Перечислите основные команды построения графиков символьных функций.(ezplot, ezpolar – подробно) (В1Б3,В1Б30,В2Б13,В2Б30,В3Б26).

Чтобы избавить пользователя от хлопот, связанных с построением графиков функций с помощью стандартных средств (например, команды plot), в пакет Symbolic введены довольно удобные графические команды класса ezplot:

ezplot(f) – строит график символьно заданной функции f(x) независимой переменной x в интервале [- 2*pi; 2*pi];

ezplot(f, xmin, xmax) – делает то же, но позволяет задать диапазон изменения независимой переменной x в интервале от xmin до xmax;

ezplot(f, [xmin, xmax, ymin, ymax]) – строит график функции f(x, у) = 0 для xmin < х < xmax, ymin < y < ymax.

Построим график функции sin(t)/t (рис. 7.3 ):

> > ezplot('sin(t)/t'), grid

 

 

Рис. 7.3

Следующая команда строит график гиперболы u² - v² - 1 = 0 для - 3 < u < 3, - 3 < v < 3 (рис. 7.4):

> > ezplot('u^2-v^2-1', [-3, 3, -3, 3]), grid

 

 

Рис. 7.4

Ранее с помощью команды ezplot были построены графики на рис. 6.2 и 7.2.

График функции f(t) в полярной системе координат строит команда ezpolar:

ezpolar(f) – строит график функции f(t) при изменении угла t от 0 до 2π ;

ezpolar(f, [a b]) – строит график функции f(t) при изменении угла t от a до b.

Построим график функции cos3t в полярной системе координат (рис. 7.5):

> > ezpolar('cos(3*t)')

 

 

Рис.7.5

Помимо команд ezplot и ezpolar, пакет Symbolic поддерживает построение графиков других типов. Так, команда ezcontour служит для построения контурных графиков функций вида f(x, y). Похожая команда ezcontourf строит контурные графики с функциональной окраской областей между линиями равного уровня. Для построения трехмерных графиков параметрически заданных функций служит команда ezplot3. Команды ezsurf, ezsurfc, ezmesh, ezmeshc применяются для построения графиков поверхностей, заданных функциями двух переменных f(x, y). Справку с примерами по применению любой из этих команд можно получить с помощью команды doc < имя команды> .

26)Как осуществляется в Matlab в символьном виде прямое и обратное преобразование Лапласа? (В1Б2, В1Б29, В2Б15, В3Б14).

Преобразование Лапласа любой комплексной функции f(t) действительной переменной t имеет вид

L(s) = f(t)e^-stdt.

Функцию f(t) принятоназывть оригиналом, а функцию L(s) – изображением. Функция f(t) должна удовлетворять следующим условиям:

а) f(t) является непрерывной функцией для всех значений t, принадлежащих области определения. (Допускается наличие разрывов первого рода в конечном числе точек, расположенных на интервалах конечной длины. Количество таких интервалов должно быть конечным числом);

б) f(t) = 0 при t < 0;

в) существуют числа M > 0 и p ≥ 0 такие, что для всех t │ f(t)│ < Me^pt (p называется показателем роста │ f(t)│ ).

Некоторые простейшие) преобразования Лапласа приведены в таблице 7.1.

 

Таблица 7.1.Некоторые преобразования Лапласа

 

f(t)	L(s) = f(t)e-stdt.
1	s-1
e-at	(s+a)-1
sinat	a(s2+a2)-1
tn	n! s-n-1
e-atcoswt
tne-at

 

В MATLAB преобразование Лапласа функции f(t) осуществляется с помощью команды laplace(F, t, s).

Найдем с помощью этой команды изображения заданных в таблице 7.1 оригиналов f(t):

> > syms a t w s

> > n=sym('n', 'positive');

> > laplace(1, t, s)

ans =

1/s

> > laplace(exp(-a*t), t, s)

ans =

1/(s+a)

> > laplace(sin(a*t), t, s)

ans =

a/(s^2+a^2)

> > laplace(t^n, t, s)

ans =

s^(-n-1)*gamma(n+1)

> > laplace(exp(-a*t)*cos(w*t), t, s)

ans =

(s+a)/((s+a)^2+w^2)

> > laplace(t^n*exp(-a*t), t, s)

ans =

gamma(n+1)*(s+a)^(-n-1)

Полученные изображения совпадают с табличными, если учесть, что

gamma(n+1) = n! для целых n (см. разд. 7.10).

Пример:

Найти изображение функции f(t) = e^-2tsin2tcos3t.

Решение:

> > syms t s

> > laplace(exp(-2*t)*sin(2*t)*cos(3*t), t, s)

ans =

5/2/((s+2)^2+25)-1/2/((s+2)^2+1)

> > pretty(ans)

1 1

5/2 ------------- - 1/2 ------------

2 2

(s + 2) + 25 (s + 2) + 1

> > factor(ans)

ans =

2*(s^2+4*s-1)/(s^2+4*s+29)/(s^2+4*s+5)

> > pretty(ans)

s + 4 s - 1

2 ------------------------------

2 2

(s + 4 s + 29) (s + 4 s + 5)

Итак,

L(s) = 2.

 

Пример:

Найти изображение функции f(t) = .

Решение:

При обращении к laplace команда возвращается без результата:

> > laplace(1/t, t, s)

ans =

laplace(1/t, t, s)

Это означает что либо изображения не существует, либо системе MATLAB не удалось его найти.

Существуют различные модификации laplace (справку можно получить с помощью команды doc laplace).

Обратное преобразование Лапласа имеет вид

 

f(t) = L(s)e^stds.

В среде MATLAB обратное преобразование Лапласа функции L(s) можно получить с помощью команды ilaplace(L, s, t). Найдем с ее помощью оригиналы заданных в таблице 7.1 изображений L(s):

> > syms a t w s

> > n=sym('n', 'positive');

> > ilaplace(1/s, s, t)

ans =

> > ilaplace(1/(s+a), s, t)

ans =

exp(-a*t)

> > ilaplace(a/(s^2+a^2), s, t)

ans =

a/(a^2)^(1/2)*sin((a^2)^(1/2)*t)

> > ilaplace(s^(-n-1)*gamma(n+1), s, t)

ans =

t^n

> > ilaplace((s+a)/((s+a)^2+w^2), s, t)

ans =

exp(-a*t)*cos(w*t)

> > ilaplace(gamma(n+1)*(s+a)^(-n-1), s, t)

ans =

exp(-a*t)*t^n

Полученные оригиналы совпадают с табличными.

Пример:

Найти оригинал полученного ранее изображения

 

2

функции f(t) = e^-2tsin2tcos3t.

Решение:

> > syms t s

> > ilaplace(2*(s^2+4*s-1)/(s^2+4*s+29)/(s^2+4*s+5), s, t)

ans =

1/2*exp(-2*t)*sin(5*t)-1/2*exp(-2*t)*sin(t)

> > factor(ans)

ans =

1/2*exp(-2*t)*(sin(5*t)-sin(t))

Поскольку (sin5t - sint) = sin2tcos3t, то оригинал найден верно.

Пример:

Найти оригинал изображения

L(s) = .

 

Решение:

Команда ilaplace возвращает решение, выраженное через функцию Хевисайда:

> > syms t s a

> > ilaplace(exp(-2*s)/(s+a), s, t)

ans =

Heaviside(t-2)*exp(-a*(t-2))

Функция Хевисайда (единичная функция) определяется следующим образом:

 

δ ₀(t)=

 

Следовательно, найденный оригинал имеет вид

 

f(t)=

 

Пример:

Найти оригинал изображения

L(s) = .

 

Решение:

Команда ilaplace возвращает решение, выраженное через корни уравнения z⁴+1 = 0:

> > syms t s

> > ilaplace((s^4-1)/(s^5+s), s, t)

ans =

-1+2*sum(1/4*exp(_alpha*t), _alpha = RootOf(_Z^4+1))

Команда vpa вычисляет приближенное значение оригинала с заданным количеством текущих цифр:

> > vpa(ans, 4)

ans =

-1.+1.000*exp(-.7071*t)*cos(.7071*t)+1.000*exp(.7071*t)*cos(.7071*t)

Пример:

Найти оригинал изображения

L(s) = .

 

Решение:

Команда ilaplace возвращается без результата:

> > syms t s

> > ilaplace(exp(2*s)/(s+3)^2, s, t)

ans =

ilaplace(exp(2*s)/(s+3)^2, s, t)

Это означает что либо оригинала не существует, либо системе MATLAB не удалось его найти.

Существуют и другие модификации ilaplace (справку можно получить, введя команду doc ilaplace).

27)Как из Matlab обратиться к ядру системы Maple (команда maple, несколько примеров)? (В1Б1, В1Б28, В2Б14, В3Б25).

Применение возможностей системы Maple совместно с возможностями системы MATLAB придает последней особую гибкость и резко расширяет возможности решения сложных математических задач, где целесообразно объединять аналитические (символьные) методы с численными расчетами.

Доступ к большинству функций и команд системы Maple, ядро которой включено в МАТLAB, осуществляется командой maple.

Пример:

Найти аналитическое решение дифференциального уравнения y''+2xy'+ny = 0.

Решение:

Обращение к dsolve приводит к решению, выраженному через функции Уиттекера:

> > dsolve('D2y+2*x*Dy+n*y=0', 'x')

ans =

C1/x^(1/2)*WhittakerW(1/4*n-1/4, 1/4, x^2)*exp(-1/2*x^2)+C2/x^(1/2)*WhittakerM(1/4*n-1/4, 1/4, x^2)*exp(-1/2*x^2)

Непосредственно из МАТLAB функции WhittakerW и WhittakerM недоступны, т.к. их нет в списке команды mfunlist (см. приложение 1).

Определение функций функций Уиттекера, варианты вызова и подробное описание с примерами использования возвращает команда mhelp Whittaker. Вычислим значение одной из них:

> > maple('WhittakerM(1, 2, 3)')

ans =

WhittakerM(1, 2, 3)

> > vpa(ans, 7)

ans =

10.17605

Ниже приводятся примеры решения в МАТLAB некоторых математических задач с привлечением возможностей системы Maple.

 

 

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: