|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Дифференциальное уравнение колебанийСтр 1 из 4Следующая ⇒
Дифференциальное уравнение колебаний Гармонические колебания
или
Математический маятник
Физический маятник
Ангармонический осциллятор Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:
сложение одинаково направленных гармонических колебаний, биение, ……….. Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, смещения которых
Используем векторную диаграмму, рис. 4; откуда следует, что
Пусть
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
6.1. Пусть 6.2. При (x2/A2)+(y2/B2)=1. При разных частотах складывающихся колебаний результирующие траектории будут иметь более сложный вид. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Свободные затухающие колебания Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Свободные затухающие колебания линейной системы описываются уравнением: Период затухающих колебаний Период затухающих колебаний определяется формулой: Логарифмический декремент затухания Добротность Вынужденные колебания Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.
Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. 2)) Волновое уравнение: A = A0 cos(ω t + kx) Уравнение бегущей волны
Энергия волны
Вектор Пойнтинга (также вектор Умова — Пойнтинга) — вектор плотности потока энергии электромагнитного поля, одна из компоненттензора энергии-импульса электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга S можно определить через векторное произведение двух векторов:
Стоя́ чая волна́ — колебания в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Волны, рассматриваемый параметр которых (смещение молекул, механическое напряжение, и т.д.) изменяется периодически вдоль оси распространения, называются продольными волнами. Если колебания происходят перпендикулярно оси распространения волны (как у электромагнитных волн, например), то такие волны называются поперечными. Волновая поверхность — геометрическое место точек, испытывающих возмущение обобщенной координаты в одинаковой фазе. Если источником волны является точка, то волновые поверхности в однородном и изотропном пространстве представляют собой концентрические сферы. Фронт Волны - ФРОНТ ВОЛНЫ, контур в пределах электромагнитного поля или материальной среды, все точки которого имеют одинаковые фазы колебаний. Фронт волны, как правило, перпендикулярен направлению распространения волны; он может быть плоским, сферическим или иметь более сложную форму. Каждая точка фронта является источником вторичных волн, которые через короткое время образуют фронт волны на новом месте. Плоские волны. Волновой фронт простейшего вида – плоский. Плоская волна распространяется только в одном направлении и представляет собой идеализацию, которая лишь приблизительно реализуется на практике. Звуковую волну в трубе можно считать приблизительно плоской, как и сферическую волну на большом расстоянии от источника. Сферические волны. К простым типам волн можно отнести и волну со сферическим фронтом, исходящую из точки и распространяющуюся во всех направлениях. Такую волну можно возбудить с помощью малой пульсирующей сферы. Источник, возбуждающий сферическую волну, называется точечным. Интенсивность такой волны убывает по мере ее распространения, поскольку энергия распределяется по сфере все большего радиуса.
Волновое уравнение
Эффектом Доплера называют изменение частоты волн, регистрируемых приемником, которое происходит вследствие движения источника этих волн и приемника. Скорость света в точности равна 299792458 м/с. Световой вектор — отношение переносимой через площадку DS в единицу времени световой энергии к DS при условии, что направление переноса (направление Световой вектор) перпендикулярно к DS. Понятие «Световой вектор» используется главным образом в теоретической фотометрии для количественного описания световых полей и является фотометрическим аналогом пойнтинга вектора. Показа́ тель преломле́ ния вещества — величина, равная отношению фазовых скоростей света (электромагнитных волн) в вакууме и в данной среде
интенсивность света
Закон малюса
Закон Брюстера
Двойно́ е лучепреломле́ ние — эффект расщепления в анизотропных средах луча света на две составляющие. Впервые обнаружен накристалле исландского шпата. Если луч света падает перпендикулярно к поверхности кристалла, то на этой поверхности он расщепляется на два луча. Первый луч продолжает распространяться прямо, и называется обыкновенным (o — ordinary), второй же отклоняется в сторону, нарушая обычный закон преломления света, и называется необыкновенным (e — extraordinary). Оптическая активность, способность среды вызывать вращение плоскости поляризации проходящего через неё оптического излучения (света). Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Дифра́ кция Френе́ ля — дифракционная картина, которая наблюдается на небольшом расстоянии от препятствия, по условиям, когда основной вклад в интерференционную картину дают границы экрана.
Дифракция Фраунгофера — случай дифракции, при котором дифракционная картина наблюдается на значительном расстоянии от отверстия или преграды. Расстояние должно быть таким, чтобы можно было пренебречь в выражении для разности фаз членами порядка
Принцип Гюйгенса Френеля
Каждый элемент волнового фронта можно рассматривать, как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее световое поле в каждой точке пространства будет определяться интерференцией этих волн.
Метод зон Френеля Условие Вульфа — Брэгга определяет направление максимумов дифракции упруго рассеянного на кристалле рентгеновского излучения. Выведено в 1913 независимо У. Л. Брэггом и Г. В. Вульфом. Имеет вид:
где d — межплоскостное расстояние, θ — угол скольжения (брэгговский угол), n — порядок дифракционного максимума, λ — длина волны. Дисперсия вещества нормальная и аномальная дисперсия
Зако́ н Бугера — Ламберта — Бера — физический закон, определяющий ослабление параллельного монохроматического пучкасвета при распространении его в поглощающей среде. Закон выражается следующей формулой:
Рассеяние света — рассеяние электромагнитных волн видимого диапазона при их взаимодействии с веществом. При этом происходит изменение пространственного распределения, частоты, поляризации оптического излучения, хотя часто под рассеянием понимается только преобразование углового распределения светового потока. Пусть § Если § Если § § Рассеиваемый свет даёт информацию о структуре и динамике материала. Закон Рэлея
Энергетическая светимость (излучательность) Re — величина, равная отношению потока излучения Фe, испускаемого поверхностью, к площади S сечения, сквозь которое этот поток проходит:
т. е. представляет собой поверхностную плотность потока излучения.
Абсолютно черное тело Абсолютно черное тело — это физическая абстракция (модель), под которой понимают тело, полностью поглощающее всё падающее на него электромагнитное излучение
Серое тело Серое тело — это такое тело, коэффициент поглощения которого не зависит от частоты, а зависит только от температуры
Формула рэлея-джинса
формула планка
постоянная планка
Фотоэффе́ кт — это испускание электронов веществом под действием света (и, вообще говоря, любого электромагнитного излучения). В конденсированных веществах (твёрдых и жидких) выделяют внешний и внутренний фотоэффект. Законы фотоэффекта:
Согласно 2-му закону фотоэффекта, максимальная кинетическая энергия вырываемых светом электронов линейно возрастает с частотой света и не зависит от его интенсивности. 3-ий закон фотоэффекта: для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, то есть минимальная частота света Фото́ н — элементарная частица, квант электромагнитного излучения (в узком смысле —света). Это безмассовая частица, способная существовать только двигаясь со скоростью света. Электрический заряд фотона также равен нулю. Комптоновская длина волны
Гипотеза де Бройля заключается в том, что французский физик Луи де Бройль выдвинул идею приписать волновые свойства электрону. Проводя аналогию между квантом, де Бройль предположил, что движение электрона или какой-либо другой частицы, обладающей массой покоя, связано с волновым процессом. Гипотеза де Бройля устанавливает, что движущейся частице, обладающей энергией E и импульсом p, соответствует волновой процесс, частота которого равна:
а длина волны:
где p - импульс движущейся частицы.
Опыт Дэвиссона-Джермера — физический эксперимент по дифракции электронов, проведённый в 1927 г. американскими учёными Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером. Проводилось исследование отражения электронов от монокристалла никеля. Установка включала в себя монокристалл никеля, сошлифованный под углом и установленный на держателе. На плоскость шлифа направлялся перпендикулярно пучок монохроматических электронов. Скорость электронов определялась напряжением
Под углом В опытах измерялась интенсивность рассеянного кристаллом электронного пучка в зависимости от угла рассеяния Опыты показали, что имеется ярко выраженная селективность (выборочность) рассеяния электронов. При различных значениях углов и скоростей, в отражённых лучах наблюдаются максимумы и минимумы интенсивности. Условие максимума:
Здесь Таким образом наблюдалась дифракция электронов на кристаллической решётке монокристала. Опыт явился блестящим подтверждением существования у микрочастиц волновых свойств. Волнова́ я фу́ нкция, или пси-функция
где Физический смысл волновой функции заключается в том, что согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятностинахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении. Принцип неопределённости Гейзенбе́ рга (или Га́ йзенберга ) в квантовой механике — фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих квантовую систему физических наблюдаемых (см. физическая величина), описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Соотношение неопределенностей[* 1] задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней квантовой механики. Определение Если имеется несколько (много) идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического отклонения
Уравнение шредингера
Потенциа́ льная я́ ма – область пространства, где присутствует локальный минимум потенциальной энергии частицы. Тунне́ льный эффект, туннели́ рование — преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект — явление исключительно квантовой природы, невозможное и даже полностью противоречащее классической механике. Аналогом туннельного эффекта в волновой оптике может служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) в условиях, когда, с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение. Явление туннелирования лежит в основе многих важных процессов в атомной и молекулярной физике, в физике атомного ядра, твёрдого тела и т. д. Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора, при этом рассматривают не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию гармонического осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора. Изучение строения атомов показало, что атомы состоят из положительно заряженного ядра, в котором сосредоточена почти вся масс. ч атома, и движущихся вокруг ядра отрицательно заряженных электронов. Планетарная модель атома Бора-Резерфорда. В 1911 году[3] Эрнест Резерфорд, проделав ряд экспериментов, пришёл к выводу, что атом представляет собой подобие планетной системы, в которой электроны движутся по орбитам вокруг расположенного в центре атома тяжёлого положительно заряженного ядра («модель атома Резерфорда»). Однако такое описание атома вошло в противоречие с классической электродинамикой. Дело в том, что, согласно классической электродинамике, электрон при движении с центростремительным ускорением должен излучать электромагнитные волны, а, следовательно, терять энергию. Расчёты показывали, что время, за которое электрон в таком атоме упадёт на ядро, совершенно ничтожно. Для объяснения стабильности атомов Нильсу Бору пришлось ввести постулаты, которые сводились к тому, что электрон в атоме, находясь в некоторых специальных энергетических состояниях, не излучает энергию («модель атома Бора-Резерфорда»). Постулаты Бора показали, что для описания атома классическая механика неприменима. Дальнейшее изучение излучения атома привело к созданию квантовой механики, которая позволила объяснить подавляющее большинство наблюдаемых фактов. Спектры излучения атомов обычно получаются при высокой температуре источника света ( плазма, дуга или искра), при которой происходит испарение вещества, расщепление его молекул на отдельные атомы и возбуждение атомов к свечению. Атомный анализ может быть как эмиссионным - исследование спектров излучения, так и абсорбционным - исследование спектров поглощения. Бо́ ровская моде́ ль а́ тома (Моде́ ль Бо́ ра) — полуклассическая модель атома, предложенная Нильсом Бором в 1913 г. За основу он взял планетарную модель атома, выдвинутую Резерфордом. Однако, с точки зрения классической электродинамики, электрон в модели Резерфорда, двигаясь вокруг ядра, должен был бы излучать непрерывно, и очень быстро, потеряв энергию, упасть на ядро. Чтобы преодолеть эту проблему Бор ввел допущение, суть которого заключается в том, что электроны в атоме могут двигаться только по определенным (стационарным) орбитам, находясь на которых они не излучают, а излучение или поглощение происходит только в момент перехода с одной орбиты на другую. Причем стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент количества движения электрона равен целому числу постоянных Планка[1]: Используя это допущение и законы классической механики, а именно равенство силы притяжения электрона со стороны ядра и центробежной силы, действующей на вращающийся электрон, он получил следующие значения для радиуса стационарной орбиты
Здесь Именно такое выражение для энергии можно получить, применяя уравнение Шрёдингера, решая задачу о движении электрона в центральном кулоновском поле. Радиус первой орбиты в атоме водорода R0=5, 2917720859(36)·10− 11 м[2], ныне называется боровским радиусом, либо атомной единицей длины и широко используется в современной физике. Энергия первой орбиты Постулаты Бора § Атом может находиться только в особенных стационарных, или квантовых, состояниях, каждому из которых отвечает определенная энергия. В стационарном состоянии атом не излучает электромагнитных волн. § Электрон в атоме, не теряя энергии, двигается по определённым дискретным круговым орбитам, для которых момент импульса квантуется: § При переходе электрона с орбиты (энергетический уровень) на орбиту излучается или поглощается квант энергии Используя данные постулаты и законы классической механики, Бор предложил модель атома, ныне именуемую Боровской моделью атома[1]. В дальнейшем Зоммерфельд расширил теорию Бора на случай эллиптических орбит. Её называют моделью Бора-Зоммерфельда. Опыты франка и герца опыт показал, что электроны передают свою энергию атомам ртути порциями, причем 4, 86 эВ – наименьшая возможная порция, которая может быть поглощена атомом ртути в основном энергетическом состоянии Формула бальмера Для описания длин волн λ четырех видимых линий спектра водорода И. Бальмер предложил формулу
где n = 3, 4, 5, 6; b = 3645, 6 Å. В настоящее время для серии Бальмера используют частный случай формулы Ридберга:
где λ — длина волны, R ≈ 1, 0974·107 м− 1 — постоянная Ридберга, n — главное квантовое число исходного уровня — натуральное число, большее или равное 3.
Водородоподобный атом — атом, содержащий в электронной оболочке один и только один электрон. Рентге́ новское излуче́ ние — электромагнитные волны, энергия фотонов которых лежит на шкале электромагнитных волн между ультрафиолетовым излучением и гамма-излучением, что соответствует длинам волн от 10− 2 до 103 Å (от 10− 12 до 10− 7 м) Рентге́ новская тру́ бка — электровакуумный прибор, предназначенный для генерации рентгеновского излучения. Тормозное излучение — электромагнитное излучение, испускаемое заряженной частицей при её рассеянии (торможении) в электрическом поле. Иногда в понятие «тормозное излучение» включают также излучение релятивистских заряженных частиц, движущихся в макроскопических магнитных полях (в ускорителях, в космическом пространстве), и называют его магнитотормозным; однако более употребительным в этом случае является термин «синхротронное излучение». ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ — рентг. излучение линейчатого спектра. Характерно для атомов каждого элемента. Химическая связь — явление взаимодействия атомов, обусловленное перекрыванием электронных облаков связывающихся частиц, которое сопровождается уменьшением полной энергии системы. молекулярный спектр — спектр излучения (поглощения), возникающий при квантовых переходах между уровнями энергии молекул Энергетический уровень — собственные значения энергии квантовых систем, то есть систем, состоящих из микрочастиц (электронов, протонов и других элементарных частиц) и подчиняющихся законам квантовой механики. Квантовое число n – главное. Оно определяет энергию электрона в атоме водорода и одноэлектронных системах (He+, Li2+ и т. д.). В этом случае энергия электрона
где n принимает значения от 1 до ∞. Чем меньше n, тем больше энергия взаимодействия электрона с ядром. При n = 1 атом водорода находится в основном состоянии, при n > 1 – в возбужденном. Правилами отбора в спектроскопии называют ограничения и запрет на переходы между уровнями квантомеханической системы с поглощением или излучением фотона, наложенные законами сохранения и симметрией. Многоэлектронными атомами называются атомы с двумя и более электронами. Эффе́ кт Зе́ емана — расщепление линий атомных спектров в магнитном поле. Обнаружен в 1896 г. Зееманом для эмиссионных линий натрия. Суть явления электронного парамагнитного резонанса заключается в резонансном поглощении электромагнитного излучения неспаренными электронами. Электрон имеет спин дифференциальное уравнение колебаний Гармонические колебания
или
Математический маятник
Физический маятник
Ангармонический осциллятор Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:
сложение одинаково направленных гармонических колебаний, биение, ……….. Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, смещения которых
Используем векторную диаграмму, рис. 4; откуда следует, что
Пусть
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
6.1. Пусть 6.2. При (x2/A2)+(y2/B2)=1. При разных частотах складывающихся колебаний результирующие траектории будут иметь более сложный вид. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 567; Нарушение авторского права страницы
и 
.
где
.
, тогда
, т.е. результирующее колебание не будет гармоническим. Если колебания мало отличаются по частоте, например, 
, 
, то результирующее колебание 
можно рассматривать как почти гармоническое колебание с частотой 
и медленно меняющейся амплитудой 
и 
, тогда траекторией будет прямая линия, рис. 5: 
.
, траекторией будет эллипс, ( рис. 6): 
.
(в системе СГС), 
(в системе СИ), 
.
- интенсивность света, 
- скорость света в вакууме
- напряженность электрического поля световой волны, 
- среднее значение по времени.
, что сильно упрощает теоретическое рассмотрение явления. Здесь 
— расстояние от отверстия или преграды до плоскости наблюдения, 
— длина волны излучения, а 
— радиальная координата рассматриваемой точки в плоскости наблюдения в полярной системе координат. Иными словами, дифракция Фраунгофера наблюдается тогда, когда число зон Френеля 
, при этом приходящие в точку волны являются практически плоскими. При наблюдении данного вида дифракции изображение объекта не искажается и меняет только размер и положение в пространстве. В противоположность этому, при дифракции Френеля изображение меняет также свою форму и существенно искажается.
, 
и 
— частоты падающего и рассеянного света. Тогда
— упругое рассеяние
— неупругое рассеяние
— стоксово рассеяние
— антистоксово рассеяние
— для абсолютно черного тела
— для серого тела
(или максимальная длина волны λ 0), при которой ещё возможен фотоэффект, и если 
, то фотоэффект уже не происходит.
на электронной пушке: 
к падающему пучку электронов устанавливался цилиндр Фарадея, соединённый с чувствительным гальванометром. По показаниям гальванометра определялась интенсивность отражённого от кристалла электронного пучка. Вся установка находилась в вакууме.
от азимутального угла 
, от скорости 
электронов в пучке.
— межплоскостное расстояние.
— комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному): 
— координатный базисный вектор, а 
— волновая функция в координатном представлении.
координаты и среднеквадратического отклонения 
импульса, мы найдем что: 
, 
.
и энергии 
находящегося на этой орбите электрона: 
— масса электрона, Z — количество протонов в ядре, 
— диэлектрическая постоянная, e — заряд электрона.
эВ представляет собойэнергию ионизации атома водорода.
, где 
— натуральные числа, а 
— постоянная Планка. Пребывание электрона на орбите определяет энергию этих стационарных состояний.
, где 
— энергетические уровни, между которыми осуществляется переход. При переходе с верхнего уровня на нижний энергия излучается, при переходе с нижнего на верхний — поглощается.
и ассоциированный с ним магнитный момент.