Интегрирование иррациональностей.

Задача 1.Вычислить интеграл .

Решение. Здесь есть корни порядка 2 и 3. Наименьшее общее кратное, НОК(2, 3) = 6. Поэтому замена . При этом,

, , ,

Тогда = = =

= .

Сделаем обратную замену и получим:

Ответ. .

Задача 2. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь также корни порядка 2 и 3, НОК(2, 3) = 6.

Замена . При этом, , , , .

= = = =

= =

Во втором интеграле надо разложить на простейшие дроби.

, откуда получаем

, то есть , .

Тогда = =

. После обратной замены:

Ответ. .

Задача 3. Вычислить интеграл .

Решение. Сначала сделаем замену . При этом , значит, . Тогда = .

Но внешний корень ещё не устранили, поэтому сделаем 2-ю замену: . Тогда , , , соответственно:

= = .

После второй замены, уже получили интеграл от степенных функций!

= .

Сделаем обратную замену:

= , и после обратной замены:

Ответ. .

Задача 4.Вычислить интеграл .

Решение 1.

Обозначим как было в теории для случая .

Тогда

. Тогда = = .

Подставляем в интеграл. = = =

= . Первый это просто арктангенс, а второй раскрываем по рекурсивной формуле, это в точности как пример № 9 из позапрошлой практики (практ. № 3).

Напомним, формула для связи между номерами 2 и 1 была в таком виде: . и ответ там был такой:

= . Итак, = = , делаем обратную замену

= =

= .

Ответ. .

Решение 2 (с помощью тригонометрии, разобрать дома).

В интеграле обозначим , при этом . При этом, правда, второй корень усложняется:

= = .

Необходима 2-я замена, чтобы устранить корень .

У нас здесь . Вводим замену . Тогда .

Итак, = = .

Теперь уже просто по формуле понижения степени.

= = = =

= .

Обратные замены: сначала обращаем обратно вторую замену, которыу сделали последней: если то .

Далее, обращаем 1-ю замену: , тогда в итоге:

Ответ. .

Проверка. =

= = .

Замечание.Два ответа разными методами получились в разных, но на самом деле эквивалентных формах записи. Дело в том, что угол это то же самое, что . Рассмотрим прямоугольный треугольник:

Если синус равен , то при этом тангенс как раз и равен по теореме Пифагора.

Интегрирование тригонометрических функций.

Задача 5. Вычислить интеграл .

Решение. Функция не обладает свойствами чётности или нечётности, то есть, сменив знак синуса или косинуса, мы не получим, что знак минус будет у всей дроби. Поэтому применяем универсальную тригонометрическую подстановку: . Напомним, что при этом

, , , .

Итак, сделаем замену:

= = =

= = .

Теперь сделаем обратную замену.

Ответ. = .

Задача 6. Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем замену .

= = вот и свелось к рациональной дроби, и дальше для t можем действовать в рамках прошлой темы «рациональные дроби».

= = = . Приводим к общему знаменателю:

= , далее ,

, отсюда следует .

= =

это можно после обратной замены и применения свойств логарифмов, записать так: .

Ответ. .

Задача 7. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь, как и в прошлом примере, функция нечётная относительно косинуса, замена ,

, , .

Однако в этом примере квадратные корни не сокращаются, а наоборот, умножаются, ведь косинус теперь не в числителе, а в знаменателе: .

Но всё равно, будет чётная степень корня: .

Итак, , что равно = .

Теперь мы можем воспользоваться тем разложением, которое получали для такого случая в теме «рациональные дроби» на прошлой практике, см. задачу, где оба корня знаменателя кратные.

Курс специально построен так, чтобы использовать некоторые коэффициенты из старых примеров и не искать их здесь повторно.

Разложение было такое: .

После приведения к общему знаменателю и решения системы уравнений, там получалось , , , .

Итак, = =

= =

= .

Сделаем обратную замену. .

Ответ. .

Задача 8. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь нечётная степень синуса, применяем замену . Тогда = = =

= = = .

Ответ. .

Задача 9. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь суммарная степень чётная, то есть, если сменить знак перед sin и cos, то знак сменится 2 раза, и останется «+». Поэтому надо применить замену . Тогда (см. в лекции):