Формула полной вероятности и формула Байеса.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

Математическое ожидание (МХ) дискретной случайной величины Х

определяется формулой

и имеет смысл среднего значения случайной величины.

Если число значений случайной величины конечно и равно n, а

вероятности pn=1/n, то МХ совпадает с обычным средним значением величин х1,

х2,..., хn

Для оценки степени «рассеивания» значений случайной величины вокруг

ее среднего значения вводится понятие дисперсии.

Дисперсией (DX) называется математическое ожидание квадрата разности

(Х–МХ):

Для вычисления дисперсии обычно используют более удобную формулу

DX=МХ ²–(МХ)²

Свойства Дисперсии:

DC=0, где С=const;

D(СX)=С2∙ DX, где С=const;

Средним квадратическим отклонением называется величина

Которая также является мерой рассеивания случайной величины Х.

13. Непрерывные случайные величины, математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

Непрерывной называется случайная величина Х, если ее функция распределения непрерывна. Распределением непрерывной случайной величины называется совокупность вероятностей Р(а< Х< b) для любых действительных чисел а и b.

14.Биномиальное распределение случайных величин.

Пусть имеются n испытаний Бернулли с вероятностью успеха р и

вероятностью неудачи q, р+q=1, а дискретная случайная величина Х – число

успехов имеет распределение

Это распределение называется биномиальным с параметрами р и q.

Заметим, что сумма вероятностей

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х

вычисляются следующим образом: MX=np; DX=npq.

15.Геометрическое и гипергеометрическое распределения случайных величин.

Геометрическое распределение

Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если она принимает значения k=1, 2, 3… (счетное множество значений) с вероятностями

P_k =P(X= k )= pq^k-1 , 0< p < 1, q=1- p

 

Определение является корректным, так как сумма вероятностей

Случайная величина Х, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытании Бернулли до первого успеха. Математическое ожидание и дисперсия Х:

 

МХ=1/р, DX=q/р2.

Пример.

Пусть в крупной партии изделий вероятность брака равна р. Контроль качества проводится до первого появления бракованного изделия. В результате серии проверок обнаружилось, что бракованное изделие впервые появлялось в среднем при десятом испытании. Оцените вероятность р. Пусть Х – число испытаний до первого появления бракованного изделия. Эта случайная величина имеет геометрическое распределение. По условию ее среднее значение равно МХ=10. Так как МХ=1/р, то р=1/10.

 

Гипергеометрическое распределение

Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения m с вероятностями

 

Pm=P(X=m)= ,

где m=0, 1,..., k; k=min(n, M); M< N, n≤ N

 

Вероятность p_m является вероятностью выбора m объектов, обладающих заданным свойством, из множества n объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности N объектов, среди которых только М объектов обладают заданным свойством. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами n, М, N:

 

MX= n , DX=n (1- )(1- )

 

Пример.

 

Среди продукции цеха электронных плат 10 из партии в 100 штук не удовлетворяют стандарту. При приемке продукции проверяются 10 плат. Какое среднее количество нестандартных плат обнаружат? Количество нестандартных плат имеет гипергеометрическое распределение, т.к. n=10, М=10, N=100, тогда,

 

MX=n =10* =1

 

Закон Пуассона.

Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если она принимает целые значения k=0, 1, 2,... с вероятностями

Pk=P(X=k)=

где λ > 0 – параметр распределения. При этом

= * =1

 

Значения вероятностей p_k приводятся в таблицах распределения Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия пуассоновской случайной величины равны параметру распределения: MX=λ; DX=λ.

 

Неравенства Чебышева и Маркова. Закон больших чисел, теорема Бернулли.

Закон больших чисел

Здесь закон больших чисел (теорема Чебышева) приведем только в упрощенной формулировке, пригодной для решений практических задач экономического направления.

Теорема Чебышева

Если случайные величины Хi (i=1, 2, …, n) независимы и одинаково распределены со средними МХi=а и дисперсиями DXi=DX, то справедливо:

Из данного неравенства при n→ ∞ следует закон больших чисел:

Смысл закона больших чисел заключается в том, что средние значения случайных величин стремятся к их математическому ожиданию при n→ ∞ по вероятности, а отклонение средних значений от математического ожидания становится сколь угодно малым с вероятностью, близкой к единице, если n достаточно велико. Другими словами, вероятность любого отклонения средних значений от математического ожидания сколь угодно мала с ростом n.

Теорема Бернулли

Частным случаем закона больших чисел является теорема Бернулли. Теорема Бернулли Пусть имеется n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p, (q = 1 – р) и m – число успехов, тогда для любого ɛ > 0:

Отсюда следует закона больших чисел в форме Бернулли:

Фактически теорема Бернулли утверждает, что «частость» события A стремится к его вероятности, поэтому при больших n отклонение «частости» (m/n) от вероятности р становится БМВ. Эта теорема, в некотором смысле обосновывает статистическое определение вероятности.

 

 

Теорема

Пусть СВ Х1, Х2, …, Хn независимы, одинаково распределены, имеют конечные математическое ожидание (МХ=а) и дисперсию (DX = σ 2, i=1, …, n). Тогда, при n→ ∞, функция распределения центрированной и нормированной суммы этих СВ стремится к функции распределения стандартной нормальной СВ:

Из данного соотношения следует, что при достаточно большом n сумма Zn приближенно распределена по нормальному закону, а значит и сумма:

приближенно распределена по нормальному закону.

