Векторы и линейные операции над векторами. Разложение векторов

Векторная алгебра

Прямоугольные координаты вектора.

Действия над векторами, заданными своими координатами

Определение 4 Проекцией вектора на ось называется число, равное длине вектора (рис. 9), взятое со знаком «плюс», если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком «минус» в противном случае.

Точки - это точки пересечения оси с плоскостями, проходящими через точки и , перпендикулярно оси . Обозначение .

 

Основные свойства проекции:

1) , где - угол между вектором и осью ;

2) ;

3) ;

4) .

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат . Построим на координатных осях и единичные векторы, обозначаемые соответственно (рис. 10).

Единичные векторы , имеющие направление положительных координатных полуосей, называются ортами координатныхосей.

Произвольный вектор пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации ортов координатных осей. Для разложения вектора совместим его начало с началом координат (рис. 10). Из конца вектора проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Обозначим , и точки пересечения этих плоскостей с осями соответственно. Тогда

,

, , .

а значит, существуют числа , такие что

, , и

, , .

Следовательно, вектор можно представить в виде:

. (5)

Формула (5) называется разложением вектора по ортам координатных осей или по базису . Коэффициенты линейной комбинации (5) называют прямоугольными координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5) записывают в виде

(6)

Имеет место аналогичное разложение вектора по базису на плоскости (рис. 11).

. (7)

Длина вектора с координатами определяется по формуле

. (8)

Для плоского вектора

. (9)

Направление вектора в пространстве и на плоскости можно определить с помощью косинусов углов, которые образует вектор с осями координат. Их называют направляющими косинусами вектора. Обозначим - углы, которые составляет вектор с осями соответственно, тогда

, , . (10)

Справедливо равенство

. (11)

При выполнении линейных операций над векторами тем же операциям подвергнутся и их проекции на координатные оси.

Пусть даны два вектора и .

При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении на число – умножаются на это число:

, (12)

.

Векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты:

, , . (13)

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

. (14)

 

Радиус-вектором точки называется вектор (рис. 12), начало которого совпадает с началом координат, а конец с точкой .

Координаты точки – это координаты её радиус-вектора .

Для вектора , заданного координатами точки и , его координаты определяются из векторного равенства

(15)

Здесь и - радиус-векторы точек и , т.е . координаты вектора равны разностям одноименных координат конечной и начальной точек этого вектора.

Деление отрезка в данном отношении

Определим радиус-вектор точки , делящей отрезок в отношении .

Вектор и одинаково направлен с , поэтому . Учитывая векторные равенства , получим ,

откуда (16)

Из равенства векторов (16) следуют три координатных формулы

, , . (17)

Для ( - середина отрезка )

, , . (18)

 

Скалярное произведение векторов

Определение 5 Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, обозначаемое , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (рис. 13).

Таким образом

(19)

где .

Из рисунка видно:

, . (20)

С учетом (20) можно записать равенства

. (21)

 

Свойства скалярного произведения:

1) (коммутативный закон);

2) (дистрибутивный закон);

3) (ассоциативный по отношению к скалярному множителю);

4) , скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора. В частности .

5) Условие перпендикулярности векторов.

Если векторы и ненулевые, то (22)

В частности .

 

Приложения скалярного произведения

С помощью скалярного произведения определяют косинус угла между векторами по формуле:

, (24)

или переходя к координатам векторов

. (25)

Находят проекцию одного вектора на направление другого по формуле:

, . (26)

Определяют длину вектора

. (27)

Приложение векторного произведения

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

(32)

а площадь треугольника, построенного на векторах и :

(33)

 

Векторная алгебра

Векторы и линейные операции над векторами. Разложение векторов

Определение 1. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и направление.

Векторы рассматриваются на плоскости (двумерные) и в пространстве (трехмерные). И в том, и в другом случае вектор определяется упорядоченной парой точек, первая из которых – начало вектора, другая – конец вектора. Для обозначения векторов используются символы , , , . Если и соответственно точки начала и конца вектора, то этот вектор обозначается (Рис. 1). Вектор с началом в точке и концом в точке называет противоположным вектору .

Длиной или модулем вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор. Векторы и имеют один и тот же модуль.

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор обозначается символом . Модуль нулевого вектора равен нулю.

Единичным вектором называет вектор, длина которого равна единице. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Два ненулевых вектора называются равными, если один из них путем параллельного переноса можно совместить с другим так, что совпадут их начала и концы (рис 2). Обозначают .

С точки зрения векторной алгебры вектор не меняется при его параллельном переносе с сохранением его длины и его направления, то есть точку приложения вектора можно помещать в любую точку пространства. Такие векторы называются свободными.

Линейными операциями над векторами называются операции сложения, вычитания и умножения вектора на число.

Сложение двух векторов и можно выполнить с помощью правила параллелограмма. Если отложить векторы и от общей точки и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор , идущий из общего начала в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой (рис. 3).

Для построения суммарного вектора не обязательно строить весь параллелограмм , достаточно построить треугольник . Сформулированное правило определения суммы можно заменить более удобным.

Суммой двух векторов и называется вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго при условии, что начало второго слагаемого совмещено с концом первого (рис. 4).

При этом ясно, что результат сложения не зависит от того, в какой точке пространства начало первого слагаемого: при её изменении весь треугольник параллельно переносится. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Сложение многих векторов , , , , совершается последовательно: сначала складывается первый вектор со вторым , затем к их сумме прибавляется третий вектор , затем к полученной сумме прибавляется вектор и т.д. (рис. 5).

Непосредственно видно, что получается следующее правило для сложения векторов.

Правило многоугольника. Суммой нескольких векторов является вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещено с концом предыдущего (рис. 6).

Законы сложения векторов:

1. ,

2. ,

3. .

Разностью двух векторов и называется вектор , который при сложении с вектором даёт вектор (рис. 7).

Заметим, что если на векторах и , отложенных от общего начала, можно построить параллелограмм, то одна направленная диагональ является суммой векторов, а другая разностью.

Произведением ненулевого вектора на число называется вектор (или ), длина которого равна , а направление совпадает с направлением вектора , при и противоположно ему при .

Например, если дан вектор , то векторы и имеют вид и .

Законы умножения вектора на число:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Из определения произведения вектора на число следует, что всякий вектор может быть представлен в виде произведения модуля вектора на орт этого вектора.

(1)

Если над векторами , , , выполнять действия сложения, вычитания и умножения на число, то в результате любого числа таких действий получится вектор вида

,

представляющий собой линейную комбинацию исходных векторов.

Векторы , , , называются линейно зависимыми (связанными линейной зависимостью), если между ними выполняется соотношение следующего вида:

, (2)

где скалярные коэффициенты не все равны нулю.

Если все коэффициенты равны нулю, то соотношение (2) будет выполняться, но оно не будет устанавливать зависимости между векторами. Про векторы , , , говорят, что они линейно независимые.

Понятие линейной независимости между векторами используется для алгебраической характеристики взаимного расположения векторов в пространстве.

Определение 2 Два ненулевых вектора и называются коллинеарными (обозначают ), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными (как векторы и ) или противоположно направленными (векторы и (рис 8)).

Теорема 1 Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Следствие. Если между двумя неколлинеарными векторами выполняется равенство

,

то оба коэффициента должны равняться нулю .

Определение 3 Ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть компланарными.

Теорема 2 Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

- компланарны (3)

Представление вектора в виде линейной комбинации векторов и по (3) называется разложением на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Рассмотрим произвольный вектор и тройку некомпланарных векторов .

Теорема 3 Каждый вектор единственным образом разлагается по трем некомпланарным векторам , т.е. представляется в виде

(4)

Из (4) следует, что любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Упорядоченная тройка некомпланарных (линейно независимых) векторов называется базисом во множестве геометрических векторов пространства. Скалярные коэффициенты однозначно определяются и называются координатами вектора относительно базиса .

Аналогично: упорядоченная пара неколлинеарных (линейно независимых) векторов образует базис геометрических векторов на плоскости. Коэффициенты в разложении (4) есть координаты вектора относительно базиса .

 

Поделиться: