Технология решения задач одномерной оптимизации средствами математических пакетов

 

Технология решения задач одномерной оптимизации средствами MathCad

 

Пакет Mathcad с помощью встроенных функций решает задачу нахождения только локального экстремума. Для нахождения глобального экстремума необходимо вычислить все локальные экстремумы и выбрать среди них наибольший (наименьший). Отметим несколько подходов в поиске экстремума.

Для непрерывной функции от одной переменной можно использовать равенство нулю её производной, и путем решения полученного уравнения получить точки экстремумов. Уравнение можно решить с использованием встроенной функции root. При этом следует принимать во внимание знак второй производной. Если на отрезке, содержащем точку экстремума, , то это локальный минимум, а если , то это локальный максимум.

 

Пример 6.6.5-1. Найти глобальный минимум функции .

 

 

Дальнейшее исследование показало, что глобальным минимумом является точка х = -3.679.

 

Для непрерывных функций также удобно пользоваться такими встроенными функциями как Maximize(y, x) и Minimize(y, x). Здесь ключевое слово Given можно опускать, поскольку оно необходимо лишь при наличии ограничений.

 

Пример 6.6.5-2. Найти минимум и максимум функции y(x)=2x³-16x+5.

 

 

Для ступенчатой функции или функции с переломами можно использовать встроенную функцию Minеrr( ). Предварительно по графику выбирается число, заведомо большее (или меньшее) экстремального значения функции, и записывается в качестве ограничения в блоке Given. Функция Minеrr( ) возвращает значение аргумента, при котором расхождение между заданным числом и значением функции минимально.

 

Пример 6.6.5-3. Найти минимум и максимум ступенчатой функции.

 

 

Пример 6.6.5-4. Найти минимум функции одной переменной.

Пример поиска минимума функции одной переменной

Технология решения задач одномерной оптимизации средствами MatLab

 

Пакет MatLab, так же как и пакет MathCAD, с помощью встроенных функций решает задачу нахождения только локального экстремума. Для нахождения глобального экстремума необходимо вычислить все локальные экстремумы и выбрать среди них наибольший (наименьший).

В MatLab поиск локального минимума осуществляет функция:

 

[x, y]=fminbnd(name, a, b, [, options]),

где name – имя m -функции, вычисляющей значение f(x);

a, b – границы интервала, на котором осуществляется поиск минимума;

Options – параметры, управляющие ходом решения;

x, y – координаты точки, в которой достигается минимум функции на заданном интервале.

Пример 6.6.5-5. Найти локальные экстремумы функции
f(x)=x⁴- 0.5x³-28x²+140.

 

Пример 6.6.5-5

% M – функция, вычисляющая f(x) function y=ext(x) y=x.^4-0.5*x.^3-28*x.^2+140; end %------------------------------------------ %Построение графика > > x=-5: 0.1: 6; > > y=ext(x); > > plot(x, y, '-k') > [x, y]=fminbnd(@ext, -4, -2) x = -3.5589 y = -31.6817 > > [x, y]=fminbnd(@ext, -2, 2) x = 1.9999 y = 40.0054 > > [x, y]=fminbnd(@ext, 2, 4) x = 3.9339 y = -84.2624 > > [x, y]=fminbnd(@ext, -6, 6) x = 3.9339 y = -84.2624 > >

 

Пример 6.6.5-6. Найти минимальное значение функции f(x)=24–2x /3+x²/ 30 на отрезке [5; 20].

 

Пример 6.6.5-6

x = 5.0: 0.01: 20.0; y = 24 – 2 * x./3 + x.^2 / 30; plot(x, y); grid on > > [x, y] = fminbnd ( ' (24.0 – 2* x/3 + x.^2/30) ', 5.0, 20.0) > > х 10.0000 > > у 20.6667

 

6.6.6. Тестовые задания по теме
«Одномерная оптимизация»

1. Оптимальное значение функции – это

1) наилучшее

2) наименьшее

3) наибольшее

4) в списке нет правильного ответа

 

2. Локальный минимум – это

1) один из минимумов функции в области допустимых значений

2) наименьшее значение функции в некоторой окрестности

3) наименьший из минимумов в области допустимых значений

4) в списке нет правильного ответа

 

3. Глобальный минимум – это

1) один из минимумов функции в области допустимых значений

2) наименьшее значение функции в некоторой окрестности

3) наименьший из минимумов в области допустимых значений

4) в списке нет правильного ответа

 

Глобальный минимум является

1) наибольшим из локальных

2) первым по порядку из локальных

3) в списке нет правильного ответа

4) наименьшим из локальных

 

5. Необходимым условием существования минимума функции F(x) на отрезке [a; b] является

1)

2)

3)

4) в списке нет правильного ответа

 

6. В методах одномерной оптимизации при переходе к следующей итерации часть отрезка [a; b] можно отбросить, потому что

1) в отброшенной части функция уменьшается

2) на отрезке [a; b] целевая функция унимодальная

3) отбрасывается часть отрезка, содержащего большие значения функции

4) производная монотонно возрастает

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: