Интегральное исчисление функций одной переменной

Интегральное исчисление функций одной переменной

 

Первообразная и неопределенный интеграл.

Свойства неопределенного интеграла.

Таблица интегралов

 

При изучении дифференцирования функций, ставилась задача − по дан­ной функции найти ее производную или дифференциал. Многие вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи − для данной функ­ции f(x) найти такую функцию F(x), производная или дифференциал которой равны соответственно f(x) или f(x)dx.

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x) на некотором промежутке (a, b), если на этом промежутке фун­к­ция F(x) дифференцируема и удовлетворяет уравнению

F ′ (x) = f(x)

или, что то же самое, соотношению

dF(x) = f(x)dx.

 

Так, например, функция sin 5x – первообразная на любом промежутке по отношению к функции f (x) = 5cos5x, так как (sin5x)′ = 5cos5x .

 

Легко проверить, что наличие одной первообразной обеспечивает наличие таких функций в бесконечном множестве. В самом деле, если F(x) – первообразная от функции f(x), то

Ф(x) = F(x) + C,

где С – любая постоянная, также первообразная, так как

Ф ′ (х) = (F(x) + C)′ = F ′ (x) + 0 = f (x).

 

На вопрос, как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них, дает ответ следующая теорема.

 

Теорема 1 (о первообразных). Если F(x) − какая-нибудь первообразная от функции f(x) на интервале (a, b), то все ее первообразные имеют вид F(x) + С, где С – произвольная постоянная.

Геометрически y = F(x) + C означает, что гра­фик любой первообразной функции получается из графика функции y = F(x) простым сдвигом его параллельно оси Оу на величину С (см. рисунок). В связи с тем, что одна и та же функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, возникает проб­лема выбора первообразной, которая решает ту или иную практическую задачу.

 

Определение 2. Если F(x) – некоторая первообразная от функции f(x), то выражение F(x) + C, где С – произвольная постоянная, называется неопреде­ленным интегралом и обозначается

∫ f (x)dx = F(x) + C ,

т. е. неопределенный интеграл от функции f(x) есть множество всех её перво­образных.

 

При этом функция f(x) называется подынтегральной, а произведение f(x)dx – подынтегральным выражением; F(x) – одна из первообразных; х – пе­ременная интегрирования. Процесс отыскания первообразной называется

интегрированием.

 

П р и м е р 1. Найти неопределенные интегралы:

Решение

 

Теорема 2 (существование неопределенного интеграла). Если функция f(х) непрерывна на (a, b), то существует первообразная, а значит, и интеграл ∫ f (x)dx.

Свойства неопределенных интегралов:

 

1. (∫ f (x)dx )′ = f (x), т. е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. d(∫ f (x)dx)= f (x)dx , т. е. дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3. ∫ dF(x) = F(x) + C .

4. ∫ (C1 f1(x) +C2 f2 (x))dx = C1∫ f1(x)dx + C2∫ f2(x)dx − свойство линей­ности; С1, С2 – постоянные.

5. Если ∫ f (x)dx = F(x) + C , то

 

Первые три свойства вытекают из определения неопределенного интег­рала. Свойств 4 и 5 получаем дифференцированием левых и правых частей уравнений по х, используя свойство 1 интегралов и свойства производных.

 

П р и м е р 2. Найти неопределенный интеграл: а) ∫ (e^x +cos5x)dx.

Решение. Используя свойства 4 и 5, находим:

 

 

Приведем таблицу основных интегралов, которая в высшей математике играет такую же роль, как таблица умножения в арифметике.

 

 

 

Определенный интеграл

 

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Свойство 6

т. е. модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля функции.

Общие методы вычисления определенного интеграла

 

Интегрирование по частям

Теорема 7. Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производ­ные на отрезке [a, b], то справедлива формула

Равенство (13) называется формулой интегрирования по частям.

 

П р и м е р. Вычислить интеграл

 

 

Несобственные интегралы

 

При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что выполняются условия:

1) пределы интегрирования a и b являются конечными;

2) подынтегральная функция f(x) ограничена на отрезке [a, b].

В этом случае интеграл называют собственным. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называют несобственным.

Существует два вида несобственных интегралов: интегралы с бесконеч­ны­ми пределами интегрирования и интегралы от неограниченных функций.

Вычисление объемов.

 

2.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикуляр­ными оси OX, т. е., зная х, мы можем вычислить площадь сечения S = S (x). Тогда объем тела в предположении, что S(x) − интегрируемая функция.

 

 

2.2. Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограни­чен­ной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела

б) если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой

x = j(y), прямыми y=c, y=d (c< d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограничен­ной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b (0 ≤ a ≤ b) и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле

П р и м е р. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций y = 2x − x² и y = 2 − x вокруг оси OX.

Решение. Найдем точки пересечения параболы y = 2x − x² и прямой y = 2 − x . Решим систему:

Получим две точки пересечения: х₁ = 1, у₁ = 1; х₂ = 2, у₂ = 0. Сделаем чертеж (рис. 19).

 

 

П р и м е р. Вычислить объем тела, ограни­чен­ного поверхностями:

; z = 0; z = 3.

Решение.

− однополостной гипербо­лоид. При пересечении его плоскостями z = h в сечении получаем эллипсы

(рис. 20) с полуосями

Как известно, площадь эллипса S =π ab, тогда S(h) = 2π (h² +1) 0 ≤ h ≤ 3

Интегральное исчисление функций одной переменной

 

Поделиться: