Технология решения задач аппроксимации функций средствами MatLab

 

Пакет MatLab содержит несколько функции для аппроксимации экспериментальных данных как в воде полиномов, так и в виде сплайнов.

 

Пример 6.7.3-4. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, многочленом по МНК.

В этом примере рассмотрено использование функции p=polyfit(x, y, n), где x, y – соответственно векторы значений аргументов и функции, n – порядок аппроксимирующего полинома, а p – полученный в результате вектор коэффициентов аппроксимирующего полинома длинной n+1.

 

> > x=[1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0]; > > x x = 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 > > y=[-1.15, -0.506, 0.236, 0.88, 1.256]; > > y y = -1.1500 -0.5060 0.2360 0.8800 1.2560 > > % > > % > > p1=polyfit(x, y, 1); > > p1 p1 = 3.0990 -4.8152 > > y1=polyval(p1, x); > > y1 y1 = -1.0964 -0.4766 0.1432 0.7630 1.3828 > > cko1=sqrt(1/5*sum((y-y1).^2)); > > cko1 cko1 = 0.0918 > > plot(x, y, 'ko', x, y1, 'r-')   > > p2=polyfit(x, y, 2); > > p2 p2 = -1.1321 6.7219 -7.6229 > > y2=polyval(p2, x); > > y2 y2 = -1.1870 -0.4313 0.2338 0.8083 1.2922 > > cko2=sqrt(1/5*sum((y-y2).^2)); > > cko2 cko2 = 0.0518 > > plot(x, y, 'ko', x, y2, 'r-')

 

Пример 6.7.3-5. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, многочленом по МНК.

Пример 6.7.3-5

> > % Функция задана таблицей значений. Аппроксимировать её по МНК > > % Введём функцию (x, f(x)) > > x=[0, 1.13, 1.5, 2.25, 3]; > > y=[4.57, 0.68, 0.39, -1.9, -4.4]; > > % Вычислим приближения с различной степенью > > p0 = polyfit(x, y, 0); > > p1 = polyfit(x, y, 1); > > p2 = polyfit(x, y, 2); > > p3 = polyfit(x, y, 3); > > % Вычислим ошибки (СКО) в квадрате > > y0 = polyval(p0, x); > > y1 = polyval(p1, x); > > y2 = polyval(p2, x); > > y3 = polyval(p3, x); > > err0 = 1 / (4 - 0) * sum((y - y0).^ 2); > > err1 = 1 / (4 - 1) * sum((y - y1).^ 2); > > err2 = 1 / (4 - 2) * sum((y - y2).^ 2); > > err3 = 1 / (4 - 3) * sum((y - y3).^ 2); > > % Сравнивая, видим, что лучшую точность даёт n = 1 > > err0 = 11.0956 > > err1 = 0.1308 > > err2 = 0.1962 > > err3 = 0.1803 > >

Пример 6.7.3-5. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, полиномами различной степени по МНК.

> > x=[0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 1.2] x = 0.1000 0.2000 0.4000 0.5000 0.6000 0.8000 1.2000 > > y=[-3.5 -4.8 -2.1 0.2 0.9 2.3 3.7] y = -3.5000 -4.8000 -2.1000 0.2000 0.9000 2.3000 3.7000 > > plot(x, y, 'ko') > > hold on > > p4=polyfit(x, y, 4); > > p5=polyfit(x, y, 5); > > p6=polyfit(x, y, 6); > > > > t=0.1: 0.01: 1.2; > > p4=polyval(p4, t); > > p5=polyval(p5, t); > > p6=polyval(p6, t); > > plot(t, p4, 'k-', t, p5, 'k: ', t, p6, 'k-.') > > legend('Табличные данные', 'n=4', 'n=5', 'n=6', 0) > >

6.7.4. Тестовые задания по теме
«Аппроксимация функций»

 

Аппроксимация – это

1) получение функции более простого вида, описывающей исходную с достаточной степенью точности

2) частный случай интерполяции

3) замена исходной функции функцией другого вида

4) в списке нет правильного ответа

 

Функция, приближенно описывающая таблично заданную функцию, это

1) интерполирующая функция

2) аппроксимирующая функция

3) алгебраическая функция

4) интегрирующая функция

 

Полином, построенный по таблично заданной функции, обеспечивающий полное совпадение в используемых для его построения точках

1) алгебраический полином

2) аппроксимирующий

3) интерполирующий полином

4) интегрирующий полином

 

Для построения аппроксимирующего многочлена 2-й степени должно быть как минимум

1) два узла

2) один узел

3) пять узлов

4) три узла

 

Система нормальных уравнений содержит два уравнения, если проводится аппроксимация

1) полиномом 1-й степени

2) полиномом 3-й степени

3) полиномом 2-й степени

4) полиномом четной степени

 

Критерием близости аппроксимируемой и аппроксимирующей функций при использовании метода наименьших квадратов служит

1) минимум суммы квадратов отклонений аппроксимируемой и аппроксимирующей функций

2) минимум суммы квадратов аппроксимирующей функции

3) минимум суммы квадратов значений аргументов в таблице

4) в списке нет правильного ответа

 

Термином, используемым при решении задачи аппроксимации, является

1) невязка

2) уравнение

3) градиент

4) оптимум

Аппроксимировать функцию, заданную таблицей из 20-ти точек, многочленом квадратичной функцией

1) нельзя

2) можно

3) можно только полиномом 19-й степени

4) в списке нет правильного ответа

 

В методе наименьших квадратов параметры аппроксимирующей функции определяются из условия

1) минимума максимального отклонения аппроксимирующей функции от аппроксимируемой на интервале приближения

2) минимума суммы квадратов отклонений аппроксимирующей функции от аппроксимируемой на конечном множестве точек из интервала приближения

3) равенства аппроксимирующей и аппроксимируемой функций в конечном множестве точек из интервала приближения

4) минимума среднего значения модулей отклонений аппроксимирующей и аппроксимируемой функций на конечном множестве точек из интервала приближения

5) в списке нет правильного ответа

 

С увеличением количества узлов аппроксимации точность аппроксимации

1) уменьшается

2) не меняется

3) увеличивается

4) усложняется

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться: