Геометрический смысл производной.

Пусть Г- график функции y=f(x). Рассмотрим на Г т. А(x0, f(x0)) и т. В (x0+Δ x, f(x0+Δ x))

Прямая АВ называется секущей. Будем считать, что y=f(x)-непрерывная функция, тогда если Δ х→ 0, то f(x0+Δ x)→ f(x0), т.е. В→ А при Δ х→ 0.

Пусть γ – угол наклона секущей относительно оси ОХ. Если существует предел lim γ =γ 0 при Δ х→ 0, то прямая, проходящая через А и образующая с осью ОХ угол γ 0, называется касательной к Г в точке А.

Пусть С(f(x0+Δ х), f(x0)) – точка, дополняющая отрезок АВ до прямоуг. треугольника АВС. Т.к. АС//ОХ, то tgγ =Δ у/Δ х. Переходя к пределу, получим: tgγ 0=f′ (x0)

Т.е. геометрический смысл производной состоит в том, что f′ (x0) – это тангенс угла наклона касательной к графику y=f(x) в точке (x0, f(x0)).

Уравнение касательной.

Найдем ур-е касательной к графику Г ф-и y=f(x) в точке А(х0, f(x0)): т.к. т. А принадлежит Г и ур-ю касательной, то f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0)-kx0, значит, касательная задается след. Ур-м:

y= kx+ f(x0)-kx0= f(x0)+k(х-x0)

Т.к. k= f′ (x0), то

y=f(x0)+ f′ (x0)(х-х0).

Определение эластичности функции.

функции y = f(x) в точке х0 называется следующий предел

Eyx(x0) = lim ((Δ y/y): (Δ x/x)).

Δ x ® 0

Эластичность Ey – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x.)

Теорема Ролля.

Если функция, непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

 

Теорема Лагранжа.

Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что

f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a).

(1)

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений

Теорема Коши.

Пусть даны две функции f(x) и g(x)такие, что:

1. f(x) и g(x)определены и непрерывны на отрезке ;

2. производные и конечны на интервале ;

3. производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале

4. ;

тогда

, где

(Если убрать условие 4, то необоходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале (a, b).)

Правило Лопиталя.

Теорема (правило Лопиталя ). Пусть А – число, символ одностороннего предела (А=а±0) или символ бесконечности (А=±∞ ). Пусть функции ƒ (х) и g(х) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х→ А. Тогда, если существует предел

(конечный или бесконечный),

то существует и предел

 

при этом выполняется равенство:

 

Производные и дифференциалы высших порядков.

Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′ . В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.

 

Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:

d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка

d3y=d(d2y)…

dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка

Формула Тейлора. Формула Маклорена.

Теорема Тейлора.

Пусть функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Тогда между точками a и x a найдется такая точка , что справедлива следующая формула:

Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение

представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x a более высокого порядка, чем (x-a)ⁿ. Таким образом, остаточный член можно записать в виде

R_n+1(x) = o((x-a)ⁿ) при x a.

Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:

Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид

R_n+1 = o(xⁿ) при x 0.

Приведем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

 

Найдите, исходя из

определения, производную функции f(x) в точке x₀:

26. f(x) = x³, x₀ - произвольное число.

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f(x) = x³

f ′ (x_о)= = = = =3

27. f(x)=sinx, x_о-произвольное число

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f ′ (x_о)= = = =cosx₀

28. f (x)= , x_о =9

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f ’(x)= = = =1/6

29. f(x)= , x_о =1

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f ’(x)= = = = =-2

30. f(x)=x½ x½, x₀=0

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

31.

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

 

Найдите эластичность функции f (x) в точке x0:

38. f(x) = x⁴, x₀ = 9.

Эластичностью функции y = f(x) в точке х₀ называется предел

f (x) = x⁴ => E(x)= , при x₀ = 9.

39. f(x) = 3^x, x₀ = 5.

Эластичностью функции y = f(x) в точке х₀ называется предел

E(x)=

40. Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей.

Эластичность произведения ф-ий и в точке равна сумме эластичностей ф-ций в этой же точке: . Эластичность равна E_y=x(lny)

Док-во: Пусть тогда .

42. Сформулируйте теорему Ролля. Можно утвержд, что производная функции f(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) обращается в нуль в трех точках интервала (2, 5)?

Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b) и , то найдётся хотя бы одна точка , в которой .

Можно.

f(2)=0, f(3)=0, f(4)=0, f(5)=0 => существует С1из (2; 3), такое, что f'(C1)=0, и тд 2, 3, 5, 4

43. Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если f ′ (x) = 0 на интервале (a, b), то функция f (x) постоянна на этом интервале.

Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a)

 

=>

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: