Глава 5. Определение параметров составляющих сложного сигнала.

Рассмотрим алгоритм разделения сложного сигнала на составляющие, имеющие лоренцевскую форму при помощи некоторых преобразований, сводящих нелинейную задачу минимизации к решению линейных уравнений [13], Необходимая априорная информация – количество элементарных составляющих.

Пусть наблюдаемый сигнал можно представить в виде:

 

(5.1)

 

Здесь , , – параметры элементарных составляющих сложного сигнала, подлежащие определению, m – количество исходных составляющих. Умножив обе части на множитель:

 

(5.2)

 

получим

 

(5.3)

 

Здесь и далее штрих у знака произведения в правой части означает, что из произведения исключен множитель с i=j. Выражение (5.3) можно записать в виде:

(5.4)

Корни , , входящие в (5.4), определяются из уравнения

(5.5)

Введем новые переменные , (i=1, 2, …., 2m), (k=1, 2, …, 2m-1), которые определяются равенствами.

(5.6)

 

 

(5.7)

 

 

 

С учетом равенств (5.6) и (5.7) выражение (5.1) может быть записано в виде:

(5.8)

 

Выражение (5.8) представляет собой систему линейных уравнений с 4m-1 неизвестными: 2m неизвестных x_j и 2m-1 неизвестных z_k.

Система может быть решена по известным значениям F(w _i) в 4m-1 точках. Если x_i определены, то равенства (25) определяют полином порядка 2m относительно переменных , (j=1, 2…, m)

(5.9)

и связанных с ними параметров

(5.10)

 

Переменные , после определения неизвестных и могут быть найдены из системы линейных уравнений

(5.11)

 

где матрица L_ij определяется выражением

 

(5.12)

Корни полинома (5.9) могут быть определены с помощью метода Берстоу [14], позволяющего определить комплексные корни многочлена.

Для устранения шумов в данном случае могут быть реализованы две возможности: либо предварительное сглаживание экспериментального спектра на основе метода статистической регуляризации, либо решение системы уравнений (5.8) с использованием метода регуляризации (алгоритмы описаны выше).

Для анализа эффективности работы алгоритма проведем численные эксперименты. Основой модельного сигнала выбираем сложный сигнал, в первом случае состоящий из двух составляющих, во втором случае состоящий из трех составляющих. В обоих случаях составляющие сигнала будут иметь лоренцевскую форму, характерную для прикладной спектроскопии, параметр – амплитуда модельной функции, – положение центра, – полуширина, , , – естественно векторы, элементами которых являются соответствующие составляющие. С помощью генератора псевдослучайных чисел к модельному сигналу добавлялись «ошибки измерений» заданного уровня. Полученный «экспериментальный сигнал» подвергался дальнейшей обработке.

Файл-сценарий для получения параметров составляющих сложного сигнала:

%Определение параметров составляющих сложного сигнала

%a, b, c - параметры лоренцианов: a-амплитуда, b-положение центра, c-полуширина

%w1, w2-границы интервала измерений, err-уровень ошибок

clear

a=[1 2]; b=[1 2]; c=[3 9];

m=2; n=2;

% a=[1 2 1]; b=[1 1 1]; c=[3 8 12]; %для трех лоренцианов

% m=3; n=3;

w1=0; w2=13;

err=0.05; epse=0.000001;

[ft, fe, w, dw]=testf(a, b, c, m, n, w1, w2, err); %формирование тестовых функции,

%ft-точная функция,

%fe-экспериментальная, dw-шаг,

%w-ось абсцисс(для графика)

%m-количество составляющих(точное)

%n-количество составляющих(априорно задаваемое)

[matr1, fi1, x01]=vspom(n, w, fe);

[y1]=algorithm2(matr1, fi1, x01, epse);

[a1, b1, c1]=consists(y1, n, w, fe, epse)

s1=sigma(ft, a1, b1, c1, n, w1, w2)

k=eye(4*n-1);

[dif, omega, ww, v, h]=matrixs(4*n-1, err, dw); %матрицы: dif-дифференцирования(2 порядка)

%omega-стабилизатор,

%ww-информационная матрица,

%v-ковариационная матрица ошибок,

alf=alfa(fe, v, k, omega); %параметр регуляризации(одношаговая оценка)

ff=inv(k'*ww*k+alf*omega)*k'*ww*fe';

[matr2, fi2, x02]=vspom(n, w, ff);

[y2]=algorithm2(matr2, fi2, x01, epse);

[a2, b2, c2]=consists(y2, n, w, ff, epse)

s2=sigma(ft, a2, b2, c2, n, w1, w2)

Отметим, что для отыскания величин y, y1, y2 мы применили алгоритм 2, а не алгоритм 4, дающий неотрицательное решение, так как при неотрицательном значении y, y1, y2 мы бы получили некоторые отрицательные значения составляющих b и c.

Файл-функция для формирования модельной функции и «экспериментальных данных»:

function [ft, fe, w, dw]=testf(a, b, c, m, n, w1, w2, err)

t=4*n-1;

%t=100;

dw=(w2-w1)/t;

ft=zeros(1, t);

for i=1: t

w(i)=w1+dw*i;

end

for i=1: t

for j=1: m

ft(i)=ft(i)+a(j)/((w(i)-c(j))^2+b(j)^2);

end

end

fe=ft+(randn(t, 1)*err)';

Файл-функция (вспомогательная):

function [matr, fi, x]=vspom(n, w, f)

for i=1: (4*n-1)

for j=1: 2*n

matr(i, j)=f(i)*(w(i)^(2*n-j));

end

for j=(2*n+1): (4*n-1)

matr(i, j)=-w(i)^(4*n-1-j);

end

end

for i=1: (4*n-1)

fi(i)=-f(i)*(w(i)^(2*n));

end

fi=fi';

x=zeros(1, 4*n-1);

Файл-функция для определения составляющих:

function[a, b, c]=consists(y, n, w, f, epse)

for i=1: 2*n

x(i)=y(i);

end

for i=(2*n+1): (4*n-1)

z(i-2*n)=y(i);

end

p=[1 x];

r=roots(p);

r=sort(r);

for i=1: n

Wi1(i)=r(2*i);

Wi2(i)=r(2*i-1);

end

c=real(Wi1);

b=imag(Wi1);

for i=1: n

for j=1: n

l(i, j)=1/((w(j)-Wi1(i))*(w(j)-Wi2(i)));

end

end

l=l';

x0=zeros(1, n);

for i=1: n

ff(i)=f(i);

end

ff=ff';

a=algorithm2(l, ff, x0, epse);

a=a';

Величина среднеквадратичного отклонения модельного сигнала от восстановленного по вновь найденным параметрам определяется в виде:

,

где – истинный суммарный контур, – вычисленный по наблюденным параметрам суммарный контур.

Файл-функция для определения величины среднеквадратичного отклонения:

function [s]=sigma(f, a, b, c, n, w1, w2)

dw=(w2-w1)/n;

for i=1: n

w(i)=w1+dw*i;

end

ff=zeros(1, n);

for i=1: n

for j=1: n

ff(i)=ff(i)+a(j)/((w(i)-c(j))^2+b(j)^2);

end

end

s=0;

for i=1: n

s=s+(f(i)-ff(i))^2;

end

s=(1/n)*s;

При =8% решение становится бессмысленным: a1=0, 58 (при заданном равном 1), a2=2, 98(2), b1=0(1), b2=2, 46(2), c1=1, 5(3), c2=9, 99(9). В то время как после применения метода статистической регуляризации параметры вычисляются уже намного лучше, так становятся a1=0, 86, a2=2, 47, b1=0, 77, b2=2, 2, c1=3, 1, c2=9, 27(значения параметров задаются в единицах полуширины первого контура). Итак, получаем, что использование методов статистической регуляризации позволяет значительно увеличить точность решения.

Рис. 8. Зависимость среднеквадратичной ошибки от относительной погрешности при разделении двух лоренцианов (кривые 1 – без регуляризации и 2 – с регуляризацией при искомых значений параметров a1=1, b1=1, c1=3, a2=2, b2=2, c2=9) и трех лоренцианов (кривые 3 – без регуляризации и 4 – с регуляризацией, a1=1, b1=1, c1=3, a2=2, b2=1, c2=8, a3=1, b3=1, c3=12).

Следует отметить, что с увеличением числа составляющих m несколько возрастает среднеквадратичная ошибка восстановления параметров (рис. 1 – кривые 3 и 4 для m=3). Однако и в этом случае использование методов регуляризации значительно повышает точность решения.

Данный метод очень чувствителен к задаваемому априорно количеству составляющих и если n задано неверно, то решение может стать бессмысленным. Для иллюстрации этого факта мы построили таблицу, содержащую значения восстановленных параметров для сложного сигнала из трех лоренциан в зависимости от количества априорно задаваемых кривых:

 

n	a1	a2	a3	b1	b2	b3	c1	c2	c3
	1.0060	2.0372	0.8562	1.0039	0.9980	0.9980	3.0006	7.9977	12.0039
	1.0039	1.7583	-7.4967	1.0045	1.9767	0.9991	2.9992	5.0310	8.0021
	0.9922	-0.3279	17.5710	0.9981		1.0041	2.9994	7.0101	8.0012

Таб. 3. Значения восстановленных параметров для сложного сигнала из трех лоренциан в зависимости от количества априорно задаваемых кривых. Ошибка составляла 0, 05% от максимального значения интенсивности контура. Истинные значения параметров.

Решение также становится бессмысленным при вариации формы элементарных кривых (т.е. если элементарная кривая, задаваемая в ходе математического эксперимента, несколько отличается от лоренцовской, что объясняется плохой обусловленностью системы). Некоторые результаты приведены в таблице 4.

	без регуляризации	с регуляризацией
параметр a	4.0501	-0.0001	-0.0025	4.1371	0.0112	0.0572
параметр b
параметр c	-2.1213	6.0776	15.0793	-1.9789	6.1066	15.2836

Таб. 4. Значения восстановленных параметров для сложного сигнала из трех составляющих. Ошибка составляла 0, 01% от максимального значения интенсивности контура. Форма элементарных составляющих задавалась в виде .

Как видим, даже небольшая вариация формы кривой (в знаменателе вместо мы поставили ) дает неудовлетворительные результаты даже при таком небольшом уровне ошибок.

Следует заметить, что с увеличением числа составляющих m несколько возрастает среднеквадратичная ошибка восстановления параметров (рис. 8, кривые 3 и 4 для m=3). Однако и в этом случае использование методов регуляризации значительно повышает точность решения.

Была проанализирована точность определения параметров элементарных составляющих в зависимости от расстояний между их максимумами. Некоторые результаты представлены в таблице 5.

 

 

расстояния между центрами	a1	a2	b1	b2	c1	c2
	1, 0009	2, 0007	1, 0000	2, 0001	3, 0003	9, 0000
	1, 0005	2, 0018	1, 0001	2, 0003	4, 9924	9, 0007
	1, 0021	2, 0051	1, 0611	1, 9924	6, 9101	9, 0232
1.75	0, 9722	2, 3716	1, 0119	2, 0339	7, 2525	8, 9228
1.25	0, 9338	2, 3754	1, 0125	1, 9818	7, 6311	9, 1237
	0, 9325	2, 5716	1, 1610	1, 9827	7, 8123	9, 1042
0.75	1, 2349	1, 2427	0, 7324	2, 0107	8, 4241	8, 8111

Таб. 5. Восстановление параметров при разных расстояниях между максимумами составляющих. Набрасываемая ошибка составляет 0, 5% от максимального значения.

Видно, что предлагаемый метод позволяет получить достаточно точные значения параметров даже для близко сдвинутых элементарных кривых.

 

 

Литература

 

1. Дьяконов В.П. MATLAB 6: учебный курс. СПб: Питер, 2001. – 592 с.

2. Салахов М.Х., Щербакова Н.К. MATLAB-пакет прикладных программ для решения обратных задач спектроскопии (Методические указания). Казань, Изд-во КГУ, 1993. – 32 с.

3. Турчин В.Ф., Козлов В.П., Малкевич М.С. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач // УФН, 1970, т. 102, вып. 3. – С. 345-386 (1983).

4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 2-е изд. М.: Наука, 1979. – 200 c.

5. Грачев И.Д., Салахов М.Х., Фишман И.С. Статистическая регуляризация при обработке эксперимента в прикладной спектроскопии. Казань: Изд-во КГУ, 1986. – 180 с.

6. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов. М.: Советское радио, 1979.

7. Грачев И.Д., Салахов М.Х., Щербакова Н.К. Проекционный алгоритм сглаживания экспериментальных данных // Автометрия, 1989, № 4. – С. 76-81.

8. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям. М.: Мир, 1983.

9. Брэгман Л.М. Нахождение общей точки выпуклых множеств методом последовательного проектирования // Докл. АН СССР. Серия Матем., 1965, т. 162, № 3. – С. 487-490.

10. Фазылов В.Р. Один общий метод отыскания точки выпуклого множества // Изв. вузов. Матем., 1983, № 6. – С. 43-51.

11. Фазылов В.Р. Метод опорных векторов с составным шагом // Сеточные методы для краевых задач и приложения: (Матер. 4 Всеросс. сем., г. Казань, 13-16 сент. 2002 г.). Казань: Казан. матем. об-во, 2002. – С. 106-109.

12. Волков Е.А. Численные методы.М.: Наука, 1987, с.75.

13. Нигматуллин Р.Р., Салахов М.Х., Щербакова Н.К. Разделение сложного спектра на лоренцевские составляющие.// Журнал прикладной спектроскопии, -1988-т.49. №5 с.-820

14. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972, 400 с.

15. Салахов М.Х, Харинцев С.С. Математическая обработка и интерпретация математического эксперимента. Казань: Изд-во КГУ, 2000г., 142 с.

16. Hadamard J. Sur les problemes aux derives particles et leur significations physiques, Bull. Univ. Prinston.-1902.-V.13.-P.49.

17. Hadamard J. Le probleme de Gauchy et les equations aux derivees partielles lineaires hiberboliques.-Paris. Hermann, 1932, 352 p

18. . Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. – Новосибирск: Изд-во Сиб. отделения АН СССР, 1962, 68 с.

19. Лаврентьев М.М. Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа.– М.: Наука. 1980, 288 с.

20. Федотов А.М. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных.– Новосибирск, Наука, 1982, 280 с.

21. Краснов М.Л. Интегральные уравнения.– М.: Наука. 1975.

22. Воробьев Ю.В. Метод моментов в прикладной математике.– М.: Физматгиз, 1958.

23. Раутиан С.Г. Реальные спектральные приборы.– УФН, 1958, т.66, вып.3, с.475.

24. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений.– М.: Физматгиз. 1958.

25. Фаддеева В.Н., Фаддеев Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры.– М.: Физматгиз. 1960.

26. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадратичные функционалы.– В кн.: Методы вычислительной математики.– Новосибирск: Наука. 1975.

27. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач.–ДАН СССР, 1962, т.39, вып.5

28. .Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач.–ДАН СССР, 1964, т.156, вып.3.

29. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода.–ДАН СССР, 1959, т.127, вып.1.

30. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах.–ДАН СССР, 1962, т.145, вып.2.

31. Phillips D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind.–J. Assoc. Comp. Mash., 1962, v.9, №1.

32. Латтес Р., Лионс Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения: Пер. с англ.– М: Мир, 1970.

33. Жуковский Е.Л. Статистическая регуляризация алгебраических систем уравнений.– ЖМФ и МФ, 1972, т.12, вып.1.

34. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г. О постановке некорректных задач математической физики.– Сиб. матем. журн., 1966, т.7, вып.3.

35. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач.–ДАН СССР, 1963, т.153, вып.3.

36. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их приложения: Пер. с англ.– М.: Наука, 1968.

37. Канторович Л.В.– Сиб. матем. журн., 1962, т.3, вып.5. – с.701.

38. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы.– Новосибирск: Наука, 1982, 236 с.

39. Salakhov M.Kh.– Spectrochim. Acta Rev, 1993, v.5, №6, p.399.

40. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи.– Итоги науки и техники: Математический анализ/ВИНИТИ.– 1973.

Содержание

Стр.

Введение………………………………………………………………….4

Глава 1. Основы работы с системой MATLAB…...………………………8

Глава 2. Задачи восстановления сигналов……………………………….24

Глава 3. Обработка экспериментальных данных методом опорных векторов с составным шагом………………………………...……………54

Глава 4. Интерполяция и аппроксимация данных… ………………….75

Глава 5. Определение параметров составляющих сложного сигнала….83

Литература…………………………………………………………………93

 

 

Приложение. Некоторые функции и операторы MATLAB.

 

· image(Z) – возвращает мнимые части элементов массива Z.

· real(Z) – возвращает вещественные части элементов комплексного массива Z.

· conj(Z) – возвращает число, комплексно-сопряженное аргументу Z.

· linespace(a, b, n) – генерирует n точек, равномерно распределенный в интервале от a до b. linespace(a, b) – возвращает линейный массив из 100 точек, равномерно распределенных в интервале от a до b.

· D=size(a) – для mxn матрицы A возвращает двухэлементный вектор-строку, в котором первая составляющая– число строк m, а вторая составляющая – число столбцов n. [m, n]=size(A) возвращает число рядов и столбцов в разных выходных параметрах m и n.

· rand – генерирует массивы случайных чисел, значения элементов которых равномерно распределены в промежутке (0, 1). rand(n) – возвращает матрицу размера nxn. rand(n, m) – возвращает матрицу размера mxn. rand(size(A)) – возвращает массив того же размера, что и A, с элементами, распределенными по равномерному закону.

· X=diag(v) –помещает вектор v на главную диагональ.V=diag(X) – возвращает главную диагональ матрицы X.

· det(X) – возвращает определитель квадратной матрицы X.

· rank(A) – возвращает количество сингулярных чисел, которые являются большими, чем заданный по умолчанию допуск.

· norm(X, p), где p– целое положительное число, – возвращает корень степени p из суммы абсолютных значений элементов вектора X, возведенный в степень p.

· inv(X) – возвращает матрицу, обратную квадратной матрице X.Выдается предупреждающее сообщение, если X плохо масштабирована или близка к вырожденной. B=pinv(A) возвращает матрицу, псевдообратную матрице А.

· fft(X) – возвращает для вектора X дискретное преобразование Фурье, по возможности используя алгоритм быстрого преобразование Фурье. Если X – матрица, функция fft возвращает преобразование Фурье для каждого столбца матрицы. Ifft(F) – возвращает результат дискретного обратного преобразования Фурье вектора F.

· max(A) – возвращает наибольший элемент, если A– вектор; или возвращает вектор-строку, содержащую максимальные элементы каждого столбца, если А– матрица.

· min (A) – возвращает наименьший элемент, если A– вектор; или возвращает вектор-строку, содержащую минимальные элементы каждого столбца, если А– матрица.

· mean(A) – возвращает арифметическое среднее значение элементов массива, если A – вектор или вектор – строку, содержащую средние значения каждого столбца, если А – матрица.

· sort(A) – в случае одномерного массива А сортирует и возвращает элементы по возрастанию их значений; в случае двумерного массива происходит сортировка и возврат элементов каждого столбца. Допустимы вещественные, комплексные и строковые элементы. Если А принимает комплексные значения, то элементы сначала сортируются по абсолютному значению, а затем, если абсолютные значения равны, по аргументу.

· plot(X, Y) – строит график функции y(x), координаты точек (x, y) которой берутся из векторов одинакового размера X, Y. Если X или Y – матрица, то строится семейство графиков по данным, содержащимся в колонках матрицы.

· [B, d]=spdiags(A) – извлекает все ненулевые диагонали из матрицы A размера mxn. B– матрица размера min(m, n)xp, столбцы которой p являются ненулевыми диагоналями A. d – вектор длины p, целочисленные элементы которого точно определяют номера диагоналей матрицы A (положительные номера – выше главной диагонали, отрицательные – ниже).

· nnz(X) – возвращает число ненулевых элементов матрицы X.

· lsqr(A, B) – возвращает точное Решение X системы линейных уравнений A*X=B, если матрица хорошо обусловленная. В противном случае – возвращает решение, полученное итерационным методом наименьших квадратов. Матрица коэффициентов A должна быть прямоугольной размера mxn, а вектор-столбец правых частей уравнений B должен иметь размер m. Условие m³ n может быть и необязательным. Функция lsq начинает итерации от начальной оценки, по умолчанию представляющий собой вектор размером n, состоящий из нулей. Итерации производятся или до сходимости к решению, или до появления ошибки, или до достижения максимального числа итераций (по умолчанию равного min(20, m, n). Сходимость достигается, когда отношение вторых норм векторов norm(B-Ax)/norm(B) меньше или равно погрешности метода tol(по умолчанию 10^-6).

· A(:, j) – j-ый столбец из матрицы A.

· A(i,: j) – j-ая строка из матрицы A.

· A(j: k) – это A(j), A(j+1), …A(k).

· A(:, j: k) – это A(:, j), A(:, j+1), …A:, (k).

· A(: ) – записывает все элементы массива A в виде столбца.

· A(m,: ) – удаляет строку m из матрицы A.

· A(:, n) – удаляет столбец n из матрицы A.

· /– правое деление. Выражение X=B/A дает решение систем линейных уравнений AX=B, где A – матрица размером mxn и B – матрица размера nxk;

· \ – левое деление. Выражение X=B\A дает решение систем линейных уравнений AX=B, где A – матрица размером mxn и B – матрица размера nxk.

 

 

⇐ Предыдущая123456789

Поделиться: