Технология решения дифференциальных уравнений

В среде MatLab

В MatLab имеется ряд функций для решения задачи Коши. Одна из них - ode45 - использует метод Рунге-Кутты четвёртого-пятого порядка точности с автоматическим выбором размера шага.

Обращение к ode45 выполняется следующим образом

[T, Y] = ode45(ODEFUN, TSPAN, Y0).

Входные параметры процедуры ode45( ):

ODEFUN - имя функции (в виде строчной переменной), задающей правую часть системы дифференциальных уравнений. Уравнения должны быть записаны в нормальной форме

u' = ODEFUN(T, Y),

где u' - вычисляемый вектор-столбец производных;
TSPAN= [T0 TFINAL] - вектор, задающий интервал изменения независимой переменной; T0 - начальная точка;

TFINAL - последнее значение аргумента, при котором завершается расчёт;
Y0 - вектор начальных значений зависимых переменных.

Выходные параметры ode45( ):

T - вектор, содержащий отсчёты аргумента в точках решения;

Y - массив, содержащий вычисленные значения u и u' в точках, соответствующих отсчетам независимой переменной в T.

Требования к точности и другие параметры численного решения задаются в MatLab по умолчанию. Изменить эти настройки позволяет дополнительный аргумент OPTIONS.

Пример 6.5.6-5. Решить дифференциальное уравнение второго порядка,

описывающее колебания в нелинейной системе (например, автогенераторе), известное как уравнение Ван-дер-Поля:

u" + (u² - b) u' + u = 0,

где u, u' и u" - функция, её первая и вторая производные по времени t, b - произвольный параметр. Параметр b определяет потери в системе, а слагаемое u² в скобках - её нелинейные свойства (например, рабочие характеристики активного элемента автогенератора).

Данное дифференциальное уравнение второго порядка можно привести к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка

y1' = ( 1 – (y2)² ) y1 - y2,
y2' = y1,

где y1=u' и y2=u, а параметр b принят равным единице.

Для выполнения расчётов воспользуемся внешней функцией vdp1( ), записанной в m-файле vdp1.m. Эта функция, вычисляющая правую часть уравнения Ван-дер-Поля, имеет следующий вид:

-Пример_6_5_6_5

function dydt = vdp1(t, y) dydt = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]

Для получения решения дифференциального уравнения, описываемого функцией vdp1( ) на интервале 0 < t < 20, при начальных условиях y1 = u' = 2 и y2 = u = 0 следует ввести в MatLab следующую строку:

Пример 6.5.6-5

[t, y]=ode45(@vdp1, [0 20], [2 0]).

На рисунке представлены рассчитанные функцией ode45 и построенные с помощью команды plot зависимости y2(t) ≡ u(t) и y1(t) ≡ u'(t).

График на рисунке показывает, что с течением времени колебания в системе нарастают. Однако в дальнейшем рост амплитуды колебаний замедляется, и система переходит в устойчивое состояние, описываемое представленными фазовыми кривыми y2 (y1). Кроме рассмотренной функции ode45( ) MatLab содержит ряд других функций для решения задачи Коши - ode23( ), ode113( ), ode15s( ), ode23s( ), ode23t( ), ode23tb( ).

Пример 6.5.6-6. Решить систему уравнений

с начальными условиями

Пример 6.5.6-6

Function F=FF(t, x) F=[-4*x(1)-13*x(2)+exp(t); x(1)]; end %Формирование вектора начальных условий X0=[1; -1]; interval=[0.25 2]; [T, X]=ode45(@FF, interval, X0); plot(T, X(:, 1), ': ', T, X(:, 2), '-'); legend('y', 'x-Решение'); grid on;