Виды средних величин и сфера их применения

Виды средних величин различаются, прежде всего, тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различные сведения.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы — групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Например, статистическое изучение рождаемости и среднего количества детей в семье на территории бывшего СССР проводилось в региональном аспекте (по союзным республикам). Традиционно более высокая рождаемость была в Средней Азии и Закавказье по сравнению с Центральными районами России. Среднее количество детей в семье, исчисленное по каждому региону — это групповые средние, а соответственно исчисленное по всей территории СССР — общая средняя.

Сравнительный анализ групповых и общих средних используется для характеристики социально-экономических типов изучаемого общественного явления. В частности, при изучении рождаемости большое значение имеет характеристика этого процесса по общественным группам населения региона.

Групповые средние используются для изучения закономерности развития общественных явлений. Так, в аналитических группировках анализ групповых средних позволяет сделать вывод о наличии и направлении взаимосвязи между группированным (факторным) признаком и результативном показателем.

Групповые средние широко применяются также при определении имеющихся использованных резервов производства, когда на ряду со средними величинами рассматриваются и индивидуальные значение признака.

Все средние величины делятся на два больших класса:

1) степенные средние; к ним относятся такие известные и часто применяемые виды, как средняя арифметическая величина, средняя квадратическая и средняя геометрическая;

2) структурные средние величины, в качестве которых рассматриваются мода и медиана.

Степенные средние величины исчисляются в двух формах — простой и взвешенной.

Простая средняя величина считается по несгруппированным данным и имеет следующие общий вид:

^,

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака;

m – показатель степени средней;

n – число вариант (наблюдений).

Взвешенная средняя величина считается по сгруппированным данным, представленным в виде дискретных или интервальных рядов распределения:

,

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m – показатель степени средней;

fi – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Приведем в качестве примера расчет среднего возраста студентов в группе из 20 человек.

Таблица 2.1

№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)

Средний возраст рассчитаем по формуле простой средней:

Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения:

Таблица 2.2

Возраст, X лет						Всего
Число студентов

В результате группировки получаем новый показатель — частоту, указывающую число студентов в возрасте X лет. Следовательно, средний возраст студентов группы будет рассчитываться по формуле взвешенной средней:

 

Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:

· средняя гармоническая, если m = - 1;

· средняя геометрическая, если m → 0;

· средняя арифметическая, если m = 1;

· средняя квадратическая, если m = 2;

· средняя кубическая, если m = 3.

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности: с увеличением показателя степени т увеличивается и соответствующая средняя величина:

X_гарм ≤ X_геом ≤ X_арифм ≤ X_квадр ≤ X_куб.

Пользуясь этим правилом, статистика может в зависимости от настроения и желания ее " знатока" либо " утопить", либо " выручить" студента, получившего на сессии оценки 2 и 5. Каков его средний балл?

Если судить по средней арифметической, то средний балл равен 3, 5. Но если декан желает " утопить" несчастного и вычислит среднюю гармоническую

 

,

то студент остается и в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки. Однако студенческий комитет может возразить декану и представить среднюю кубическую величину:

.

Студент уже выглядит " хорошистом" и даже претендует на стипендию! И только в том случае, если лентяй провалил оба экзамена, статистика помочь не в состоянии: увы, все средние из двух двоек равны все той же двойке!

Формулы степенных средних величин приведены в табл. 2.3

В формулах средних значений п — это число единиц совокупности (число индивидуальных значений осредняемого признака X); х —индивидуальное значение признака у каждой единицы. Если совокупность объектов распределена по группам разной численности, тох — это значение признака, общее для всей группы; f — численность группы (частота повторения данного значения признака).

Таблица 2.3 Формулы средних величин

Вид степенной средней	Показатель степени(m)	Формулы расчета средней
простой	взвешенной
Гармоническая	-1		m=xf
Геометрическая	→ 0
Арифметическая
Квадратическая
Кубическая

Степенные средние величины

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: