Признаки сходимости знакопеременных рядов

Определение: Знакочередующимся рядом называется ряд вида

, (1)

где – положительные числа.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости:

Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (1) убывают по абсолютной величине и предел его общего члена при равен нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена .

Т.е. для того, чтобы исследовать знакочередующийся ряд на сходимость, достаточно проверить выполнение двух условий:

1) (2)

2) (3)

Замечание: Неравенства (2) могут выполняться, начиная с некоторого .

Пример 1.

Исследовать на сходимость ряд

Решение. Т.к. члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: , и вообще, , а общий член ряда при стремится к нулю, то в силу признака Лейбница ряд сходится.

Пример 2.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Проверим условие (2): . Доказать это неравенство достаточно сложно. Поэтому применим следующий прием: докажем, что функция монотонно убывает на некотором интервале вида . Для этого вычислим ее производную . Т.к. , при , то отсюда следует, что при , т.е. функция монотонно убывает в данном промежутке. Следовательно, неравенство (2) выполняется для любых , начиная с трех.

Проверим условие (3). Для этого необходимо вычислить . Используя правило Лопиталя, получим . Следовательно, и .

Т.о. оба условия теоремы Лейбница выполняются, и, следовательно, данный ряд сходится.

Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Очевидно, знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных.

Предполагаем теперь, что в записи

(4)

имеются как положительные, так и отрицательные .

Теорема (модульный признак сходимости знакопеременных рядов).

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного знакопеременного ряда (4):

(5)

сходится, то сходится и данный ряд.

Отметим, что если ряд (5) расходится, то отсюда не следует, что ряд (4) будет также расходящимся. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд из абсолютных величин его членов (гармонический ряд) расходится.

В связи с этим можно ввести понятие абсолютной и условной сходимости:

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .

Определение. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин , расходится, а сам ряд сходится.

Например, ряд является условно сходящимся (см. пример 1). А ряд является абсолютно сходящимся, т.к. ряд, составленный из абсолютных величин , сходится (обобщенный гармонический при ).

Грубо говоря, различие между абсолютно и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые частично уничтожают друг друга.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно различаются: абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы: их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Возьмем, например, условно сходящийся ряд . Переставим члены ряда местами и сгруппируем их следующим образом:

Перепишем ряд в виде (произведя первое действие в каждой скобке):

Видим, что от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза.

Можно показать (теорема Римана), что от перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

Примеры:

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.

1)

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: сходится по признаку сравнения, т.к. , а ряд – сходится (обобщенный гармонический ряд при ). Следовательно, данный ряд является абсолютно сходящимся.

2)

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: . Исследуем этот ряд на сходимость с помощью предельного признака сравнения, сравнив его с эталонным рядом (p подберем в процессе сравнения), имеем и лишь при равенстве степеней числителя и знаменателя, т.е. при , следовательно, сравниваемые ряды являются расходящимися. Таким образом, ряд, составленный из модулей, расходится, и абсолютной сходимости нет.

Исследуем данный знакочередующийся ряд с помощью признака Лейбница. Очевидно, что:

1) , 2) .

Оба пункта признака Лейбница выполнены, следовательно, данный ряд условно сходится.

 

Задачи.

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

 

Степенные ряды

До сих пор рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности, степенные функции с целыми неотрицательными показателями степени:

(1)

Определение. Такой ряд называются степенным, а числа называются коэффициентами степенного ряда.

Рассматривают и степенные ряды более общего вида:

(2)

(по степеням ). Такой ряд не отличается существенно от ряда вида (1), ибо приводится к нему простой заменой переменной: .

Определение. Множество значений , при которых степенной ряд (1) или (2) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью следующей теоремы:

Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд вида (1), т.е. по степеням , сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях таких, что .

2) Если степенной ряд вида (1) расходится при значении , то он расходится при всех значениях таких, что .

Из теоремы Абеля вытекает следующая теорема.

Теорема. Областью сходимости степенного ряда вида (2), т.е. ряда по степеням , является интервал с центром в точке и с концами в точках и .

Число получило название радиуса сходимости, а интервал – интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при и вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

У некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (при ), у других охватывает всю числовую ось (при ).

Для начала укажем способ определения интервала сходимости степенного ряда на примере ряда (1).

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда:

(3)

Т.к. при каждом конкретном ряд (3) является числовым знакоположительным рядом, то для выяснения вопроса о его сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера:

Допустим, что существует

.

Тогда, по признаку Даламбера ряд сходится, если (т.е. при ), и расходится, если (т.е. при ).

Следовательно, ряд (1) сходится абсолютно при и расходится при , и интервалом сходимости является интервал , а радиусом сходимости является число .

При признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости, поэтому необходимо, подставляя значения в ряд (1), исследовать получающиеся числовые ряды в каждом конкретном случае.

Замечание: Интервал сходимости можно найти, используя радикальный признак Коши (также применяя его к ряду (3)):

.

Примеры.

Найти области сходимости степенных рядов:

1)

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

.

Применим к нему признак Даламбера.

Отсюда получаем интервал сходимости: .

Исследуем сходимость на концах интервала:

При исходный ряд принимает вид: – это обобщенный гармонический ряд при , а значит, он сходится. При получаем абсолютно сходящийся ряд , т.к. ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Следовательно, интервал сходимости ряда имеет вид: .

2) .

Решение. Ряд, составленный из модулей, имеет вид:

.

ряд сходится при любых . Таким образом, интервалом сходимости является интервал .

3)

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда , исследуем с помощью радикального признака Коши:

Следовательно, область сходимости ряда состоит из одной точки .

 

4)

Решение.

.

Отсюда получаем интервал сходимости: .

При исходный ряд имеет вид: – это расходящийся ряд (обобщенный гармонический при ). Подставляя , получаем условно сходящийся ряд . Окончательно, интервал сходимости ряда имеет вид: .

Свойства степенных рядов:

1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией во всем интервале сходимости ряда.

2. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку , лежащему в интервале сходимости

.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать сколь угодно раз. При этом будут получаться степенные ряды с тем же радиусом сходимости:

Задачи.

Найти области сходимости степенных рядов:

1 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. (Указание: при исследовании сходимости на правом конце интервала учесть, что факториалы больших чисел могут быть выражены приближенно формулой Стирлинга ).

Ряды Маклорена и Тейлора

Предположим, что функция , определенная и бесконечно дифференцируемая в окрестности точки , может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

Выразим коэффициенты ряда через . Найдем производные функции , почленно дифференцируя ряд раз:

…………………………………………………………….

Полагая в полученных равенствах , получим , , , , …, , откуда

, , , , …, , …

Подставляя значения коэффициентов , получим ряд:

(1)

называемый рядом Маклорена.

Отметим, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции , является расходящимся или сходящимся не к функции .

Если представить ряд Маклорена в виде , где – -я частичная суммаряда, – -й остаток ряда, то можно сформулировать следующую теорему:

Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции , необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е. для всех значений из интервала сходимости ряда.

Можно доказать, что если функция разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.

Замечание. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора:

при

Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора:

, где – остаточный член формулы Тейлора, который можно записать в форме Лагранжа:

, .

⇐ Предыдущая123

Поделиться: