Получение передаточной функции в терминах пространства состояний

Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение её состояний.

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями.

Для случая линейной системы c входами, {\displaystyle q} выходами и {\displaystyle n} переменными состояния описание имеет вид:

{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}

{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}

{\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}

Где

· {\displaystyle x(\cdot )} — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы

·

· {\displaystyle y(\cdot )} — вектор выхода,

· {\displaystyle u(\cdot )} — вектор управления,

· {\displaystyle A(\cdot )} — матрица системы,

· {\displaystyle B(\cdot )} — матрица управления,

· {\displaystyle C(\cdot )} — матрица выхода,

· {\displaystyle D(\cdot )} — матрица прямой связи.

Размерности матриц и векторов

· - матрица

· - матрица

· - матрица

· - матрица

 

 

Таким образом, для нашей цепи необходимо составить систему дифференциальных уравнений первого порядка, которые описывали бы её.

В данной цепи изменение двух параметров описывается дифференциальными уравнениями: это ток протекающий через индуктивность и напряжение на конденсаторе . Эти два параметра и примем за параметры системы .

 

Используя закономерности электротехники, применяемые ранее для данной цепи запишем.

При этом

Сделаем следующие замены

Система примет следующий вид

Далее выразим через параметры цепи

По 1-му закону Кирхгофа

По закону Ома

Подставляем в ()

Получаем

Подставляем выражение для в систему уравнений

Составим уравнение описывающее выход объекта:

Таким образом, система уравнений, описывающая данную цепочку в терминах пространства состояний, будет иметь следующий вид с учетом нулевых коэффициентов:

Далее по данной системе уравнений составляем матрицы

Для проверки воспользуемся формулой перехода от записи в пространстве состояния к передаточной функции, предварительно подставив значение параметров :

Где, – единичная матрица, совпадающая по размеру с матрицей A, – комплексная переменная, – матрицы описания объекта в пространстве состояния

В результате получаем такую же передаточную функцию как в разделе 2

Получить запись в пространстве состояния можно и другим способом. Сейчас мы получили запись в пространстве состояний основываясь на известных уравнениях электротехники, изначально строя запись в соответствии с стандартной записью

{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}

{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}

Так же запись в пространстве состояний можно получить, если уже имеем дифференциальное уравнение, которое описывает наш объект. В данном случае у нас данное уравнение получено в разделе 1.

Далее рассмотрим общую методику на случай линейной системы с постоянными параметрами одним входом и одним выходом описываемой уравнением

Данное уравнение приведено к виду что бы коэффициент перед старшей производной в левой части был равен 1.

Далее в сокращенной форме представим получение записи в пространстве состояний. Более подробное объяснение можно получить в соответствующей литературе.

Путем замен понижаем порядок данного дифференциального уравнения, получая при этом систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Делаем следующие замены

, , …

 

Из первоначального дифференциального уравнения выражаем производную высшего порядка, относящуюся к выходной переменной

 

На основании произведенных замен составляем систему дифференциальных уравнений первого порядка

………….

 

 

Из данной системы дифференциальных уравнений получим матрицу A, состоящую из коэффициентов перед неизвестными

 

 

Далее необходимо найти коэффициенты , которые вычисляются по следующим формулам

……………………………….

Из этих коэффициентов формируем вектор B

Уравнение выхода

{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}

в нашем случае запишется следующим образом

Таким образом, вектор , а вектор C запишется в следующем виде

Количество элементов в векторе С равно n

Получим запись в пространстве состояний для нашего объекта

 

 

Делаем следующие замены

,

 

Выражаем из нашего уравнения вторую производную, делаем соответствующие замены и записываем систему дифференциальных уравнений первого порядка

Уравнение выхода

Получаем матрицу A

Вектор C

 

Произведем расчёт коэффициентов

Таким образом, вектор B запишется как

Вектор

Так же сделаем проверку и воспользуемся формулой перехода от записи в пространстве состояния к передаточной функции, предварительно подставив значение параметров :

В результате снова получаем такую же передаточную функцию как в разделе 2

Стоит отметить, что разными способами мы получили разные записи в пространстве состояний, при этом передаточная функция получается одинаковой в обоих случаях. Одной передаточной функции может соответствовать множество записей в пространстве состоянии, но записи в пространстве состояний соответствует единственная передаточная функция.

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться: