Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Решение дифференциальных уравнений – команда dsolve
Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (систем уравнений) MATLAB имеет команду r = dsolve('eq1', 'eq2',..., 'cond1', 'cond2',..., 'v'). Она возвращает аналитическое решение дифференциальных уравнений eq1, eq2,..., использующих v как независимую переменную, с граничными и (или) начальными условиями cond1, cond2,.... По умолчанию независимой переменной считается переменная t, обычно обозначающая время. Если в выражениях eqI (condI) не используется знак равенства, то полагается, что eqI (condI) = 0. Символ D обозначает производную по независимой переменной, то есть d/dt, при этом D2 означает d2/dt2 и т. д. Имя независимой переменной не должно начинаться с буквы D. Начальные условия задаются в виде равенств 'y(a) = b' или 'Dy(a) = b' , где у – зависимая переменная, a и b – константы, которые могут быть и символьными. Могут быть символьными и константы в уравнениях. Если число начальных условий меньше порядка уравнения, то в решении будут присутствовать произвольные постоянные C1, C2 и т. д. Формы вывода результата такие же, как и для команды solve. Справку по dsolve можно получить, введя команду doc dsolve. Пример: Решить дифференциальные уравнения 1) x'' = -2x', 2) y'' = -ax+y', y(0) = b, 3) y(4) - y = 5exsinx+x4, 4) y''+4y'+3y = cost, y(0) = 1, y'(0) = 0. Решения 3 - го и 4 - го уравнений проверить подстановкой. Решение: > > dsolve('D2x=-2*x') ans = C1*cos(2^(1/2)*t)+C2*sin(2^(1/2)*t) > > dsolve('D2y=-a*x+y', 'y(0)=b', 'x') ans = a*x+C1*sinh(x)+b*cosh(x) > > syms x > > S=dsolve('D4y-y-5*exp(x)*sin(x)-x^4', 'x'); > > [R]=simple(S) R = -24-x^4-exp(x)*sin(x)+C1*exp(x)+C2*sin(x)+C3*cos(x)+C4*exp(-x) Проверка 3-го решения: > > diff(R, x, 4)-R-5*exp(x)*sin(x)-x^4 ans = > > S=dsolve('D2y+4*Dy+3*y=cos(t)', 'y(0)=1', 'Dy(0)=0', 't') S = 1/10*cos(t)+1/5*sin(t)-7/20*exp(-3*t)+5/4*exp(-t) Проверка 4-го решения: > > syms t > > diff(S, t, 2)+4*diff(S, t)+3*S ans = cos(t) Проверка выполнения начальных условий 4 - го решения: > > subs(S, t, 0) ans = > > subs(diff(S, t), t, 0) ans = Пример: Решить систему линейных дифференциальных уравнений
Решение: > > S=dsolve('Dx = y', 'Dy = -x') S = x: [1x1 sym] y: [1x1 sym] > > disp([S.x, S.y ]) [ cos(t)*C1+sin(t)*C2, -sin(t)*C1+cos(t)*C2] Пример: Решить систему линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями и проверить решение
Решение: > > S=dsolve('Dx = y', 'Dy = -x', 'x(0)=1', 'y(0)=2') S = x: [1x1 sym] y: [1x1 sym] > > disp([S.x S.y]) [ cos(t)+2*sin(t), -sin(t)+2*cos(t)] Получено решение: x = cost+2sint, y = -sint+2cost. Проверка решения: syms t > > diff(S.x, t)-S.y ans = > > diff(S.y, t)+S.x ans = Проверка выполнения начальных условий: > > subs(S.x, t, 0) ans = > > subs(S.y, t, 0) ans = Команда dsolve не позволяет получить аналитическое решение дифференциального уравнения произвольного вида. Пример: Найти аналитическое решение уравнения Ван-дер-Поля y'' - (1 - y2)y'+y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 0. Решение: Обращение к dsolve выдает сообщение о том, что решение не найдено: > > dsolve('D2y-(1-y^2)*Dy+y=0', 'y(0)=2', 'Dy(0)=0') ans = [ empty sym ] В некоторых случаях dsolve возвращает решение, выраженное через специальные функции. Пример: Найти аналитическое решение уравнения Бесселя x2y''+xy'+(x2 - v2)y = 0. Решение: > > dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-v^2)*y=0', 'x') ans = C1*besselj(v, x)+C2*bessely(v, x) Решение выражается через функции Бесселя. Информацию о функциях Бесселя можно получить с помощью команды doc besselj. 7.15 Прямое и обратное преобразования Лапласа – команды laplace, ilaplace
Преобразование Лапласа любой комплексной функции f(t) действительной переменной t имеет вид L(s) = f(t)e-stdt. Функцию f(t) принятоназывть оригиналом, а функцию L(s) – изображением. Функция f(t) должна удовлетворять следующим условиям: а) f(t) является непрерывной функцией для всех значений t, принадлежащих области определения. (Допускается наличие разрывов первого рода в конечном числе точек, расположенных на интервалах конечной длины. Количество таких интервалов должно быть конечным числом); б) f(t) = 0 при t < 0; в) существуют числа M > 0 и p ≥ 0 такие, что для всех t │ f(t)│ < Mept (p называется показателем роста │ f(t)│ ). Некоторые простейшие) преобразования Лапласа приведены в таблице 7.1.
Таблица 7.1. Некоторые преобразования Лапласа
В MATLAB преобразование Лапласа функции f(t) осуществляется с помощью команды laplace(F, t, s). Найдем с помощью этой команды изображения заданных в таблице 7.1 оригиналов f(t): > > syms a t w s > > n=sym('n', 'positive'); > > laplace(1, t, s) ans = 1/s > > laplace(exp(-a*t), t, s) ans = 1/(s+a) > > laplace(sin(a*t), t, s) ans = a/(s^2+a^2) > > laplace(t^n, t, s) ans = s^(-n-1)*gamma(n+1) > > laplace(exp(-a*t)*cos(w*t), t, s) ans = (s+a)/((s+a)^2+w^2) > > laplace(t^n*exp(-a*t), t, s) ans = gamma(n+1)*(s+a)^(-n-1) Полученные изображения совпадают с табличными, если учесть, что gamma(n+1) = n! для целых n (см. разд. 7.10). Пример: Найти изображение функции f(t) = e-2tsin2tcos3t. Решение: > > syms t s > > laplace(exp(-2*t)*sin(2*t)*cos(3*t), t, s) ans = 5/2/((s+2)^2+25)-1/2/((s+2)^2+1) > > pretty(ans) 1 1 5/2 ------------- - 1/2 ------------ 2 2 (s + 2) + 25 (s + 2) + 1 > > factor(ans) ans = 2*(s^2+4*s-1)/(s^2+4*s+29)/(s^2+4*s+5) > > pretty(ans) s + 4 s - 1 2 ------------------------------ 2 2 (s + 4 s + 29) (s + 4 s + 5) Итак, L(s) = 2.
Пример: Найти изображение функции f(t) = . Решение: При обращении к laplace команда возвращается без результата: > > laplace(1/t, t, s) ans = laplace(1/t, t, s) Это означает что либо изображения не существует, либо системе MATLAB не удалось его найти. Существуют различные модификации laplace (справку можно получить с помощью команды doc laplace ). Обратное преобразование Лапласа имеет вид
f(t) = L(s)estds. В среде MATLAB обратное преобразование Лапласа функции L(s) можно получить с помощью команды ilaplace(L, s, t). Найдем с ее помощью оригиналы заданных в таблице 7.1 изображений L(s): > > syms a t w s > > n=sym('n', 'positive'); > > ilaplace(1/s, s, t) ans = > > ilaplace(1/(s+a), s, t) ans = exp(-a*t) > > ilaplace(a/(s^2+a^2), s, t) ans = a/(a^2)^(1/2)*sin((a^2)^(1/2)*t) > > ilaplace(s^(-n-1)*gamma(n+1), s, t) ans = t^n > > ilaplace((s+a)/((s+a)^2+w^2), s, t) ans = exp(-a*t)*cos(w*t) > > ilaplace(gamma(n+1)*(s+a)^(-n-1), s, t) ans = exp(-a*t)*t^n Полученные оригиналы совпадают с табличными. Пример: Найти оригинал полученного ранее изображения
2 функции f(t) = e-2tsin2tcos3t. Решение: > > syms t s > > ilaplace(2*(s^2+4*s-1)/(s^2+4*s+29)/(s^2+4*s+5), s, t) ans = 1/2*exp(-2*t)*sin(5*t)-1/2*exp(-2*t)*sin(t) > > factor(ans) ans = 1/2*exp(-2*t)*(sin(5*t)-sin(t)) Поскольку (sin5t - sint) = sin2tcos3t, то оригинал найден верно. Пример: Найти оригинал изображения L(s) = .
Решение: Команда ilaplace возвращает решение, выраженное через функцию Хевисайда: > > syms t s a > > ilaplace(exp(-2*s)/(s+a), s, t) ans = Heaviside(t-2)*exp(-a*(t-2)) Функция Хевисайда (единичная функция) определяется следующим образом:
δ 0(t)=
Следовательно, найденный оригинал имеет вид
f(t)=
Пример: Найти оригинал изображения L(s) = .
Решение: Команда ilaplace возвращает решение, выраженное через корни уравнения z4+1 = 0: > > syms t s > > ilaplace((s^4-1)/(s^5+s), s, t) ans = -1+2*sum(1/4*exp(_alpha*t), _alpha = RootOf(_Z^4+1)) Команда vpa вычисляет приближенное значение оригинала с заданным количеством текущих цифр: > > vpa(ans, 4) ans = -1.+1.000*exp(-.7071*t)*cos(.7071*t)+1.000*exp(.7071*t)*cos(.7071*t) Пример: Найти оригинал изображения L(s) = .
Решение: Команда ilaplace возвращается без результата: > > syms t s > > ilaplace(exp(2*s)/(s+3)^2, s, t) ans = ilaplace(exp(2*s)/(s+3)^2, s, t) Это означает что либо оригинала не существует, либо системе MATLAB не удалось его найти. Существуют и другие модификации ilaplace (справку можно получить, введя команду doc ilaplace ). |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-17; Просмотров: 449; Нарушение авторского права страницы