм. Какую точность размера детали можно гарантировать с вероятностью 0, 95.

6. Средний вес зерна равен 0, 2 г, среднее квадратическое отклонение равно 0, 05 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого зерна окажется в пределах от 0, 16г до 0, 22г.

7. Норма высева семян на 1 га равна 200кг. Фактический расход семян на 1га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10кг. Определить количество семян, обеспечивающих посев на площади 100га с гарантией 0, 95.

8. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200мм, среднее квадратическое отклонение равно 0, 25мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199, 5мм и 200, 5мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0, 4мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?

9. Масса яблока, средняя величина которой равна 150г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130г до 180г.

10. Устройство состоит из 20 однотипных независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента за 10 часов равна 0, 9. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за 10 часов окажется меньше двух.

11.Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0, 25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199, 5мм и 200, 5мм. Найти процент стандартных деталей.

12. Средний диаметр стволов деревьев на некотором участке равен 25см, среднее квадратическое отклонение равно 5см. Считая диаметр ствола случайной величиной, распределенной нормально, найти процент деревьев, имеющих диаметр свыше 20см.

13. Процент всхожести семян равен 90%. Оценить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет от 850 до 950 семян включительно.

44. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равно 0, 5.Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 1.

15.Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 150мм и средним квадратическим отклонением 0, 5 мм. Какую точность размера детали можно гарантировать с вероятностью 0, 95.

16. Средний вес зерна равен 0, 2 г, среднее квадратическое отклонение равно 0, 05 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого зерна окажется в пределах от 0, 16г до 0, 22г.

17. Норма высева семян на 1 га равна 200кг. Фактический расход семян на 1га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10кг. Определить количество семян, обеспечивающих посев на площади 100га с гарантией 0, 95.

18. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200мм, среднее квадратическое отклонение равно 0, 25мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199, 5мм и 200, 5мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0, 4мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?

19. Масса яблока, средняя величина которой равна 150г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130г до 180г.

20. Устройство состоит из 20 однотипных независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента за 10 часов равна 0, 9. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за 10 часов окажется меньше двух.

 

Литература

 

1.Гмурман В.Е.

Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман.

– М.: Высшая школа, 2002. – 479 с.

2.Гмурман В.Е.

Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2002. – 454 с.

3. Шипачев В.С.

Курс высшей математики: учебник для вузов /В.С.Шипачев; Под редакцией А.Н. Тихонова. – 3-е изд., испр. – М.: Издательство Оникс, 2007 – 600с.: ил.

4. Шипачев В.С.

Задачник по высшей математике: учеб. пособие для студ. вузов/ В.С. Шипачев- 6-е изд., стер..- М.: Высш. шк., 2006.- 304 с.

 

Дополнительная литература

1. Данко П.Е.

Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие: в 2 ч./П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - 6-е изд..- М.: ОНИКС 21 век: Мир и образование. – 2003.- Ч.1.- 2003. - 304 с.

2. Данко П.Е.

Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие: в 2 ч./П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - 6-е изд..- М.: ОНИКС 21 век: Мир и образование. – 2003.- Ч.2.- 2003. - 416 с.

3. Письменный Д.Т.

Конспект лекций по высшей математике. I, II ч. – М.: Рольф, 2007. – 603 с.

4. Лунгу К.Н.

Сборник задач по высшей математике с контрольными работами /

К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко.- 1 курс.;

2 курс. – М.: Айрис Пресс, 2007. – 575 с.; 542 с.

 

Уфа 2010

УДК 51

ББК 22.14

М 54

 

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № 2 от 24 февраля 2010 года)

 

 

Составитель: доцент Костенко Н.А.

 

Рецензент: доцент кафедры бухгалтерского учета и аудита Насырова А.Д.

 

Ответственный за выпуск: зав каф. математики доцент Лукманов Р.Л.

 

 

Оглавление

Введение
Общие методические указания
Тема 1 Неопределенный интеграл
Тема 2 Определенный интеграл
Тема 3 Дифференциальные уравнения
Тема 4 Ряды
Тема 5 Случайные события. Вероятность события
Тема 6 Повторные независимые испытания Тема 7 Случайные величины и их числовые характеристики
Задания для контрольной работы №2
Литература

Введение

 

 

Настоящие методические указания предназначены для студентов-заочников экономических специальностей Башкирского государственного аграрного университета.

Методические указания содержат общие рекомендация по изучению дисциплины, краткие указания к выполнению контрольных работ, образцы решения некоторых задач, контрольные задания.

Дисциплина " Математика" - одна из учебных дисциплин, составляющих основу высшего образования. Знание математики, умение применять ее методы к решению практических задач - необходимые условия подготовки специалистов в высших учебных заведениях.

Задачи изучения курса математики вытекают из требований ГОСа и квалификационной характеристики выпускника, который должен уметь:

- строить простейшие математические модели экономических задач;

- выбрать нужный метод для решения этих задач и решать эти задачи;

-уметь выработать на основе полученных решений практические рекомендации.

Целью данных методических указаний являются оказание теоретической и практической помощи студентам – заочникам в выполнении контрольной работы №2, в усвоении теоретического материала дисциплины и в подготовке к сдаче итогового испытания.

Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы рекомендуемой литературы и воспользоваться решениями типовых примеров, содержащихся в настоящих методических указаниях.

Номер варианта по каждому заданию студент выбирает по формуле N_i=ab+c, где N_i – номер варианта,

a - номер задания,

b - предпоследняя цифра шифра студента,

c - последняя цифра шифра

Пример. Пусть шифр студента 1235, тогда:

Номер варианта первого задания: N₁=1× 3+5=8;

Номер варианта второго задания N₂=2× 3+5=11;

Номер варианта третьего задания N₃=3× 3+5=14;

Номер варианта четвертого задания N₄=4× 3+5=17.

Таким образом, студент, имеющий шифр 1235 должен решать задачу №8 в первом задании, №11 – во втором, №14 – в третьем, №17 – в четвертом.

Если итоговая цифра по формуле получится число больше 20, то для определения варианта от полученной цифры отнимают 20.

Пример. Путь шифр студента 1298.

Номер варианта второго здания: N₂=2× 9+9=26. Промежуток 26-20=6. Таким образом, во втором задании студент решает задачу варианта №6.

Общие методические указания

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий.

123Следующая ⇒

Поделиться: