Перестановки без повторений.

Перестановки - это комбинации, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся только порядком расположения этих элементов. Возьмем n различных элементов a₁, a₂, a₃, … a_n; будем переставлять эти элементы всевозможными способами, оставляя без изменения число элементов и меняя только порядок их расположения. Обозначим общее число полученных таким образом перестановок P(n). P - первая буква французского слова permutation - перестановка.

Составив таблицу перестановок для n элементов и применив (n - 1) раз правило произведения, получим число всех возможных перестановок:

P(n) = n • (n -1) • (n - 2) • … • 3 • 2 • 1 = n!

Такие перестановки называются перестановками без повторений (один и тот же элемент не может повториться в комбинации, все элементы различны).

Задача: шесть человек могут в разном порядке сесть за круглый стол, сколько существует способов разместить эти шесть человек за столом?

Решение: т.к. все люди различны и их комбинации различаются только порядком следования, то мы имеем перестановки без повторений. Определим их число:

Р(6) = 6! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 = 720.

Перестановки с повторениями

Рассматривая различные перестановки, мы предполагали, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Если среди n элементов есть n₁ элементов одного вида, n₂ элементов другого вида и т.д., n_k элементов к-го вида, то имеем перестановки с повторениями, их число:

, где n₁+…+n_k = n.

Задача: сколько различных «слов» можно составить из букв слова ДЕД, МАТЕМАТИКА.

Решение: имеем перестановки с повторениями.

А) ДЕД n=3, k=2, n₁=2, n₂=1

P₃(2, 1) = 3! /(2! • 1! ) = 6 / 2 = 3;

Б) МАТЕМАТИКА n=10, k=6, n₁=2, n₂=3, n₃=2, n₄=n₅=n₆=1

P₁₀(2, 3, 2, 1, 1, 1)=10! /(2! • 3! • 2! )=2•4•5•6•7•9•10 = 134 400.

Размещения

Размещения без повторений.

Размещениями называют комбинации, составленные из n данных элементов по k элементов (k< =n, k> 0), которые отличаются либо составом элементов, либо порядком расположения элементов. Обозначаются размещения A_n^k. А - первая буква французского слова arrangement, что в переводе означает " размещение", " приведение в порядок". Число всех возможных размещений находится по формуле:

.

Задача: расписание одного дня состоит из двух пар. Определить число вариантов расписания при выборе из пяти дисциплин, если не может быть одинаковых пар.

Решение: имеем размещения без повторений из пяти элементов по два, из число: .

Размещения с повторениями.

Пусть существуют n различных элементов. Выберем из них m штук, действуя по следующему принципу: возьмем любой элемент, но не будем устанавливать его в какой-либо ряд, а просто запишем под номером 1 его название, сам же элемент вернем к остальным элементам. Затем опять из всех n элементов выберем один, запишем его название под номером 2 и снова вернем элемент обратно. Будем выполнять эти операции, пока не получим m названий. Размещения с повторениями вычисляются по формуле:

.

Задача: сколько четырехзначных номеров можно составить из 10 цифр?

Решение: имеем размещения с повторениями из 10 элементов по 4, их число: .

Сочетания

Сочетания без повторений.

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k (k =< n) элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Сочетания обозначаются: C_n^k C - первая буква французского слова combinasion - сочетание.

Составим из n элементов всевозможные сочетания по k элементов в каждом. Их будет C_n^k. Внутри каждого сочетания, состоящего из k элементов, образуем всевозможные комбинации, учитывающие порядок следования в них элементов. Таких комбинаций будет P_k, т.к. мы в нашем сочетании образовываем перестановки. Всего различных комбинаций из n элементов по k в каждой, отличающихся друг от друга либо составом (элементами), либо порядком их следования, будет C_n^k • P_k. Но такие комбинации называются размещениями. Таким образом, A_n^k = C_n^k • P_k, тогда:

.

Задача: в шахматном турнире участвует 7 человек; сколько партий будет сыграно, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна партия?

Решение: имеем сочетания без повторений из 7 элементов по 2; их число: .

Сочетания с повторениями.

Если в сочетаниях некоторые элементы (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания называются сочетаниями с повторениями. Их число определяется по формуле: .

Задача: сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеется 4 сорта пирожных?

Решение: имеем сочетания с повторениями из четырех по 7 по, их число: .

3. Графы.. 2

3.1. Основные понятия. 2

3.1.1. История теории графов. 2

3.1.2. Определения. 3

3.1.3. Смежности и инцидентность. 4

3.1.4. Изоморфизм графов. 5

3.2. Представление графов в ЭВМ.. 6

3.2.1. Требования к представлению графов. 6

3.2.2. Матрица смежности. 7

3.2.3. Матрица инциденций. 7

3.3. Геометрическая реализация графов. 8

3.4. Маршруты, цепи, циклы.. 8

3.4.1. Определения. 8

3.4.2. Эйлеровы графы.. 9

3.4.3. Гамильтоновы графы.. 10

3.5. Заключение. 12

 

Графы

Среди дисциплин и методов дискретной математики теория графов и особенно алгоритмы на графах находят наиболее широкое примене­ние в программировании. Дело в том, что тео­рия графов предоставляет очень удобный язык для описания программных (да и многих других) моделей.

Этот тезис можно пояснить следующей аналогией. Понятие отношения также можно полностью выразить через понятие множества. Однако независимое определение понятия отношения удобнее - введение специальных терминов и обозначений упрощает изложение теории и делает ее более понятной.

То же относится и к теории графов. Стройная система специальных терминов и обозначений тео­рии графов позволяют просто и доступно описывать сложные и тонкие вещи.

Особенно важно наличие наглядной графической интерпретации понятия графа. Само название «граф» подразумевает наличие графической ин­терпретации. Картинки позволяют сразу «усмотреть» суть дела на интуитивном уровне, дополняя и украшая утомительные рациональные текстовые доказатель­ства и сложные формулы.

Основные понятия

История теории графов

Теория графов многократно переоткрывалась разными авторами при решении различных прикладных задач.

1 . Задача о Кенигсбергских мостах. Обойти все четыре части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и вернуться в исходную точку (рис. 3.1). Эта задача была решена Эйлером в 1736 году.

Рис. 3.1. Иллюстрация к задаче о Кенигсбергских мостах

2. Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца. Про­вести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались (рис. 3.2). Эта задача была решена Куратовским в 1930 году.

Рис. 3.2. Иллюстрация к задаче о трех домах и трех колодцах

Предметом первых задач теории графов были различные конфигурации, состоящие из точек и соединяющих их линий. При этом несущественно: являются ли эти линии прямыми или кривыми, длинными или короткими, тонкими или толстыми; важно только то, какие точки они соединяют. Т.о. граф – это абстрактное математическое понятие.

Определения

Графом G(V, E) называется совокупность двух множеств - непустого множества V ( множества вершин ) и множества Е неупорядоченных пар различных элемен­тов множества V ( Е - множество ребер ).

G(V, E): , E VxV.

Число вершин графа G обозначим р, а число ребер – q.

р(G) = |V| q(G) = |E|.

Часто рассматриваются следующие родственные графам объекты.

1. Если элементами множества Е являются упорядоченные пары, то граф назы­вается ориентированным (или орграфом ). В этом случае элементы множества V называются узлами, а элементы множества - дугами (G(V, )).

2. Если элементом множества Е может быть пара одинаковых (не различных) элементов V, то такой элемент множества Е называется петлей, а граф назы­вается графом с петлями (или псевдографом).

3. Если Е является не множеством, а набором, содержащим несколько одинако­вых элементов, то эти элементы называются кратными ребрами, а граф назы­вается мультиграфом.

Далее выражение: граф G(V, E) означает неориентированный граф без петель и кратных ребер.

Обычно граф изображают диаграммой: вершины - точками (или кружками), ребра - линиями.

Примеры.

1. . .

Т.о. это неориентированный граф с петлей и кратными ребрами.

Рис. 3.3. Неориентированный граф с петлей и кратными ребрами.

2. . .

Т.о. это ориентированный граф с петлей и кратными ребрами.

Рис. 3.4. Ориентированный граф с петлей и кратными ребрами.

3. . , т.о.

Рис. 3.5. Неориентированный граф с петлей.

 

Смежность и инцидентность

Пусть v₁, v₂ - вершины, е = (v₁, v₂) - соединяющее их ребро. Тогда вершина v₁ и ребро е инцидентны, вершина v₂ и ребро е также инцидентны. Два ребра, инцидентные одной вершине, называются смежными; две вершины, инцидентные одному ребру, также называются смежными.

Степенью вершины v графа G(V, E) называется число ребер, инцидентных данной вершине. Обозначение: .

Вершина, имеющая степень 0 называется изолированной, имеющая степень 1 – висячей.

Пример. Для графа, изображенного на рис. 3.5: вершина 3 – изолированная, вершины 1 и 4 - висячие.

Пример. Для графа, изображенного на рис. 3.3.

Ребро e₁ инцидентно вершинам v₁ и v₂. Вершина v₁ инцидентна ребрам e₁ и e₂. Ребра e₁ и e₂ – смежны. Вершины v₁ и v₂ – смежны.

. p(G)=3, q(G)=5.

Т.о. можно заметить, что .

Теорема Эйлера: .

Доказательство данной теоремы вытекает из того, что каждое ребро дает двойной вклад в сумму степеней вершин.

Изоморфизм графов

Говорят, что два графа G₁(V₁, E₁) и G₂(V₂, E₂) изоморфны (обозначается G₁~ G₂), если существует биекция h: V₁ V₂, сохраняющая смежность.

Графы рассматриваются с точностью до изоморфизма.

Пример

Три внешне различные диаграммы, приведенные на рис. 3.6, являются диаграм­мами одного и того же графа К_{3, 3}.

Рис. 3.6. Диаграммы изоморфных графов

Числовая характеристика, одинаковая для всех изоморфных графов, называется инвариантом графа. Так, p(G) и q(G) - инварианты графа G.

Не известно никакого набора инвариантов, определяющих граф с точностью до изоморфизма.

Рис. 3.8. Диаграммы неизоморфных графов с совпадающими инвариантами

Представление графов в ЭВМ

Следует подчеркнуть, что конструирование структур данных для пред­ставления в программе объектов математической модели - это основа искус­ства практического программирования. Мы приводим два различных базовых представления графов.

Выбор наилучшего представления определяется требова­ниями конкретной задачи. Более того, при решении конкретных задач исполь­зуются, как правило, некоторые комбинации или модификации указанных пред­ставлений, общее число которых необозримо. Но все они, так или иначе, основаны на тех базовых идеях, которые описаны в этом разделе.

Требования к представлению графов

Известны различные способы представления графов в памяти компьютера, кото­рые различаются объемом занимаемой памяти и скоростью выполнения опера­ций над графами.

Представление выбирается, исходя из потребностей конкрет­ной задачи. Далее приведены два из наиболее часто используемых представле­ния.

Указанные представления пригодны для графов и орграфов, а после некоторой модифи­кации также и для псевдографов, мультиграфов.

Представления иллюстрируются на конкретных примерах графа G и орграфа D, диаграммы которых представлены на рис. 7.10.

Рис. 3.9. Диаграммы графа (слева) и орграфа (справа), используемых в качестве примеров

Матрица смежности

Представление графа с помощью квадратной булевской матрицы

отражающей смежность вершин, называется матрицей смежности, где

Пример

Матрица инциденций

Представление графа с помощью матрицы Н: array [l..p, l..q] of 0..1 (для оргра­фов Н: array [l..p, l..q] of -1..1), отражающей инцидентность вершин и ребер, называется матрицей инциденций, где для неориентированного графа:

а для ориентированного графа

Пример

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: