Параллельность прямых и плоскостей

 

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются.

Теоремыо параллельных прямых и параллельных плоскостях.

1. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

3. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.

4. Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна их линии пересечения.

5. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.

6. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и только одну.

7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны между собой.

8. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

 

Углы между прямыми и плоскостями

 

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость (угол на рис. 1).

 

 

Рис. 1

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными соответственно данным скрещивающимся прямым.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей прямой. Полуплоскости называются гранями, прямая – ребром двугранного угла.

Линейным углом двугранного угла называется угол между полупрямыми, принадлежащими граням двугранного угла, исходящими из одной точки на ребре и перпендикулярными ребру (угол на рис. 2).

 

Рис. 2

Градусная (радианная) мера двугранного угла равна градусной (радианной) мере его линейного угла.

Перпендикулярность прямых и плоскостей

 

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.

Две плоскости называются перпендикулярными, если пересекаясь, они образуют прямые двугранные углы.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теоремы о перпендикулярных прямых и плоскостях.

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

2. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

3. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

4. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

 

Перпендикуляр и наклонная

 

Теорема. Если из одной точки вне плоскости проведены перпендикуляр и наклонные, то:

1) наклонные, имеющие равные проекции, равны;

2) из двух наклонных больше та, проекция которой больше;

3) равные наклонные имеют равные проекции;

4) из двух проекций больше та, которая соответствует большей наклонной.

Теорема о трех перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной (рис.3).

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

 

 

Рис. 3

Пример 1. Через данную точку провести прямую, параллельную данной плоскости.

Решение. Анализ. Предположим, что прямая построена (рис. 4). Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости (по признаку параллельности прямой и плоскости). Две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Значит, построив плоскость, проходящую через данную точку и произвольную прямую в данной плоскости, можно будет построить параллельную прямую.

 

 

Рис. 4

Построение.

1. На плоскости a проводим прямую а.

2. Прямая а и точка А задают плоскость. Построим плоскость b.

3. В плоскости b через точку А проведем прямую b, параллельную прямой а.

4. Построена прямая b параллельная плоскости a.

Доказательство. По признаку параллельности прямой и плоскости прямая b параллельна плоскости a, так как она параллельна прямой а, принадлежащей плоскости a.

Исследование. Задача имеет бесконечное множество решений, так как прямая а в плоскости a выбирается произвольно.

Пример 2. Определите, на каком расстоянии от плоскости находится точка А, если прямая АВ пересекает плоскость под углом 45º, расстояние от точки А до точки В, принадлежащей плоскости, равно см?

Решение. Сделаем рисунок (рис. 5):

 

Рис. 5

АС – перпендикуляр к плоскости a, АВ – наклонная, угол АВС – угол между прямой АВ и плоскостью a. Треугольник АВС – прямоугольный так как АС – перпендикуляр. Искомое расстояние от точки А до плоскости – это катет АС прямоугольного треугольника. Зная угол и гипотенузу см найдем катет АС:

Ответ: 3 см.

Пример 3. Определите, на каком расстоянии от плоскости равнобедренного треугольника находится точка, удаленная от каждой из вершин треугольника на 13 см, если основание и высота треугольника равны по 8 см?

Решение. Сделаем рисунок (рис. 6). Точка S удалена от точек А, В и С на одинаковое расстояние. Значит, наклонные SA, SB и SC равные, SO – общий перпендикуляр этих наклонных. По теореме о наклонных и проекциях АО = ВО = СО.

Точка О – центр окружности описанной около треугольника АВС. Найдем ее радиус:

 

 

Рис. 6

 

где ВС – основание;

AD – высота данного равнобедренного треугольника.

Находим стороны треугольника АВС из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора:

Теперь находим ОВ:

Рассмотрим треугольник SOB: SB = 13 см, ОВ = = 5 см. Находим длину перпендикуляра SO по теореме Пифагора:

Ответ: 12 см.

Пример 4. Даны параллельные плоскости a и b. Через точку М, не принадлежащую ни одной из них, проведены прямые а и b, которые пересекают a в точках А₁ и В₁, а плоскость b – в точках А₂ и В₂. Найти А₁В₁, если известно, что МА₁ = 8 см, А₁А₂ = 12 см, А₂В₂ = 25 см.

Решение. Так как в условии не сказано, как расположена относительно обеих плоскостей точка М, то возможны два варианта: (рис. 7, а) и (рис. 7, б). Рассмотрим каждый из них. Две пересекающиеся прямые а и b задают плоскость. Эта плоскость пересекает две параллельные плоскости a и b по параллельным прямым А₁В₁ и А₂В₂ согласно теореме 5 о параллельных прямых и параллельных плоскостях.

 

Рис. 7

 

Треугольники МА₁В₁ и МА₂В₂ подобны (углы А₂МВ₂ и А₁МВ₁ – вертикальные, углы МА₁В₁ и МА₂В₂ – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых А₁В₁ и А₂В₂ и секущей А₁А₂). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

Отсюда

Вариант а):

Вариант б):

Ответ: 10 см и 50 см.

Пример 5. Через точку А плоскости g проведена прямая АВ, образующая с плоскостью угол a. Через прямую АВ проведена плоскость r, образующая с плоскостью g угол b. Найти угол между проекцией прямой АВ на плоскость g и плоскостью r.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 8). Из точки В опустим перпендикуляр на плоскость g. Линейный угол двугранного угла между плоскостями g и r – это угол Прямая AD перпендикулярна плоскости треугольника DBC, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как и По признаку перпендикулярности плоскостей плоскость r перпендикулярна плоскости треугольника DBC, так как она проходит через прямую AD. Искомый угол построим, опустив перпендикуляр из точки С на плоскость r, обозначим его Найдем синус этого угла прямоугольного треугольника САМ. Введем вспомогательный отрезок а = ВС. Из треугольника АВС: Из треугольника ВМС найдем

Тогда искомый угол

 

 

Рис. 8

 

Ответ:

 

Задания для самостоятельного решения

 

I уровень

1.1. Через точку проведите прямую перпендикулярную двум заданным скрещивающимся прямым.

1.2. Определите, сколько различных плоскостей можно провести:

1) через три различные точки;

2) через четыре различные точки, никакие три из которых не лежат на одной плоскости?

1.3. Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А₁, В₁, С₁. Докажите равенство треугольников АВС и А₁В₁С₁.

1.4. Из вершины А прямоугольника ABCD восставлен перпендикуляр АМ к его плоскости.

1) докажите, что треугольники MBC и MDC – прямоугольные;

2) укажите среди отрезков MB, MC, MD и MA отрезок наибольшей и наименьшей длины.

1.5. Грани одного двугранного угла соответственно параллельны граням другого. Определите, какова зависимость между величинами этих двугранных углов.

1.6. Найдите величину двугранного угла, если расстояние от точки, взятой на одной грани, до ребра в 2 раза больше расстояния от точки до плоскости второй грани.

1.7. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние проведены две равные наклонные, образующие угол 60º. Проекции наклонных взаимно перпендикулярны. Найдите длины наклонных.

1.8. Из вершины В квадрата ABCD восставлен перпендикуляр ВЕ к плоскости квадрата. Угол наклона плоскости треугольника АСЕ к плоскости квадрата равен j, сторона квадрата равна а. Найдите площадь треугольника АСЕ.

 

II уровень

2.1. Через точку, которая не принадлежит ни одной из двух скрещивающихся прямых, проведите прямую, пересекающую обе данные прямые.

2.2. Параллельные прямые а, b и с не лежат в одной плоскости. Через точку А на прямой а проведены перпендикуляры к прямым b и с, пересекающие их соответственно в точках В и С. Докажите, что прямая ВС перпендикулярна прямым b и с.

2.3. Через вершину А прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость, параллельная ВС. Катеты треугольника АС = 20 см, ВС = 15 см. Проекция одного из катетов на плоскость равна 12 см. Найдите проекцию гипотенузы.

2.4. В одной из граней двугранного угла, равного 30º, расположена точка М. Расстояние от нее до ребра угла равно 18 см. Найдите расстояние от проекции точки М на вторую грань до первой грани.

2.5. Концы отрезка АВ принадлежат граням двугранного угла, равного 90º. Расстояние от точек А и В до ребра равны соответственно АА₁ = 3 см, ВВ₁ = 6 см, расстояние между точками на ребре Найдите длину отрезка АВ.

2.6. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45º и 30º, а между собой угол – 90º. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

2.7. Стороны треугольника равны 15 см, 21 см и 24 см. Точка М удалена от плоскости треугольника на 73 см и находится на одинаковом расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.

2.8. Из центра О окружности, вписанной в треугольник АВС, к плоскости треугольника восставлен перпендикуляр ОМ. Найдите расстояние от точки М до сторон треугольника, если АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, ОМ = 4 см.

2.9. Расстояния от точки М до сторон и вершины прямого угла соответственно равны 4 см, 7 см и 8 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости прямого угла.

2.10. Через основание АВ равнобедренного треугольника АВС проведена плоскость под углом b к плоскости треугольника. Вершина С удалена от плоскости на расстояние а. Найдите площадь треугольника АВС, если основание АВ равнобедренного треугольника равно его высоте.

 

 

III уровень

3.1. Макет прямоугольника ABCD со сторонами а и b перегнут по диагонали BD так, что плоскости треугольников BAD и BCD стали взаимно перпендикулярны. Найдите длину отрезка АС.

3.2. Две прямоугольные трапеции с углами в 60º лежат в перпендикулярных плоскостях и имеют большее общее основание. Большие боковые стороны равны 4 см и 8 см. Найдите расстояние между вершинами прямых и вершинами тупых углов трапеций, если вершины их острых углов совпадают.

3.3.Задан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямой CD₁ и плоскостью BDC₁.

3.4. На ребре АВ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка Р – середина этого ребра. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки C₁PD и найдите площадь этого сечения, если ребро куба равно а.

3.5. Через сторону AD прямоугольника ABCD проведена плоскость a так, что диагональ BD составляет с этой плоскостью угол 30º. Найдите угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью a, если АВ = а, AD = b. Определите, при каком соотношении а и b задача имеет решение.

3.6. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от прямых, определенных сторонами треугольника.

 

 

Призма. Параллелепипед

 

Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n-угольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани). Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 1). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной. Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т.е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).

 

Рис. 1

 

Для произвольной призмы верны формулы:

 

 

 

(1)

 

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P – периметр перпендикулярного сечения;

Q – Площадь перпендикулярного сечения;

S_бок – площадь боковой поверхности;

S_полн – площадь полной поверхности;

S_осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямой призмы верны формулы:

 

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота.

 

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 2). Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным. Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.

Теоремы.

1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

3. Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

 

 

Рис. 2

 

Для произвольного параллелепипеда верны формулы:

 

 

 

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P – периметр перпендикулярного сечения;

Q – Площадь перпендикулярного сечения;

S_бок – площадь боковой поверхности;

S_полн – площадь полной поверхности;

S_осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямого параллелепипеда верны формулы:

 

(2)

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота прямого параллелепипеда.

 

Для прямоугольного параллелепипеда верны формулы:

 

(3)

 

где p – периметр основания;

H – высота;

d – диагональ;

a, b, c – измерения параллелепипеда.

 

Для куба верны формулы:

 

 

где a – длина ребра;

d – диагональ куба.

Пример 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 33 дм, а его измерения относятся, как 2: 6: 9. Найти измерения параллелепипеда.

Решение. Для нахождения измерений параллелепипеда воспользуемся формулой (3), т.е. тем фактом, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Обозначим через k коэффициент пропорциональности. Тогда измерения параллелепипеда будут равны 2k, 6k и 9k. Запишем формулу (3) для данных задачи:

Решая это уравнение относительно k, получим:

Значит, измерения параллелепипеда равны 6 дм, 18 дм и 27 дм.

Ответ: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

Пример 2. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковое ребро равно стороне основания и наклонено под углом 60º к основанию.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 3).

 

 

Для того, чтобы найти объем наклонной призмы необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания данной призмы – это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Вычислим ее:

Высотой призмы является расстояние между ее основаниями. Из вершины А₁ верхнего основания опустим перпендикуляр на плоскость нижнего основания А₁D. Его длина и будет высотой призмы. Рассмотрим DА₁АD: так как это угол наклона бокового ребра А₁А к плоскости основания, А₁А = 8 см. Из этого треугольника находим А₁D:

Теперь вычисляем объем по формуле (1):

Ответ: 192 см³.

Пример 3. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 14 см. Площадь наибольшего диагонального сечения равна 168 см². Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 4)

 

Рис. 4

Наибольшее диагональное сечение – прямоугольник AA₁DD₁, так как диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Для того, чтобы вычислить площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового ребра.

Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), найдем диагональ основания.

Поскольку , то

Так как то АВ = 6 см.

Тогда периметр основания равен:

Найдем площадь боковой поверхности призмы:

Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см равна:

Находим площадь полной поверхности призмы:

Ответ:

Пример 4. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений 300 см² и 875 см². Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 5).

 

Обозначим сторону ромба через а, диагонали ромба d₁ и d₂, высоту параллелепипеда h. Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда необходимо периметр основания умножить на высоту: (формула (2)). Периметр основания р = АВ + ВС + CD + DA = 4AB = 4a, так как ABCD – ромб. Н = АА₁ = h. Т.о. Необходимо найти а и h.

Рассмотрим диагональные сечения. АА₁СС₁ – прямоугольник, одна сторона которого диагональ ромба АС = d₁, вторая – боковое ребро АА₁ = h, тогда

Аналогично для сечения ВВ₁DD₁ получим:

Используя свойство параллелограмма такое, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, получим равенство Получим следующее:

Из первых двух равенств выразим и подставим в третье. Получим:

и далее

Тогда

Ответ: 1850 см².

Пример 5. На ребрах СС₁, AD и АВ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки Р, М, R – середина этих ребер. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р, М, R. Считая ребро куба равным 24 см, найти площадь полученного сечения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 6).

 

Построение. Прямая MR – след секущей плоскости на плоскости нижнего основания. Получается искомое сечение куба PNRMK. Для вычисления его площади воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Многоугольник PNRMK, его ортогональная проекция – СВRMD, определим, где угол между плоскостями этих многоугольников. Ребром двугранного угла является прямая MR. Из точки Р опустим перпендикуляр на прямую MR: точка Е – середина отрезка MR. – угол между плоскостью многоугольника и его проекции. Теорему запишем в виде:

Тогда

Вычислим Так как ABCD – квадрат, а – треугольник равнобедренный то

Вычислим из

Площадь сечения:

Ответ:

 

Задания для самостоятельного решения

 

I уровень

1.1. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 25см, а диагональ ее боковой грани 20см. Найдите высоту призмы.

1.2. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции, нижнее основание которой 14 м, верхнее 8 м и высота 3, 2 м. Определите, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.

1.3. В наклонной треугольной призме проведено сечение перпендикулярное боковому ребру равному 12 см. В полученном треугольнике две стороны с длинами см и 8 см образуют угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1.4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной 4 см и острым углом 60°. Найдите диагонали параллелепипеда, если длина бокового ребра 10 см.

1.5. Основанием прямого параллелепипеда является квадрат с диагональю, равной см. Боковое ребро параллелепипеда 5 см. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

1.6. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Боковое ребро равное см наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем параллелепипеда.

1.7. Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если два ребра и диагональ, исходящие из одной вершины, равны соответственно 11 см, см и 13 см.

1.8. Определите вес каменной колонны, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, с размерами 0, 3 м, 0, 3 м и 2, 5 м, если удельный вес материала равен 2, 2 г/см³.

1.9. Найдите площадь диагонального сечения куба, если диагональ его грани равна дм.

1.10. Найдите объем куба, если расстояние между двумя его вершинами, не лежащими в одной грани, равно см.

 

II уровень

2.1. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной см. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и высоту призмы, если известно, что одна из вершин верхнего основания проектируется на середину стороны нижнего основания.

2.2. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник ABC со стороной равной 3 см. Вершина A₁ проектируется в центр треугольника ABC. Ребро AA₁ составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2.3. Вычислите объем наклонной треугольной призмы, если стороны основания 7 см, 5 см и 8 см, а высота призмы равна меньшей высоте треугольника-основания.

2.4. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к боковой грани под углом 30°. Найдите угол наклона к плоскости основания.

2.5. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция, основания которой равны 4 см и 14 см, а диагональ – 15 см. Две боковые грани призмы – квадраты. Найдите площадь полной поверхности призмы.

2.6. Диагонали правильной шестиугольной призмы равны 19см и 21 см. Найдите ее объем.

2.7. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, у которого диагональ равна 8 дм, и она образует с боковыми гранями углы 30° и 40°.

2.8. Диагонали основания прямого параллелепипеда равны 34 см и 38 см, а площади боковых граней 800 см² и 1200 см². Найдите объем параллелепипеда.

2.9. Определите объем прямоугольного параллелепипеда, в котором диагонали боковых граней, выходящие из одной вершины, равны 4 см и 5 см и образуют угол в 60°.

2.10. Найдите объем куба, если расстояние от его диагонали до непересекающегося с ней ребра равно мм.

 

 

III уровень

3.1. В правильной треугольной призме проведено сечение через сторону основания и середину противоположного бокового ребра. Площадь основания 18 см², а диагональ боковой грани наклонена к основанию под углом 60°. Найдите площадь сечения.

3.2. В основании призмы лежит квадрат ABCD, все вершины которого равноудалены от вершины A₁ верхнего основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°. Сторона основания 12 см. Постройте сечение призмы плоскостью, проходя через вершину C, перпендикулярно ребру AA₁ и найти его площадь.

3.3. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция. Площадь диагонального сечения и площади параллельных боковых граней соответственно равны 320 см², 176 см² и 336 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

3.4. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 9см², площади боковых граней 18 см², 20 см² и 34 см². Найдите объем призмы.

3.5. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда, зная, что диагонали его граней равны 11 см, 19 см и 20 см.

3.6. Углы, образованные диагональю основания прямоугольного параллелепипеда со стороной основания и диагональю параллелепипеда, равны соответственно a и b. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если его диагональ равна d.

3.7. Площадь того сечения куба, которое представляет собой правильный шестиугольник, равна см². Найдите площадь поверхности куба.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: