Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.Стр 1 из 3Следующая ⇒
Пределы функций. Примеры решений
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи: 1. Понять, что такое предел. Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта. Итак, что же такое предел? А сразу пример, чего бабушку лохматить…. Любой предел состоит из трех частей: 1) Всем известного значка предела . Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице». Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела: Готово. Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко! Пример с бесконечностью: Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности. А что в это время происходит с функцией ? Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности: Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ. Еще один пример с бесконечностью: Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции: Вывод: при функция неограниченно возрастает И еще серия примеров: Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов: , , , , , , , , , Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет. Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом. Что нужно запомнить и понять из вышесказанного? Трехмерный случай Здесь почти всё так же. 1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось – направлена вверх, ось – направлена вправо, ось – влево вниз строго под углом 45 градусов. 2) Подписываем оси. 3) Задаем размерность по осям. Размерность по оси – в два раза меньше, чем размерность по другим осям. Также обратите, внимание, что на правом чертеже размерность я задал нестандартно – по оси двойкой, а не единицей. С моей точки зрения, так точнее, и, главное, быстрее и удобнее – не нужно под микроскопом выискивать середину клеточки. При выполнении трехмерного чертежа опять же желательно придерживаться размерности 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева). Для чего существует эти правила? Правила, как известно, существуют для того, чтобы их нарушать! Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что все последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но
График линейной функции Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки. Пример 1 Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль. Если , то Берем еще какую-нибудь точку, например, 1. Если , то При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу: Две точки найдены, выполним чертеж: Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:
1) Линейная функция вида ( ) называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всего проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку. 2) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс». 3) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1». Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или . Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.
Кубическая парабола Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж: Область определения – любое действительное число: . Область значений – любое действительное число: . Функция является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием . Выполним проверку для кубической функции, для этого вместо «икс» подставим «минус икс»: Функция не ограничена. На языке пределов функции это можно записать так: , Кубическую параболу тоже эффективнее строить с помощью
Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Если мы нашли, что , то при вычислении уже не нужно ничего считать, автоматом записываем, что . Эта особенность справедлива для любой нечетной функции. Теперь немного поговорим о графиках многочленов. График любого многочлена третьей степени ( ) принципиально имеет следующий вид: Многочлены 4-ой, 6-ой и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:
График функции Выполним чертеж: Область определения: . Область значений: . То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти. Функция не ограничена сверху. Или с помощью предела: При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело: На самом деле хочется разобрать еще примеры с корнями, например, , но они встречаются значительно реже. Я ориентируюсь на более распространенные случаи, и, как показывает практика, что-нибудь вроде приходиться строить значительно чаще. Если возникнет необходимость выяснить, как выглядят графики с другими корнями, то, рекомендую заглянуть в школьный учебник или математический справочник.
График гиперболы Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу . Выполним чертеж: Область определения: . Область значений: . Запись обозначает: «любое действительное число, исключая ноль» В точке функция терпит бесконечный разрыв. Или с помощью односторонних пределов: , . Немного поговорим об односторонних пределах. Запись обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси к нулю слева. Как при этом ведёт себя график? Он уходит вниз на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Именно этот факт и записывается пределом . Аналогично, запись обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси к нулю справа. При этом ветвь гиперболы уходит вверх на плюс бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Или коротко: . Такая прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой. В данном случае ось является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при . Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой. Также односторонние пределы , говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу. Исследуем функцию на бесконечности: , то есть, если мы начнем уходить по оси влево (или вправо) на бесконечность, то «игреки» стройным шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близкоприближаться к оси . Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции , если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности. Функция является нечётной, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: . График функции вида ( ) представляют собой две ветви гиперболы. Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях. Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях. Пример 3 Построить правую ветвь гиперболы Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело: Выполним чертеж:
График косинуса Построим график функции График косинуса – это та же самая синусоида, сдвинутая вдоль оси на влево. Косинус – это функция четная, ее график симметричен относительно оси , и справедлив следующий факт: . То есть, минус перед аргументом косинуса можно безболезненно убирать (или наоборот, ставить). В отличие от синуса в косинусе минус «бесследно пропадает». Для решения практических задач нужно знать и помнить следующие значения косинуса: , , . Пределы функций. Примеры решений
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи: 1. Понять, что такое предел. Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта. Итак, что же такое предел? А сразу пример, чего бабушку лохматить…. Любой предел состоит из трех частей: 1) Всем известного значка предела . Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице». Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела: Готово. Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко! Пример с бесконечностью: Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности. А что в это время происходит с функцией ? Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности: Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ. Еще один пример с бесконечностью: Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции: Вывод: при функция неограниченно возрастает И еще серия примеров: Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов: , , , , , , , , , Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет. Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом. Что нужно запомнить и понять из вышесказанного? Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. 2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д. Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует! На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Пределы с неопределенностью вида и метод их решения Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены Пример: Вычислить предел Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим. Как решать пределы данного типа? Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени: Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени: Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке. Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени. Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность. Что принципиально важно в оформлении решения? Во-первых, указываем неопределенность, если она есть. Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения. В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так: Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметить недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо? Пример 2 Найти предел Разделим числитель и знаменатель на Пример 3 Найти предел
Разделим числитель и знаменатель на Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число. Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу. Пример 4 Решить предел Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материаломГорячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.Итак, решаем наш предел Разложим числитель и знаменатель на множители Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе. ! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка. Далее находим корни: Таким образом: Всё. Числитель на множители разложен. Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя. Очевидно, что можно сократить на : Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела: Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так: |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-17; Просмотров: 572; Нарушение авторского права страницы