Локальная теорема Муавра-Лапласа

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие произойдет раз в независимых испытаниях при достаточно большом числе , вычисляется по формуле

где ,

или , .

Доказательство. Рассмотрим функцию . Воспользуемся определением производной функции: приблизительно равна отношению конечного приращения к приращению аргумента :

Составим отношение

Так как , то

.

Полагая – величиной очень большой, а и правильными дробями, заметно отличающимися от нуля, можно сказать, что стремятся к и ими можно пренебречь.

Тогда выражение является дифференциальным уравнением, решение которого имеет вид

.

Откуда или и .

Постоянную найдем из начальных условий , где , т.е. , , т.к. при больших , т.е. наивероятнейшему числу появления события в независимых испытаниях, тогда

.

Чем больше , тем точнее приближенная формула называемая локальной формулой Муавра-Лапласа. Формула применяется при , но при дает незначительную погрешность.

Если , то относительная погрешность составляет менее 1%.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число наступления события в независимых испытаниях заключено в пределах от до (включительно), при достаточно большом числе приближенно равна

где – интегральная функция Лапласа;

Доказательство. Вероятность можно найти по формуле . Но при больших и нецелесообразно использовать эту формулу, т.к. она содержит большое количество слагаемых вида , поэтому сумму заменим интегралом:

Условимся обозначать , тогда

,

где ; .

Формула называется интегральной формулой Муавра–Лапласа. Чем больше , тем точнее эта формула. При выполнении условия интегральная формула Муавра–Лапласа так же, как и локальная, дает незначительную погрешность вычисления вероятностей.

Значения функции сведены в таблицу. Для применения таблицы нужно знать свойства функции :

– функция нечетная, т.е. ;

– функция монотонно возрастающая, причем при . Практически можно считать, что уже при

Следствие. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе независимых испытаний вероятность того, что:

а) число наступления события отличается от произведения не более чем на величину (по абсолютной величине), вычисляется по формуле

.

Неравенство равносильно двойному неравенству . Используя интегральную формулу Муавра-Лапласа, получим:

б) частота события заключена в пределах от до (включительно) с вероятностью

где

Неравенство равносильно неравенству при и .

Заменяя в формулах величины и выражениями и , получим

в) вероятность отклонения частоты события от вероятности события в единичном испытании не более чем на величину (по абсолютной величине) вычисляется по формуле

Неравенство равносильно неравенству .

Заменяя в формуле , получим доказываемую формулу, т.е.

Решение типовых задач

Пример 1. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?

Решение. В данном случае Согласно неравенству или , т.е. необходимо подбросить кость от 59 до 65 раз (включительно).

Пример 2. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0, 8. Найти вероятности воз­можного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных.

Решение. Вероятность изготовления бракованной детали. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли:

Пример 3. В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероят­ность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по пер­воначально заявленной цене: 1) не будут проданы 5 пакетов; 2) будет продано: а) менее 2 пакетов; б) не более 2; в) хотя бы 2 пакета; г) наивероятнейшее число пакетов.

Решение. Вероятность того, что пакет акций не будет продан по первоначально заявленной цене, равна =1—0, 2=0, 8.

1) по формуле Бернулли найдем вероятность того, что не будут проданы 5 пакетов: ;

2) а) будет продано менее 2 пакетов: по условию = 0, 2.

;

б) будет продано не более двух пакетов:

в) будет продано хотя бы два пакета

.

Указанную вероятность можно найти проще, если перейти к противоположному событию, т.е.

.

г) наивероятнейшее число проданных акций по первоначально заявленной цене определится из условия , т.е. или . Наивероятнейших чисел два: и .

Пример 4. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение. Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, равна . Так как — мала, — велико и то применяем формулу Пуассона:

Получим . Значение вероятности при и нашли по таблице приложения В.

Пример 5. Завод отправил на базу 10 000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке, составляет 0, 02%. Найти вероятность того, что из 10 000 изделий: 1) будет повреждено: а) три изделия; б) по крайней мере три изделия; 2) не будет повреждено: а) 9997; б) хотя бы 9997.

Решение. Вероятность того, что изделие будет повреждено при транспортировке, равна = 0, 0002.

1) а) так как мала, а =10000 велико и следует применить формулу Пуассона:

Это значение вероятности нашли по таблице приложения В:

;

б) вероятность может быть вычислена как сумма большого количества слагаемых:

.

Но, разумеется, проще ее найти, перейдя к противоположному событию:

Следует отметить, что для вычисления вероятности = нельзя применить интегральную формулу Муавра–Лапласа, так как не выполнено условие ее применимости, ибо ;

2) а) в данном случае = 1 – 0, 0002 = 0, 9998 и надо найти , для непосредственного вычисления которой нельзя применить ни формулу Пуассона ( велика), ни локальную формулу Муавра–Лапласа ( ). Однако событие «не будет повреждено 9997 из 10 000» равносильно событию «будет повреждено 3 из 10 000», вероятность которого, равная 0, 1804, получена в п.1(а);

6) событие «не будет повреждено хотя бы 9997 из 10 000» равносильно событию «будет повреждено не более 3 из 10 000», для которого = 0, 0002 и

Пример 6. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна . Т. к. достаточно велико (условие выполнено), то применяем локальную формулу Муавра–Лапласа.

Вначале определим .

Тогда по локальной формуле Муавра–Лапласа

(значение найдено по таблице приложения А). Весьма малое значение вероятности не должно вызывать сомнения, так как кроме события «ровно 300 семей из 400 имеют холодильни­ки» возможно еще 400 событий: «0 из 400», «1 из 400»,..., «400 из 400» со своими вероятностями. Все вместе эти события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице.

Пример 7. По данным предыдущего примера 6 вычислить вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют холодильники.

Решение. Применяем интегральную теорему Муавра–Лапласа . Вначале определим и :

Теперь, учитывая свойства получим

.

По таблице приложения Б: , .

Пример 8. По данным примера 6 вычислить вероятность того, что от 280 до 360 семей из 400 имеют холодильники.

Решение. Вычислить вероятность мож­но аналогично примеру 7 по интегральной формуле Муавра–Лапласа. Но проще это сделать, если заметить, что границы интервала 280 и 360 симметричны относительно величины = 320. Тогда получим

Пример 9. По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет.

1. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет: а) заключена в пределах от 0, 9 до 0, 95; б) будет отличаться от вероятности этого события не более чем на 0, 04 (по абсолютной величине).

2. При каком числе новорожденных с надежностью 0, 95 до­ля доживших до 50 лет будет заключена в границах от 0, 86 до 0, 88?

Решение. 1. а) вероятность того, что новорожденный доживет до 50 лет, равна 0, 87. Так как = 1000 велико (условие выполнено), то используем следствие интегральной теоремы Муавра—Лапласа. Вначале оп­ределим и :

Теперь

;

б) по формуле

Так как неравенство равносильно неравенству полученный результат означает, что практически достоверно, что от 0, 83 до 0, 91 числа новорожденных из 1000 доживут до 50 лет.

2. По условию

или

По формуле при

По таблице 2 приложений при следовательно, из формулы получим

т.е. условие может быть гарантировано при существенном уве­личении числа рассматриваемых новорожденных до 4345.

Пример 10. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) наивероятнейшее число предприятий; в) не менее 480; г) от 480 до 520.

Решение. а) по условию = 0, 5. Так = 1000 достаточно велико (условие выполнено), то применяем локальную формулу Муавра–Лапласа. Вначале определим . Чтобы вычислить значения , используем линейную интерполяцию (табл. прил. А):

.

Тогда ;

б) наивероятнейшее число найдем из двойного неравенства , т.е. и целое

Теперь определим

и ;

в) необходимо найти . Применяем интегральную формулу Муавра–Лапласа, предварительно найдя по формуле

Получаем

,

где значение вычисляем, используялинейную интерполяцию (табл. прил. Б):

г) вероятность можно было найти по той же интегральной формуле Муавра–Лапласа. Но проще это сделать, используя следствие, заметив, что границы интервала 480 и 520 симметричны относительно значения :

Пример 11. В страховой компании 10 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной = 0, 005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0, 95?

Решение. Размер прибыли компании составляет разность между суммарным взносом всех клиентов и суммарной страховой суммой, выплаченной клиентам при наступлении страхового случая, т.е.

тыс. руб.

Для определения применим интегральную формулу Муавра–Лапласа (требование выполнено).

По условию задачи

 

откуда

По таблице приложения Б при .

Теперь и

т.е. с надежностью 0, 95 ожидаемая прибыль составит 1, 92 млн руб.

2.4. Задачи для самостоятельного решения

1. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партий исключен): три партии из четырех или пять из восьми?

2. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно 7.

3. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0, 8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

4. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных деталей было равно 50, если вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной, равна 0, 1?

5. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0, 8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?

6. Для проверки качества партии изготовленных изделий наудачу отбирается пять изделий. Если среди них окажутся два или более нестандартных изделия, то вся партия подлежит сплошному контролю. Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0, 9. Определить вероятность того, что партия будет подвергнута сплошному контролю. Определить наиболее вероятное число стандартных изделий и вычислить соответствующую ему вероятность.

7. Вероятность того, что команда выйдет в финал игры, равна 0, 6. Оценить вероятность того, что число команд, прошедших в финал игры, будет заключено в пределах от 7 до 11, если в играх участвует 15 команд.

8. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0, 004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

9. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0, 001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.

10. Вероятность того, что любой абонент позвонит на телефонную станцию в течение часа, равна 0, 01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5 абонентов?

11. Вероятность сбоя компьютерной системы составляет 0, 009. Оценить вероятность того, что из 70 000 компьютеров выйдет из строя от 300 до 960.

12. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0, 515.

13. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных «гербом» вверх, будет от 45 до 55?

14. Вероятность того, что безработный найдет работу, обратившись в службу занятости, равна 0, 6. Оценить вероятность того, что среди 700 человек, обратившихся в службу занятости, работу получат от 340 до 500 человек.

15. Вероятность получения зачета равна 0, 6. Оценить вероятность того, что из 25 студентов зачет получат от 10 до 20 студентов.

16. Всхожесть семян данного растения равна 0, 9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830.

17. Каков должен быть объем контрольной партии взятых наудачу для проверки изделий, чтобы с вероятностью 0, 99 можно было утверждать, что процент изделий определенного сорта, найденный по контрольной партии, отличается не более чем на 3% от установленной нормы выпуска изделий этого сорта, равной 10%?

18. Швейная фабрика, выпускающая массовую продукцию, производит изделий первого сорта 75% от общего числа изделий. Оценить вероятность того, что доля изделий первого сорта среди 20000 изготовленных будет отличаться от вероятности изготовления изделий первого сорта не более чем на 1% в ту или другую сторону.

19. Вероятность изготовления нестандартной радиолампы 0, 02. Какое наименьшее количество радиоламп следует отобрать, чтобы с вероятностью, большей 0, 8, можно было утверждать, что среди них доля нестандартных радиоламп отличается от вероятности изготовления нестандартной лампы по абсолютной величине не более чем на 0, 005?

20. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продает их, равна 0, 7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0, 996. что доля проданных среди них отклонится от 0, 7 не более чем на 0, 04 (по абсолютной величине)?

21. Среднее число заявок, поступивших на АТС в 1 мин, равно 2. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит: а) три вызова; б) менее трех вызовов; в) не менее трех вызовов.

2.5. Индивидуальные домашние задания по теме
«Повторные независимые испытания»

Вариант 1

1. Вероятность правильного оформления накладной при передаче продукции равна 0, 8. Найти вероятность того, что из восьми накладных только две оформлены правильно.

2. Найти приближенно вероятность того, что при 400 независимых испытаниях событие наступит 104 раза, если вероятность его появ­ления в каждом испытании равна 0, 2.

3. Процент выхода поголовья цыплят равен 80. Сколько нужно заложить яиц в инкубатор, чтобы с вероятностью 0, 95 можно ожидать отклонение процента выхода поголовья от его вероятности не более чем на 2%?

Вариант 2

1. Вероятность правильного оформления счета на предприятии составляет 0, 95. Во время аудиторской проверки были взяты шесть счетов. Какова вероятность того, что только один из них оформлен правильно?

2. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0, 8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень ровно 75 раз.

3. Каков должен быть объем контрольной партии взятых наудачу для проверки изделий, чтобы с вероятностью 0, 99 можно было утверждать, что процент изделий определенного сорта, найденный по контрольной партии, отличается не более чем на 3% от установленной нормы выпуска изделий этого сорта, равной 10%?

Вариант 3

1. На швейной фабрике пять цехов, вероятность выполнения плана за месяц у каждого цеха равна 0, 88. Найти вероятность того, что:

а) только один цех не выполнит план; б) два цеха не выполнят план;

в) все пять цехов не выполнят план.

2. Вероятность появления события А в каждом отдельном испытании равна 0, 75. Вычислить вероятность того, что при 48 независимых испытаниях событие А наступит ровно 30 раз.

3. Швейная фабрика, выпускающая массовую продукцию, производит изделий первого сорта 75% от общего числа изделий. Оценить вероятность того, что доля изделий первого сорта среди 20 000 изготовленных будет отличаться от вероятности изготовления изделий первого сорта не более чем на 1% в ту или другую сторону.

Вариант 4

1. Вероятность того, что любой студент сдаст зачет по математическому программированию, равна 0, 8. Три студента пришли сдавать зачет. Определить вероятность того, что а) только два студента сдадут зачет; б) все три студента сдадут зачет; в) хотя бы один студент сдаст зачет.

2. Какова вероятность выиграть у равносильного противника 24 партии из 40?

3. Из 5000 швейных однотипных изделий, поступивших на торговую базу с фабрики, было обследовано товароведом 500 штук, отобранных случайным образом. Среди них оказались 10 бракованных (третьего сорта). Приняв долю бракованных изделий среди отобранных за вероятность пошива бракованного изделия, оценить вероятность того, что во всей партии бракованных изделий не более 4%.

Вариант 5

1. Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность того, что каждому из этих покупателей потребуется холодильник марки «А», равна 0, 4. Найти вероятность того, что холодильник потребуется: а) не менее чем двум покупателям; б) не более чем трем покупателям; в) всем четырем покупателям.

2. Найти приближенно вероятность того, что при 100 независимых испытаниях событие наступит ровно 12 раз, если вероятность появления в каждом испытании равна 0, 2.

3. ОТК проверяет качество швейных изделий, вероятность пошива изделия нестандартного (третьего) сорта равна 0, 02. Контролер взял для проверки 20 изделий наудачу. Каково наиболее вероятное число стандартных изделий среди проверяемых? Какова вероятность того, что среди проверяемых 19 изделий стандартных? Какова вероятность того, что среди проверяемых не менее 10 стандартных изделий?

Вариант 6

1. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей имеют некомплектность: а) три автомобиля; б) менее трех.

2. Вероятность брака при производстве деталей равна 0, 02. Найти вероятность того, что в партии из 400 деталей окажутся бракован­ными от 7 до 10 деталей.

3. Вероятность изготовления нестандартной радиолампы 0, 02. Какое наименьшее количество радиоламп следует отобрать, чтобы с вероятностью, большей 0, 8, можно было утверждать, что среди них доля нестандартных радиоламп отличается от вероятности изготовления нестандартной лампы по абсолютной величине не более чем на 0, 005?

Вариант 7

1. Производится залп из шести орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0, 6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех попаданий.

2. Вероятность попадания в цель равна 0, 5. Какова вероятность того, что при 250 выстрелах число попаданий будет заключено между 115 и 150?

3. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продает их, равна 0, 7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0, 996, что доля проданных среди них отклонится от 0, 7 не более чем на 0, 04 (по абсолютной величине)?

Вариант 8

1. В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора; б) менее двух договоров.

2. Вероятность брака при изготовлении деталей равна 0, 02. Опреде­лить вероятность того, что среди взятых 1000 штук деталей окажутся бракованными не более 25.

3. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных деталей было равно 50, если вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной, равна 0, 1?

Вариант 9

1. Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из шести малых предприятий не более двух в течение года прекратят свою деятельность?

2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0, 75. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах число попаданий бу­дет не менее 70?

3. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0, 01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.

Вариант 10

1. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье: а) не менее трех мальчиков; 6) не более трех мальчиков.

2. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0, 2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей непроверенными окажутся от 70 до 100.

3. Вероятность того, что деталь стандартна, равна = 0, 9. Найти: а) с вероятностью 0, 9545 границы (симметричные относительно ), в которых заключена доля стандартных среди проверенных 900 деталей; б) вероятность того, что доля нестандартных деталей среди них заключена в пределах от 0, 08 до 0, 11.

Вариант 11

1. Два равносильных противника играют в шахматы. Что более вероятно: а) выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6; б) не менее 2 партий из 6 или не менее 3 партий из 6? (Ничьи в расчет не принимаются.)

2. Вероятность промышленного содержания металла в руде равна 0, 7. Отобрано 100 проб. Определить вероятность того, что число проб с промышленным содержанием металла в руде находится в пределах от 55 до 80. Каково наиболее вероятное число проб с промышленным содержанием металла в руде и какова вероятность этого числа?

3. Статистическая вероятность рождения мальчика 0, 515. Оценить вероятность того, что число мальчиков среди 4000 новорожденных будет отличаться от математического ожидания этого числа по абсолютной величине не более чем на 56 человек.

Вариант 12

1. Работают четыре магазина по продаже стиральных ма­шин. Вероятность отказа покупателю в магазинах равна 0, 1. Считая, что ассортимент товара в каждом магазине формиру­ется независимо от других, определить вероятность того, что покупатель получит отказ в двух, в трех и в четырех магази­нах.

2. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0, 2. Найти вероятность того, что из 100 покупателей обувь 41-го размера потребуют 35 человек.

3. В результате проверки качества приготовленных для посева семян гороха установлено, что в среднем 90% всхожи. Сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью 0, 991 можно было ожидать, что доля взошедших семян отклонится от вероятности взойти каждому семени не более чем на 0, 03 (по абсолютной величине)?

Вариант 13

1. Известно, что в среднем 60% всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется: а) 6 аппаратов первого сорта, если партия содержит 10 аппаратов; б) 120 аппаратов первого сорта, если партия содержит 200 аппаратов?

2. Вероятность попадания в цель равна 0, 5. Какова вероятность того, что при 250 выстрелах число попаданий будет заключено между 115 и 150?

3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0, 004. Найти вероятность поражения цели не менее чем 2 снарядами, при залпе из 250 орудий.

Вариант 14

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: