Может ли математическое ожидание дискретно случайно величины, принимающей целые значения, быть числом не целым? Ответ обойснуйте.

Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий (теорема умножения математических ожиданий).

Возможные значения X обозначим x₁, x_2, …, возможные значения Y - y₁, y_2, … а p_ij=P(X=x_i, Y=y_j). Закон распределения величины XY будет выражаться соответствующей таблицей. А M(XY)= Ввиду независимости величин X и Y имеем: P(X= x_i, Y=y_j)= P(X=x_i) P(Y=y_j). Обозначив P(X=x_i)=r_i, P(Y=y_j)=s_j, перепишем данное равенство в виде p_ij=r_is_j

Таким образом, M(XY)= = . Преобразуя полученное равенство, выводим: M(XY)=( )( ) = M(X)M(Y)

57. Докажите, что если X и Y – дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то M(X +Y) = M(X ) +M(Y).

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y)= M(X)+M(Y). Док-во. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения⁽*⁾( возьмем 2 значения):

Составим все возможные значения величины X+Y. Для этого к каждому возможному значению X прибавим возможное значение Y; получим x₁+y₁, x₁+y₂, x₂+y₁, x₂+y₂. Предположим, что эти возможные значения различны( если не так, то доказательство аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через p₁₁, p₁₂, p₂₁, p_22. Математическое ожидание величины X+Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности: M(X+Y) = (x₁+y₁)* *p₁₁+(x₁+y₂)* p₁₂+(x₂+y₁)* p₂₁+(x₂+y₂)* p₂₂, или M(X+Y) = x₁*(p₁₁+p₁₂)+ x₂*(p₂₁+p₂₂)+ +y₁*(p₁₁+p₂₁)+ y₁*(p₁₂+p₂₂). Докажем, что p₁₁+p₁₂=p₁. Событие, состоящие в том, что X примет значение x₁ (вероятность этого события равна p₁), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X+Y примет значение x₁+y₁ или x₁+y₂ (вероятность этого события по теореме сложения равна p₁₁+p₁₂), и обратно. Отсюда следует, что p₁₁+p₁₂=p_1. Аналогично доказываются равенства p₂₁+p₂₂=p₂, p₁₁+p₂₁=g₁ и p₁₂+p₂₂=g_2. Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим M(X+Y)=(x₁p₁+x₂p₂)+(y₁g₁+y₂g₂), или M(X+Y)= M(X)+M(Y).

58. Как определяется и что характеризует дисперсия дискретной случайной величины X ? Перечислите основные свойства дисперсии.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Поэтому вычисляют среднее значение квадратаотклонения, которе и называется дисперсией. Дисперсией(рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X)=M[X-M(X)]². Более удобная формула: D(X) = M(X ²) − M² (X). Св-ва: 1⁰. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (С) = 0. 2⁰. Постоянный множитель можно выно­сить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX)=С²D(X). 3⁰. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X + Y)= D(X)+D(Y). 4⁰. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y). 5⁰ Прибавление( вычитание) константы к случайной величине не меняет ее дисперсии. D(X+C)=D(X).

59. Докажите, что если X – дискретная случайная величина, то D(X) = M(X ²) − M²(X).

Док-во: Математическое ожидание M(X) есть постоянная величина, следовательно, 2M(X) и M²(X) также постоянные величины. D(X) = M(X ²) − M² (X)= M[X-M(X)]²=M[X²-2XM(X)+M²(X)]=M(X²)-2M(X)M(X)+M²(X)=M(X²)-2M²(X)+M²(X)=M(X²)-M²(X). т.е. D(X) = M(X ²) − M²(X).

60. Пусть X – дискретная случайная величина. Может ли выполняться неравенство M(X 2)< (M(X ))²? Ответ обоснуйте.

По определению дисперсии D(X)=M[X-M(X)] ², тогда

D(X)=M[X ² -2ХM(X)+ M ² (X)]= M(X ² )-2 M ² (X)+ M ² (X)= M(X ² )- M ² (X).

Итак, для любой с.в.Х D(X)= M(X ² )- M ² (X), D(X)≥ 0, поэтому для любой с.в. Х всегда выполняется неравенство M(X ² ) ≥ M ² (X). Поэтому неравенство М(Х²)< [M(X)] ² выполняться не может.

61. Докажите, что если X и Y – независимые случайные величины, то

D[XY]= D[X ]⋅ D[Y ]+M[X ]² D[Y ]+M[Y ]² D[X ].

D(XY) = (M(XY)²)-[M(XY)]² = M(X²Y²)-(M(x))²(M(Y))² = M(X²)M(Y²)-M²(X)M²(Y) = (D(X)+[M(X)]²)(D(Y)+[M(Y)]²) – M²(X)M²(Y) = D(X)D(Y)+M(Y)²D(X)+M(X)²D(Y). Ч.т.д.

62. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону распределения с параметрами n и р. Докажите, что М(Х)=nр, D(Х)=nр(1-р).

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р, так что вероятность противоположного события Ā равна q=1-p. Рассмотрим сл. величину Х – число появления события А в n опытах. Представим Х в виде суммы индикаторов события А для каждого испытания: Х=Х₁+Х₂+…+Х_n. Теперь докажем, что М(Х_i)=р, D(Х_i)=np. Для этого рассмотрим закон распределения сл. величины, который имеет вид:

Очевидно, что М(Х)=р, случайная величина Х² имеет тот же закон распределения, поэтому D(Х)=М(Х²)-М²(Х)=р-р²=р(1-р)=рq. Таким образом, М(Х_i)=р, D(Х_i)=pq. По теореме сложения математических ожиданий М(Х)=М(Х₁)+..+М(Х_n)=nр, D(Х)=D(Х₁)+…+D(Х_n)=npq=np(1-р).

63. Докажите, что для биномиального закона распределения сл. величина с вероятностью успеха р в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство:

=

64. Пусть X – дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром. Докажите, что M(X ) = D(X ) = λ .

Закон Пуассона задается таблицей:

Отсюда имеем:

=

Таким образом, параметр λ, характеризующий данное пуассоновское распределение, есть не что иное как математическое ожидание величины X. Это легко понять, если вспомнить, что формулы Пуассона получились как предельный вариант формул Бернулли, когда, причем ∞ → n∞ → nλ = np. Поскольку для биномиального закона математическое ожидание равно np, то неудивительно, что для пуассоновского закона M(X) =. Более того, мы можем предположить, что дисперсия X тоже будет равна λ, поскольку для биномиального закона D(X) = npq и 1 при → q. Действительно, непосредственный подсчет дисперсии подтверждает это предположение, однако мы не приводим его здесь из-за сложности выкладок. Ниже мы выведем эти формулы более простым способом. Таким образом, для закона Пуассона

M(X) = λ, D(X) = λ

65. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что M (X) = .

Геометрический закон связан с последовательностью испытания Бернулли до 1-го успешного А (события), р=р(А)

66. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что D (X) = .

67.Как определяется ковариация Cov(X, Y) случайных величин X, Y? Докажите, что D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y).

1.Ковариацией COV(X, Y) случайных величин X, Y называется математическое ожидание произведения отклонений X и Y.

Сov(X, Y)=M[(X-M(X)][Y-M(Y)]

2. Пусть Х и У – две случайные величины. Положим, Z=X+Y По теореме сложения математических ожиданий будем иметь: М(Z)=M(X)+M(Y). Вычитая это равенство из предыдущего, получим: , где обозначает, как и раньше, отклонение величины Х. Отсюда = Найдем дисперсию Х+У. Имеем D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2M( ), где М( ) = Cov(X, Y).

Формула принимает вид: D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2Cov(X, Y)

68. Сформулируйте основные свойчтва ковариации Cov(X, Y) случайных величин Х и У. Докажите, что Cov(X, Y)=M(XY)-M(X)M(Y)

Ковариацией (корреляционным моментом) Cov(X, Y) случайных величин X, Y называется мате-матическое ожидание произведения отклонений X и Y

Cov(X, Y) = M[(X − M(X))(Y − M(Y))].

Ковариация обладает следующими свойствами:

1. Cov(X, Y) = M(XY) − M(X)M(Y).

2. Cov(X, X) = D(X).

3. D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y).

4. Если X и Y независимы, то Cov(X, Y) = 0.

5. Cov(X, Y) = Cov(Y, X).

6. Cov(aX , Y) = Cov(X, aY) = aCov(X, Y).

7. Cov(X +Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z).

8. Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z).

Если Cov(X, Y) = 0, то случайные величины X и Y называются некоррелированными.

Нет доказательства!!!!!!!!!!!!!!

69. Как определяется коэффициент корреляции ρ (X; Y) случайных величин X иY ? Каковы основные свойства коэффициента корреляции? Что можно сказать о X и Y , если ׀ ρ (X; Y) ׀ =1?

Коэффициент корреляции случайных величин X и Y определяется формулой ρ (X; Y)= Cov(X; Y)/ (σ (X)*σ (Y)), где Cov(X; Y) – ковариация X и Y, а σ (X) – среднее квадратичное отклонение Х, σ (Y) – среднее квадратичное отклонение Y.

Основные св-ва:

1) ρ (X; Y)=ρ (Y; X)

2) ׀ ρ (X; Y) ׀ < =1

3) ׀ ρ (X; Y) ׀ =1 равнозначно существованию констант a, b таких, что равенство Y=a+bX выполняется с вероятностью 1.

70. Докажите, что коэффициент корреляции случайных величин Х и У удовлетворяет условию . Что можно сказать о Х и У, если ? Если ?

Определение. Коэффициентом корреляции двух слу­чайных величин называется отношение их ковариации к произведе­нию средних квадратических отклонений этих величин: p_xy=K_xy/«сигма»_х«сигма»_х. Из определения следует, что р_ху=р_ух=р. Очевидно также, что коэффициент корреляции есть безразмерная величина. Отметим свойства коэффициента корреляции.

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1; 1], т.е. -1< р< 1.Из неравенства

2. Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен (по абсолютной величине) единице, то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость:

71. Чему равен ρ (X, Y) и Cov(X, Y) при условии независимости случайных величин X, Y? Что можно сказать о ρ (X, Y), если Y=a+bX, где a и b – некоторые числа (b≠ 0)? Ответ обоснуйте.

Если X и Y независимые случайные величины, то Cov(X, Y) = M(X, Y) – M(X)M(Y) = M(X)M(Y) - M(X)M(Y) = 0

Если (β ≠ 0), то

Док-во: Cov(X, Y) = Cov(X, α + β X) = M (X(α +β X)) – M(X)M(α +β X) = M(Xα +β X²) - M(X)(M(α ) + M(β X)) = M(Xα ) + M(β X²) – α M(X) – β (M(X))² = β (M(X²) – (M(X))²) = β D(X)

тоесть ч.т.д.

72. Дайте определение непрерывной случайное велчини X. Чему в этом случае равна вероятность P(X=a), где а – определённое число? Следует ли из равенства P(X=a)=0 для непрерывной случайное величины X, что событие X=a никогда не наступает?

Случайная величина X называется непрерывной, если её функция распределения F(X) непрерывна в любой точке X. P(X=a), где а – определённое число, есть вероятность каждого и отдельного значения. P(X=a)=0, т.е. вер-ть каждого отдельного значения равна нулю. Однако это не означает, что событие Х=а невозможно. В результате испытания случ. величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным а.