Говорят, что при n→ ∞ асимптотически нормальна.

Точечные оценки параметров.

Формула полной вероятности и формула Байеса.

События Н₁, Н₂, Н_n образуют полную группу событий, если они попарно

несовместны, а их сумма является достоверным событием, т.е.

Такие события называются гипотезами. Простейшим примером полной группы событий является произвольное событие А и его дополнение. По теореме сложения вероятностей, для полной группы событий справедливо равенство P(Н₁)+P(Н₂)+…+P(Н_n)=1

Полную группу событий можно интерпретировать диаграммой. Полная

группа событий (Нi, , i=1..n), расслаивает пространство на непересекающиеся

множеств

Пусть события (Н₁, Н₂, Н₃) образуют полную группу событий, тогда для

любого события А имеет место формула полной вероятности:

В формулу полной вероятности входят вероятности

P(Н₁), P(Н₂), …, P(Н_n),

которые называются априорными.

Если событие А наступило, то эти вероятности изменяются. Это будут

условные вероятности P_A(Н₁), PA(Н₂), …, PA(Н_n)

Они могут быть найдены по формуле Байеса:

7.Формула Бернулли
Пусть проводятся n независимых испытаний, в результате которых может

появиться событие А с вероятностью р и не появиться с вероятностью q,

(p+q=1). Появление события А называется успехом, а непоявление – неуспехом.

Такая схема называется последовательностью испытаний Бернулли или

схемой Бернулли.

Пусть Х – число успехов в n испытаниях Бернулли. Тогда вероятность

события {Х=m} (ровно m успехов в n испытаниях) вычисляется по формуле

Бернулли:

Пример.

Пусть вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0, 05.

Какова вероятность того, что среди купленных 10 билетов окажутся 2

выигрышных? Требуется найти вероятность 2 успехов из n=10 испытаний Бернулли с

вероятностью успеха p=0, 05. По формуле Бернулли эта вероятность равна

В n испытаниях Бернулли наиболее вероятное число успехов удовлетворяет неравенствам

8.Формула Пуассона.
Если в схеме испытаний Бернулли число испытаний n велико,

вероятность р события А в одном испытании мала, а произведение λ =n∙ р не

превосходит 20, то вероятность P_n(m) того, что событие А появится ровно в m

испытаниях, находится по приближенной формуле Пуассона:

Значения p(m) имеются в таблицах распределения Пуассона.

Пример.

В ходе проверки аудитор случайным образом отбирает 10 счетов. Найти

вероятность того, что он обнаружит один счет с ошибкой, если в среднем 3%

счетов содержат ошибки. Используя формулу Пуассона, в которой n=10, р=0.03, λ =n∙ р=0.3 имеем

По таблицам значений распределения Пуассона находим P₁₀(1)≈ 0.2223.

 

9.Формулы Муавра-Лапласа.
Локальная теорема Муавра-Лапласа

При больших n вероятность Pn(m) появления события А ровно m раз в

схеме из n испытаний Бернулли можно вычислять по приближенной формуле

Муавра-Лапласа:

Интегральная теорема Муавра-Лапласа Вероятность того, что число m появления события А в схеме Бернулли находится в заданном интервале:

при большом числе испытаний n приблизительно равна


Для частного m/n появления события А в n испытаниях Бернулли

справедлива приближенная формула

10.Функция распределения случайных величин.


Распределением дискретной случайной величины Х называется совокупность ее значений х₁, х₂, х₃,.. вместе с вероятностями событий (X=x₁), (X=x₂), …, (X=_xn)… Распределение дискретной случайной величины может быть задано таблицей:

В этой таблице p_i=Р(X=х_i) – это вероятность события (X=х_i).

Непрерывной называется случайная величина Х, если ее функция

распределения непрерывна. Распределением непрерывной случайной величины называется

совокупность вероятностей Р(а< Х< b) для любых действительных чисел а и b.

 

11. Функция распределения дискретной случайной величины, дискретные случайные величины и операции над ними.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция

y=F(x), значения которой определяются формулой F(x)=P(X< x), где P(X< x) –

вероятность события (X< х). Для дискретной СВ X с законом распределения P(X=x_k)=p_k, k=1, 2, …,

функция распределения имеет вид

Графиком функции распределения дискретной случайной величины

является график кусочно-постоянной функции. Скачки функции F(x) в точках

разрыва x=x_k равны

p_k=P(X=x_k)

Свойства функции распределения:

1. Функция распределения монотонно не убывает;

2. Функция распределения непрерывна слева;

Дискретные случайные величины и операции над ними

Две случайные величины Х и Y называются независимыми, если события

(X=х_i) и (Y=y_i) независимы для всех значений х_i и y_i. Это означает, согласно

теореме, что

P((X=x_i)·(Y=y_i))=P(X=x_i)·P(Y=y_i)

Пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид

pi=P(X=x_i), а СВ (Y–q_i)=P(Y=y_i)

Тогда можно ввести новые случайные величины.

Величина Z=k∙ X где k постоянная величина, есть также случайная величина, которая

принимает значения kx_i с теми же вероятностями, что и случайная величина Х,

принимающая значения x_i, т.е.

P(Z=kx_i)=p_i

Закон распределения случайной величины Z может быть записан в виде

таблицы

Сумма случайных величин Х и Y – это новая случайная величина Z=X+Y, принимающая все значения вида

12Следующая ⇒

Поделиться: