Волновая функция. Уравнение Шредингера.

Теория микрообъектов, учитывающая корпускулярно-волновой дуализм, принцип неопределенности, использующая вероятностный подход и описывающая св-ва микрочастиц с единой (.) зрения в соответствии с опытом, назыв. квантовой механикой. В квантовой механике для хар-ки состояния микрочастицы вводится величина Ψ – амплитуда вероятности или волновая пси-ф-ция. Квадрат модуля пси-ф-ции |Ψ |², умноженный на эл-т объема dV, пропорционален вероятности того, что в рез-те опыта микрочастица будет обнаружена в эл-те dV. В-ть того, что микрочастица находится г-л в пространстве, = вер-ти достоверного события, т.е. 1. Поэтому амплитуду в-ти выбирают так, чтобы выполнилось рав-во: (*), где интегрирование распростр. на все пространство. Если Ψ -ф-ция удовлетворяет (*), ее назыв. нормированной. При выполнении этого условия в-ть обнаружения микрочастицы в эл-те объема dV выраж. ф-лой: dP=|Ψ |²dV => физич. смысл приписывается не самой амплитуде в-ти Ψ, а квадрату ее модуля |Ψ |², кот. представляет собой плотность в-ти dP/dV. Сама амплитуда в-ти может быть комплексной. Ур-е для определения Ψ -ф-ции микрочастиц, скорость кот. мала по сравнению со скоростью света, было выведено Шредингером. Рассмотр. ур-е Ш. когда плотность в-ти обнаружения частицы в данном месте |Ψ |² не зависит от времени. Состояние частицы при выполнении этого ур-я называется стационарным. Ур-е Ш. для амплитуды в-ти Ψ стационарного состояния в декартовой сист. координат: (-ħ ²/2m)((¶²Ψ /¶x²)+ (¶²Ψ /¶y²)+ (¶²Ψ /¶z²))+U(x, y, z)Ψ =EΨ (**) (m-масса частицы; E – полная энергия; U(x, y, z) – потенциальная энергия частицы). Ур-е Ш. явл. линейным дифференциальным ур-ем 2го порядка в частных производных. Амплитуда в-ти Ψ, определяемая с помощью ур-я Ш., должна удовлетворять следующим условиям, вытекающим из ее физич. смысла: 1) интеграл по всему пространству должен быть конечным; 2) ф-ция Ψ (x, y, z) должна быть однозначной, конечной, непрерывной; 3) первые производные (¶Ψ /¶x), (¶Ψ /¶y), (¶Ψ /¶z) должны быть непрерывными, конечными. Ф-ция Ψ (x, y, z), удовлетворяющ. ур-ю (**) и указанным условиям, назыв. собственной. Ур-е Ш. (**) можно переписать: ((¶²Ψ /¶x²)+ (¶²Ψ /¶y²)+ (¶²Ψ /¶z²))+(2m/ħ ²)(E-U)Ψ =0. Используя оператор Лапласа: D=(¶²/¶x²)+ (¶²/¶y²)+ (¶²/¶z²), получаем: DΨ +(2m/ħ ²)(E-U)Ψ =0. Особенность ур-я Ш.: при определенных условиях оно имеет решение не при любых, а только при некоторых дискретных значениях энергии Е. Эти значения энергии Е называются собственными, или уровнями энергии. Физич. величина, кот. может принимать только определенные дискретные значения, назыв. квантованной. Энергия квантуется в том случае, когда микрочастица находится в конечной области пространства. Если движение частицы не ограничено в пр-ве, ее энергия может принимать любые значения. Решение ур-я Ш. приводит к квантованию не только энергии микрочастиц, но и др. физич. величин, хар-ющих состояние объекта. Значение Ψ (x, y, z) ф-ции позволяет определить среднее значение любой физич. величины, кот. явл. ф-цией положения частицы.

 

 

14 Описание свободного движения микрочастицы Движение свободной частицы. Движение частицы в прямоугольной потенциальной яме.

Пусть частица летит в положительном направлении оси OX. Частица интерпретируется как волна. ξ =A*cos(ω t–kx)=Re [A*e^{i (ω t – kx)}]; (Re-«вещественная часть комплексного числа»).Ψ = A*e ^{- i (ω t – kx)} ; (Ψ – волновая функция; k – волновое число).Ψ *Ψ ^*= A² ; (Ψ ^* - сопряжённое комплексное число) (рис.1). Микрочастица в одномерном потенциальном ящике с ∞ - высокими стенками (рис.2).

Одномерное уравнение Шрёдингера: ∂ ²Ψ /∂ x² + 2m*(E – U)*Ψ / ħ ² = 0; U = 0; ∂ ²Ψ /∂ x² + 2m*E*Ψ / ħ ² = 0; 2m*E / ħ ² = k²; ∂ ²Ψ /∂ x² + k² * Ψ = 0. Решение этого уравнения: Ψ (x) = A*sin(kx+α ), A=const; Ψ (0) = A*sin α = 0=> α = 0; Ψ (L) = A*sin (kL) = 0 => k*L = + π *n; n = 1, 2, 3, … E_n = ħ ² * k_n² / 2*m = ħ ²*π ²*n² / 2*m*L²; (рис.3) Расстояние между энергетич. уровнями: ∆ E_n = E_n+1 – E_n = ħ ²*π ²*((n+1)² – n²) / 2*m*L² ≈ (если n > > 1)≈ ħ ²*π ²*n / m*L². Определяем амплитуду волны: k=pn/l; - в-ть нахождения частицы в яме; ; A=Ö 2/l; Тогда решение стационарного ур-я Шредингера: Ψ _n = √ (2/L) * sin(π n x / L).

 

 

15 Туннельный эффект.

Туннельным эффектом называется прохождение частиц сквозь потенциальные барьеры(поле сил, действующих на частицу). Туннельный эффект является квантомеханическим эффектом, связанным с тем, что частицы обладают волновыми св-вами. Прозрачностью D потенциального барьера назыв. величина: D = Iпрох/Iпад, Iпрох - интенсивность волны де Бройля, прошедшей сквозь барьер, Iпад - падающей на барьер.

Туннельный эффект.

(рис.1); E – энергия α -частицы; E < U₀; Туннельный эффект: микрочастицы имеют конечную вероятность «просачивания» через потенциальный барьер. Эта вероятность увеличивается с уменьшением толщины барьера и с уменьшением высоты барьера. Ψ = A*e ^{i β x} + B*e ^{- i β x}, где β ²_{1, 3} = 2*m*E / ħ ²; β ²₂ = – 2*m*(U – E) / ħ ²; В области 1 – два слагаемых (слева от барьера – две волны) (рис.2); В области 3 – одно слагаемое (рис.3). В области 2 – волны нет. D = I_{проход.} / I_пад. прозрачность потенциального барьера D = D₀*e ^{– (2*L / ħ ) √ (2m(U}0 ^{– E))}_; D = λ * n; где λ – постоянная распределения, n – число столкновений в единицу времени. n = U_α / 2L; Незначительные изменения по ширине и по высоте могут привести к значительным изменениям D.

 

 

16 Частица в потенциальной яме: квантование энергии.

Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия U частицы меньше некоторого значения Umax. Движение коллективизированных эл-нов в атоме рассматривается в классической электронной теории как движение в потенциальной яме, причем вне металла потенциальная энергия эл-на равна нулю, а внутри металла она отрицательна и численно равна работе выхода эл-на. Физические в-ны, которые могут принимать лишь определенные дискретные значения, называются квантованными. Собственные значения энергии W частицы в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины: W = n²h²/2mL², где n=(1, 2,..). Квантованные значения Wn называются уровнями энергии, а числа n - квантовыми числами.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: