Технология решения задач многомерной оптимизации средствами MatLab

 

Вычисление безусловного экстремума многих переменных y=f(x₁, x₂, …, x_n) в MatLab осуществляется командой

 

[x, y]=fminsearch(name, x0 [, option]),

 

где name - имя функции, вычисляющей значение y=f(x₁, x₂, …, x_n), зависящей от переменных;

X0 - вектор из n элементов, содержащий координаты точки начального приближения;

option - параметры, управляющие ходом решения;

x - вектор из n элементов, содержащий координаты точки, в которой достигается минимум функции;

y - значение функции в точке с координатами.

Вычисление условного экстремума многих переменных y=f(x₁, x₂, …, x_n) существляется командой

[x, y]=fmincon(name, x0, A, b[, option]),

 

где A – матрица, а b – вектор для задания условий ограничения.

Остальные параметры имеют тот же смысл, что и в предыдущей функции

Пример 6.8.6-6. Найти и вывести координаты и значение минимума функции двух переменных f(x, y) = (x² + y² – 3)² + (x² + y² – 2x – 3)² + 1, если начальная точка поиска имеет координаты М₀(1, 1).

Анализ функции показывает, что min f = 1, x = 0, .

Строим трехмерный график этой функции, чтобы убедиться в наличии минимума. Возьмем интервал х є [-1; 1]; y є [1; 3].

 

Пример 6.8.6-6

> > [X, Y] = meshgrid ( [-1: 1, 1: 3] ); > > Z=(X.^2+Y.^2-3).^2+(X.^2+Y.^2-2*X-3).^2+1; > > meshc(X, Y, Z); > > %После построения трехмерного графика выполняется поиск минимума. > > [xmin, minf] = fminsearch ( @ Z, [1; 1] ) xmin = - 0.0000 1.7320 minf = 1.0000 > >

Пример 6.8.6-7. Рассмотрим кубическую параболу y(x)=(x-2)(x-4)(x-6). Найти минимальное значение функции на отрезке [4; 6].

Определим параболу как m-файл cub246.m и вызовем процедуру fmincon( ) со следующими параметрами:

 

Пример 6.8.6-7

> > [x, fx]=fmincon(@cub246, 4.1, [], [], [], [], 4, 6) x = 5.1547 fx =-3.0792 > >

 

Пример 6.8.6-8. Необходимо найти минимум функции если область определения есть прямоугольник ([-4; 4], [-4; 4]).

Фактически, область определения можно записать в виде системы неравенств:

.

 

Пример 6.8.6-8

> > a=[-4; -4]; > > b=[4; 4]; > > % вызвать процедуру fmincon со следующим синтаксисом: > > [x, fmin]=fmincon(@parab, [-2; -2], [], [], [], [], a, b) x = 1.0e-007 * -0.1215 -0.1215 fmin = 3.0000 > >

При таком вызове процедуры fmincon( ) мы нашли точку локального экстремума в области, заданной прямоугольником ([-4; 4], [-4; 4]).

Пример 6.8.6-9. Найдем точку условного экстремума, если координаты x₁ и x₂, связаны отношением .

В процедуре fmincon( ) это понимается как произведение матриц .

Пример 6.8.6-9

> > [x, fx]=fmincon(@parab, [2; 2], [], [], [1 1], [4], [-4; -4], [4; 4]) x = 2.0000 2.0000 fx =

Пример 6.8.6-10. Решить похожую по смыслу задачу, но отличающуюся по способу решения. Рассмотрим эту же функцию .

Для нашей задачи более подходящим является следующий вид: . Данный параболоид пересекает плоскость . На линии пересечения плоскости и параболоида найти точку, наиболее близкую к плоскости .

Составим файл-функцию func1.m:

 

Пример 6.8.6-10

function f=func1(x) f=x(3); Написать файл-функцию условий uslfunc1.m, которые сформулированы выше: function [c, ceq, gc, gceq]=uslfunc1(x) c=[]; ceq=[3+x(1)^2+x(2)^2-x(3); x(1)+x(2)+x(3)-10]; if nargout> 2 gc=[]; gceq=[2*x(1)+2*x(2)-1; 3]; end;

 

Матрица C - вектор неравенств c(x)£ 0. Неравенств у нас не имеется, поэтому матрица С является пустой. Матрица сеq - вектор равенств, который, по сути, описывает наш параболоид и секущую плоскость. Уравнение секущей плоскости в матричном виде:

.

Итерационный процесс начнем с точки (2; 2; 2).

 

Пример 6.8.6-10

> > [x, fx]=fmincon(@func1, [2; 2; 2], [], [], [], [], [], [],... @uslfunc1, optimset('LargeScale', 'off', 'Display', 'off')) x = 1.4365 1.4365 7.1270 > >

6.8.7. Тестовые задания по теме «Многомерная оптимизация»

 

По количеству параметров задачи оптимизации делятся на

1) одномерные и многомерные

2) одномерные и дискретные

3) дискретные и непрерывные

4) никак не делятся

 

Функция, для которой решается задача оптимизации, называется

1) целевой

2) оптимальной

3) векторной

4) дискретной

 

Если на значения параметров оптимизации существуют ограничения, то задача оптимизации называется

1) условной

2) ограниченной

3) сложной

4) векторной

 

Градиент – это

1) вектор, состоящий из вторых частных производных целевой функции

2) вектор, позволяющий определить направление убывания функции

3) вектор, состоящий из первых частных производных целевой функции

4) в списке нет правильного ответа

 

Антиградиент направлен

1) в сторону наискорейшего возрастания целевой функции

2) в сторону наискорейшего изменения целевой функции

3) в сторону наискорейшего убывания целевой функции

4) в списке нет правильного ответа

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться: