Вычисление числовых характеристик СМО

Варинт №8

На жд вокзале имеется одна касса, которая работает в режиме массового обслуживания М/М/1. Пассажиры подходят к кассе, образуя пуассоновский поток. В среднем пассажиры подходят за билетами каждые 30 секунд. Среднее время обслуживания одного пассажира – 25 секунд. Если кассир занят, образуется очередь.

При формулировании задачи важную роль играет дисциплина очереди, здесь рассматривается следующая: требование приходит в систему и дожидается обслуживания, а например, не уходит, если очередь велика, и, кроме того, каждое требование обслуживается в свою очередь без каких-либо приоритетов.

Отношение λ /μ = ρ – загрузка системы (коэффициент загрузки).

Расчетные формулы для системы М/М/1 имеют следующий вид:,

Р₀ =1 – ρ. - вероятность того, что обслуживающий прибор свободен

= ρ /(1 – ρ ); - среднее число требований в системе (находящихся в очереди и на обслуживании)

= ρ /[μ (1 – ρ )]; - среднее время ожидания обслуживания

= ρ ²/(1 – ρ ); - средняя длина очереди, ожидающей обслуживания,

 

= 1/[μ (1 – ρ )]. - среднее время, проведенное требованием в системе,

Так как средний промежуток времени между поступлениями требований известен: m_{t пост} =30 сек= 1/2мин, то среднее число пассажиров, приходящих к кассе в течение 1 мин,

λ = 1/m_{t пост};

λ = 1/0, 5 = 2пассажира/мин.

Поскольку среднее время обслуживания m_{t обсл} =25 сек= 0, 4мин, то среднее число пассажиров, обслуживаемых в 1 мин,

μ = 1/m_tобсл ;

μ = 1/0, 4 = 2, 5,

т. е. в среднем касса обслуживает более двух пассажиров в минуту.

λ /μ = ρ – загрузка системы

ρ =2/2, 5=0, 8

Тогда вероятность простоя системы (в данном случае кассы и кассира)

Р₀ = 1 – ρ;

Р₀ = 1 – 0, 8 = 0, 2,

т. е. 20 % рабочего времени система простаивает.

= ρ /(1 – ρ ); - Среднее число пассажиров в системе (стоят в очереди плюс один рассчитывается за билет)

= 0, 8/(1 – 0, 8) = 4 пассажира

= ρ /μ (1 – ρ ); -Среднее время ожидания в очереди

= 0, 8/(2, 5· 0, 2) =1, 6мин.

= ρ ²/(1 – ρ ); -Средняя длина очереди, ожидающей обслуживания, пассажира.

= 0, 8²/ (1 – 0, 8) = 3, 2

т. е., как правило, немногим больше трех пассажиров стоят в очереди.

Среднее время, проведенное пассажиром в системе, ожидая сначала в очереди, а потом и собственно своего обслуживания кассиром,

Т = 1/μ (1 – ρ );

Т = 1/[2.5· (1 – 0, 8)] = 2 мин.

Вычисление числовых характеристик СМО

lambda=2; mu=2.5; m=1;

rho=lambda/mu; rho_m= rho/m;

if rho_m> =1,

disp('Стационарного режима не существует');

Else

disp('Стационарный режим существует');

K=input('Сколько вероятностей вычислять? ');

while K< =m

disp('K должно быть не менее m+1');

K=input('Сколько вероятностей вычислять? ');

end;

x=1: m;

x1=ones(1, K-1-m)*m;

xx=[x, x1];

slave1=ones(1, K-1)*rho;

slave2=slave1./xx;

slave=cumprod(slave2);

disp('Вероятность простоя');

P0=1/(1+sum(slave(1: m-1))+slave(m)/(1-rho_m)); disp(P0);

disp('Вероятность состояний 1, ...K-1');

Psost=slave*P0; disp(Psost);

disp('Вероятность ожидания перед обслуживанием');

Pw=Psost(m)/(1-rho_m); disp(Pw);

disp('Вероятность обслуживания без ожидания');

Pww=1-Pw; disp(Pww);

disp('Среднее число заявок в системе');

k=1: m-1;

Qsr=k*(Psost(1: m-1))'+m*Pw+Psost(m)*rho_m/(1-rho_m)^2;

disp(Qsr);

disp('Среднее число заявок в очереди');

qsr=Psost(m)*rho_m/(1-rho_m)^2; disp(qsr);

disp('Среднее число занятых приборов');

qs=Qsr-qsr; disp(qs);

disp('Среднее время ожидания');

W=qsr/lambda; disp(W);

disp('Среднее время пребывания в системе');

T=Qsr/lambda; disp(T);

t=0: 0.01: 10;

FW=1-Pw*exp(-(m*mu-lambda)*t);

plot(t, FW);

end;

Результаты полученные на основе вычислений

График функции распределения времени ожидания

Стационарный режим существует

Сколько вероятностей вычислять? 3

Вероятность простоя 0.2000

Вероятность состояний 1, ...K-1 0.1600 0.1280

Вероятность ожидания перед обслуживанием 0.8000

Вероятность обслуживания без ожидания 0.2000

Среднее число заявок в системе 4.0000

Среднее число заявок в очереди 3.2000

Среднее число занятых приборов 0.8000

Среднее время ожидания 1.6000

Среднее время пребывания в системе 2.0000

Компьютерное моделирование основных процессов и статическая оценка

Характеристик СМО

lambda=2; mu=2.5; m=1;

Num=input('Число изменений состояний системы за время моделир.: ');

s=1;

T=zeros(1, Num);

Qt=zeros(1, Num);

Time = zeros(1, Num);

for i=2: Num,

if Qt(i-1)==0

v=Inf; u=-log(rand)/lambda;

Else

u=-log(rand)/lambda;

qs=min(m, Qt(i-1));

v=-log(rand)/(qs*mu);

end;

delta_time=min(u, v);

T(i)=T(i-1)+delta_time;

Time(s)=Time(s)+delta_time;

if u< v

Qt(i)=Qt(i-1)+1;

Else

Qt(i)=Qt(i-1)+1;

end;

s=Qt(i)+1;

end;

disp(' Оценки характеристик системы M|M|1 с ожиданием, ');

disp(' полученные на основе моделирования');

Psost=Time/T(Num);

disp('Вероятность простоя'); disp(Psost(1));

N=input('Кол-во вероятностей, которые необходимо вывести на экран: ');

disp('Вероятности состояний 1,..., N'); disp(Psost(2: N));

disp('Вероятность ожидания');

Pw=1-sum(Psost(1: m)); disp(Pw);

disp('Среднее число заявок в системе');

k=0: (Num-1); Qsr=k*Psost'; disp(Qsr);

disp('Среднее число заявок в очереди');

qsr=max(0, k-m)*Psost'; disp(qsr);

z=zeros(1, Num);

mvect=ones(1, Num)*m;

qt=max(z, Qt-mvect);

subplot(211); plot(T, Qt);

subplot(212); plot(T, qt);

Вероятность простоя 0.1446

Вероятность ожидания 0.8554

Варинт №8

На жд вокзале имеется одна касса, которая работает в режиме массового обслуживания М/М/1. Пассажиры подходят к кассе, образуя пуассоновский поток. В среднем пассажиры подходят за билетами каждые 30 секунд. Среднее время обслуживания одного пассажира – 25 секунд. Если кассир занят, образуется очередь.

При формулировании задачи важную роль играет дисциплина очереди, здесь рассматривается следующая: требование приходит в систему и дожидается обслуживания, а например, не уходит, если очередь велика, и, кроме того, каждое требование обслуживается в свою очередь без каких-либо приоритетов.

Отношение λ /μ = ρ – загрузка системы (коэффициент загрузки).

Расчетные формулы для системы М/М/1 имеют следующий вид:,

Р₀ =1 – ρ. - вероятность того, что обслуживающий прибор свободен

= ρ /(1 – ρ ); - среднее число требований в системе (находящихся в очереди и на обслуживании)

= ρ /[μ (1 – ρ )]; - среднее время ожидания обслуживания

= ρ ²/(1 – ρ ); - средняя длина очереди, ожидающей обслуживания,

 

= 1/[μ (1 – ρ )]. - среднее время, проведенное требованием в системе,

Так как средний промежуток времени между поступлениями требований известен: m_{t пост} =30 сек= 1/2мин, то среднее число пассажиров, приходящих к кассе в течение 1 мин,

λ = 1/m_{t пост};

λ = 1/0, 5 = 2пассажира/мин.

Поскольку среднее время обслуживания m_{t обсл} =25 сек= 0, 4мин, то среднее число пассажиров, обслуживаемых в 1 мин,

μ = 1/m_tобсл ;

μ = 1/0, 4 = 2, 5,

т. е. в среднем касса обслуживает более двух пассажиров в минуту.

λ /μ = ρ – загрузка системы

ρ =2/2, 5=0, 8

Тогда вероятность простоя системы (в данном случае кассы и кассира)

Р₀ = 1 – ρ;

Р₀ = 1 – 0, 8 = 0, 2,

т. е. 20 % рабочего времени система простаивает.

= ρ /(1 – ρ ); - Среднее число пассажиров в системе (стоят в очереди плюс один рассчитывается за билет)

= 0, 8/(1 – 0, 8) = 4 пассажира

= ρ /μ (1 – ρ ); -Среднее время ожидания в очереди

= 0, 8/(2, 5· 0, 2) =1, 6мин.

= ρ ²/(1 – ρ ); -Средняя длина очереди, ожидающей обслуживания, пассажира.

= 0, 8²/ (1 – 0, 8) = 3, 2

т. е., как правило, немногим больше трех пассажиров стоят в очереди.

Среднее время, проведенное пассажиром в системе, ожидая сначала в очереди, а потом и собственно своего обслуживания кассиром,

Т = 1/μ (1 – ρ );

Т = 1/[2.5· (1 – 0, 8)] = 2 мин.

Вычисление числовых характеристик СМО

lambda=2; mu=2.5; m=1;

rho=lambda/mu; rho_m= rho/m;

if rho_m> =1,

disp('Стационарного режима не существует');

Else

disp('Стационарный режим существует');

K=input('Сколько вероятностей вычислять? ');

while K< =m

disp('K должно быть не менее m+1');

K=input('Сколько вероятностей вычислять? ');

end;

x=1: m;

x1=ones(1, K-1-m)*m;

xx=[x, x1];

slave1=ones(1, K-1)*rho;

slave2=slave1./xx;

slave=cumprod(slave2);

disp('Вероятность простоя');

P0=1/(1+sum(slave(1: m-1))+slave(m)/(1-rho_m)); disp(P0);

disp('Вероятность состояний 1, ...K-1');

Psost=slave*P0; disp(Psost);

disp('Вероятность ожидания перед обслуживанием');

Pw=Psost(m)/(1-rho_m); disp(Pw);

disp('Вероятность обслуживания без ожидания');

Pww=1-Pw; disp(Pww);

disp('Среднее число заявок в системе');

k=1: m-1;

Qsr=k*(Psost(1: m-1))'+m*Pw+Psost(m)*rho_m/(1-rho_m)^2;

disp(Qsr);

disp('Среднее число заявок в очереди');

qsr=Psost(m)*rho_m/(1-rho_m)^2; disp(qsr);

disp('Среднее число занятых приборов');

qs=Qsr-qsr; disp(qs);

disp('Среднее время ожидания');

W=qsr/lambda; disp(W);

disp('Среднее время пребывания в системе');

T=Qsr/lambda; disp(T);

t=0: 0.01: 10;

FW=1-Pw*exp(-(m*mu-lambda)*t);

plot(t, FW);

end;

Поделиться: