Ошибки при анализе детерминации

Одна из таких ошибок называется «недостаточное основание». Данная ошибка — результат нарушения требований принципа достаточного основания, в соответствии с которыми для принятия некоторого высказывания необходимо привести другие высказывания, притом истинные, из которых рассматриваемое высказывание логически следует. Чаще всего при этой ошибке в качестве основания приводятся истинные высказывания, из которых последнее не следует.

Ошибка недостаточного основания часто сопутствует ошибке « ложного следа». Она случается при отыскании необходимых и достаточных оснований. Бывает так, что условия, которые являются необходимыми или достаточными, оказываются за рамками рассматриваемых. По тем или иным соображениям исследователь может быть преднамеренно направлен на ложный след, и приходится тратить немало усилий, прежде чем ошибка обнаружится. Одна из местных газет как-то сообщила об остром отравлении рабочих строительной организации. Диагносту они дружно заявили, что причина этой неприятности — съеденная во время обеда тюлька. Это была попытка направить диагноста по ложному следу, поскольку они не признались, что предварительно распили бутылку низкокачественного импортного спирта.

Еще одна ошибка – « после этого, значит, по причине этого» (лат. Post hoc, ergo propter hoc). Источник этой ошибки — смешение причинно-следственной связи с простой последовательностью во времени. Ясно, что причина должна предшествовать следствию или совершаться вместе с ним, но наличие факта, свидетельствующего, что некоторое событие произошло после другого или вместе с ним, не означает, что второе есть причина первого. В наши дни, например, продолжается острая идейная борьба между носителями противоположных взглядов по многим вопросам истории нашей страны. Крайне левые, в частности, защищают тезис о том, что причины победы советского народа в Великой Отечественной войне следует искать в чрезвычайных мерах по созданию промышленности накануне войны, коллективизации сельского хозяйства и даже в руководстве страной со стороны " вождя всех времен и народов" Сталина. Крайне правые радикалы заостряют внимание на наших неудачах, видя их причины в октябрьском перевороте и приходе к власти большевиков. Очевидно, оба этих подхода страдают односторонностью и являются всего лишь идеологическими штампами.

Наконец, отметим ошибку, которая называется «смешение причины и следствия». Эта ошибка - постоянный спутник познания сложных систем. К таким системам относится, в частности, человеческое общество. В XVIII- XIX в.в. многие философы, историки, юристы в качестве фактора, определяющего частную собственность, изображали политическую власть, в то время как в действительности дело обстоит как раз наоборот. Некоторые современные политики источник выхода из экономического кризиса видят в прочной финансовой системе, в том время как плачевное состояние последней есть всего лишь симптом кризиса в производстве.

Упражнения:

1. Сформулируйте высказывание «Если в водном растворе лакмуса присутствует кислота, то он приобретает красный цвет»:

а) с термином «достаточно»;

б) с термином «необходимо».

2. Запишите следующее высказывание на языке логики высказываний без терминов «достаточно» и «необходимо»: «Необходимое и достаточное условие счастья шейха состоит в том, чтобы иметь вино, женщин и услаждать свой слух пением».

3. Достаточно ли для доказательства теоремы вида A®B доказать теорему вида: а) Ø A®Ø B; 6) Ø B®Ø A.

4. Докажите, что если F₁ является достаточным условием G, то и F₁Ù F₂ - также достаточное условие G.

5. Докажите, что если F₁ является необходимым условием G, то и F₁Ú F₂ - также необходимое условие G.

6. В приведенных ниже примерах вместо пропусков вставьте выражения «достаточное и необходимое», «необходимое, но не достаточное», «достаточное, но не необходимое», «ни необходимое, ни достаточное» - так, чтобы получить истинные высказывания: а) Ложность антецедента -... условие истинности импликации; б) Истинность консеквента -... условие истинности импликации; в) Ложность консеквента -... условие ложности импликации; г) Истинность антецедента и ложность консеквента -... условие ложности импликации; д) Ложность хотя бы одного из конъюнктивных членов - … условие ложности конъюнкции; е) Истинность одного из членов эквиваленции -... условие истинности этого высказывания; ж) Истинность одного и ложность другого члена эквиваленции -... условие ложности этого высказывания.

7. Будет ли соблюдено требование закона тождества, если высказывание " Если наши предпосылки верны и если мы правильно применяем к ним законы мышления, то результат должен соответствовать действительности" (Ф. Энгельс. Диалектика природы) изложить следующим образом: " Для соответствия результата действительности необходимо, чтобы наши предпосылки были верны и чтобы мы правильно применили к ним законы мышления"?

8. Допустим, что листья ваших домашних растений завяли (G). Можно предположить, что возможные необходимые и достаточные условия этого явления следующие:

F₁ - недостаток воды;

F₂ - недостаток света;

F₃ - слишком высокая температура в комнате;

F₄ - слишком низкая температура в комнате.

Какое наблюдение исключило бы F₄ как:

а) возможное достаточное условие увядания?

б) возможное необходимое условие увядания?

9. Ферментация фруктового сока произошла при таких обстоятельствах, как доступ света и воздуха, температура 20-30°С. Устранение воздействия света и температурные изменения не повлияли на процесс ферментации сока. Как можно квалифицировать указанные обстоятельства с точки зрения их достаточности и необходимости?

10. Посеянные зерна пшеницы не всходили до тех пор, пока не прошел дождь, хотя были в наличии и другие факторы, при которых пшеница обычно всходила: температура свыше 20°С, воздух, солнце. Какое из условий в данном случае а) является достаточным? б) необходимым?

11. Проанализируйте случай из жизни известного историка, автора ряда работ о Л.Н.Толстом, Игоре Владимировиче Ильинском. В газете «Правда» от 26 мая 1993г. этот случай описан так: “Его (Ильинского – В.Б.) арестовывали восемь раз. Трижды при царе и пять — при большевиках. При царе как революционера, а потом как “злостную контру”.

...В ГПУ посыпались обращения от людей, кто хорошо знал Ильинского. С ходатайством об освобождении из тюрьмы Ильинского обращается в ГПУ и жена А.М.Горького — Е.Пешкова, на письме которой наложена резолюция В.Р.Менжинского:

“т.Артузову А.Х.

К делу Ильинского — разберитесь. 26.05”.

Начальник КРО ГПУ адресовал этот документ своему помощнику:

“т. Пузицкому С.В.

Прошу вместе с т. Борисовым срочно доложить имеющиеся на Ильинского И.В. материалы и Ваши предложения по ним. 27.V. 22 г.”

Ознакомившись с материалами дела № 14730, Артузов, обращаясь к пришедшему вместе с Пузицким на доклад Борисову, спросил:

— Вы считаете, что у вас были основания заводить на него такое дело?

— Да, были. Он объективно не может внушать нам доверие.

— Кому это нам?

— Мне и помощнику начальника отдела.

— Что именно не может вам внушать доверия к личности Ильинского?

— А то, что он — дворянин, а мать — тульская помещица. К тому же Ильинский знаком был с графом Толстым и его семьей. Он же явный враг советской власти! ”.

12. Какие ошибки допущены в следующих ситуациях?

а) Каждый раз в начале весны шаман племени в зеленом облачении совершает ритуальный танец вокруг своей деревни. Приблизительно через неделю поля и леса покрываются зеленью. Отсюда делают заключение, что появление зелени вызвано ритуальным танцем шамана.

б) При возвращении из исследовательской лаборатории одна крыса хвасталась перед другой:

- Мне удалось навязать профессору свои условия. - Всякий раз, когда я пробегаю лабиринт, он дает мне кусок мяса.

в) Почтмейстер: Объясните, господа, что, какой чиновник едет?

Городничий: А разве вы не слышали?

Почтмейстер: Слышал от Петра Ивановича Бобчинского. Он только что был у меня в почтовой конторе.

Городничий: Ну, и что? Как вы думаете об этом?

Почтмейстер: А что я думаю? война с турками будет.

Аммос Федорович: В одно слово! Я сам то же думал.

Городничий: Да, оба пальцем в небо попали!

Почтмейстер: Право, война с турками. Это все француз гадит.

Городничий: Какая война с турками! Просто вам плохо будет, а не туркам. Это уже известно: у меня письмо.

Почтмейстер: А если так, то не будет войны с турками.

(Н. Гоголь. Ревизор)

г) Некий школьник взялся доказать, что органы слуха у пауков находятся в ногах. Положив пойманного паука на стол, он крикнул: «Бегом! ». Паук побежал. Затем юный экспериментатор оторвал пауку ноги и, снова положив его на стол, скомандовал: «Бегом! ». Паук остался неподвижен. «Вот видите - заявил торжествующе мальчик, - стоило пауку оторвать ноги, как он оглох».

ИМЕНА

Рассматривая вопросы логики высказываний, мы обращали внимание на то, что для анализа соответствующих рассуждений не требуется выявления внутренней структуры простых высказываний. В качестве наиболее элементарных единиц в логике высказываний используются целые высказывания, точнее, их схемы построения.

Но существуют такие рассуждения, для анализа которых средств логики высказываний недостаточно. Например, при замене отдельных высказываний на переменные и применении способов анализа, характерных для логики высказываний, невозможно установить правильность вывода:

 

 

Все прямоугольники – параллелограммы.

Все квадраты – прямоугольники.

------------------------------------------------------

Все квадраты – параллелограммы.

В самом деле, схема (pÙ q)®r, отражающая структуру данного рассуждения средствами логики высказываний, не является логическим законом: если p и q принимают значение «истинно», а r – «ложно», то наша схема, поскольку она – импликация, принимает значение «ложно».

Тем не менее, данное рассуждение является правильным: многократно повторяемый опыт подсказывает нам, что, если класс каких-то предметов Y включен в более широкий класс Z, аX включен в класс Y, то X обязательно будет включен в Z.

Особенность нашего вывода в том, что в нем в связи вступают не только высказывания, но и их части – имена: «прямоугольники», «параллелограммы», «квадраты». Он, таким образом, имеет более сложную логическую структуру, и логика высказываний не в состоянии обеспечить своими средствами его анализ. Разработка более подходящих средств связана с рассмотрением внутренней структуры простых высказываний и исследованием их составляющих. Одним из таких составляющих является имя. Его анализ привел к появлению важного раздела логики – логики имен.

Понятие имени

Имя - выражение языка, обозначающее предмет или множество, совокупность предметов. При этом термин «предмет» понимается в самом широком, обобщенном смысле. Предметы – это вещи («книга», «стол», «дом»), свойства вещей («полезность», «широта», «теплота»), отношения между вещами («отец», «равенство», «расстояние»), действия или процессы («взрыв», «пощечина», «экономическая реформа»), научные идеализации («идеальный газ», «абсолютно черное тело»), продукты фантазии или художественного творчества («летающая тарелка», «русалка», «Андрей Болконский»), знаки вещей, свойств, отношений и т.д. Короче, «предмет» в логике – это все то, что выделяется из внешнего мира благодаря практической и абстрагирующей деятельности человека.

Предметы, мысленно объединяемые в некоторое множество или класс, называются элементами множества (класса). Само множество (совокупность, класс) этих элементов, которые обозначаются данным именем, называется его объемом, или значением. Например, гелий, неон, аргон, криптон, ксенон, радон в своей совокупности составляют объем имени «инертный (благородный) газ»; 1, 2, 3, …, n, … составляют объем имени «натуральное число»; приблизительно 3500 видов млекопитающих составляют объем имени «млекопитающее».

По объему имена делятся на непустые и пустые. Непустое имя – имя, объем которого содержит хотя бы один элемент в пределах данной области рассуждения (или, как иногда говорят, в пределах данного из возможных миров). «Инертный (благородный) газ», «натуральное число», «млекопитающее» – примеры непустых имен (для соответствующих областей рассуждения). Пустые имена в самом общем виде определяются как имена, объем которых не содержит ни одного элемента, относящегося к данной области рассуждения .

Имена, пустые относительно одной области рассуждения (относительно одного из возможных миров), могут быть непустыми относительно другой, и наоборот. Например, имя «русалка» является пустым в нашем действительном мире, но не является таковым в мире русских народных сказок. Имя «гипотенуза» – непустое для области рассуждения, где речь идет о прямоугольных треугольниках, но пустое, если область рассуждения, например, - равносторонние треугольники. Бездумный перенос имен из одной области рассуждения в другую является основным источником порождения бессмысленных выражений.

Непустые имена делятся на единичные и общие. Если в объем имени входит только один предмет, то такое имя называют единичным . Каждое из единичных имен однозначно выделяет единственное именуемое им лицо или событие. Например, «Полярная звезда», «созвездие Большой Медведицы», «северный полюс Земли (географический)» – единичные имена.

Общее имя- это имя, в объем которого входит более одного элемента. Объемы общих имен - соответствующие множества (классы) охватываемых ими предметов. Примерами общих имен являются: «полюс Земли», «планета Солнечной системы», «натуральное число».

Особой разновидностью общих имен являются универсальные имена. Ими фиксируются классы объектов, исследуемых в той или иной области познания (числа, геометрические фигуры, физические тела и т.п.). Имя является универсальным, если в видовой части его содержания фиксируются только такие признаки, которые присущи каждому элементу класса, являющегося областью рассуждения. Такие имена не выделяют никакого вида в пределах рода (универсума), их объем совпадает с родом, являющимся областью рассуждения. «Число» – универсальное имя в области арифметики, «геометрическое место точек» – в области геометрии, «физическое тело» - в области физики.

Различают также имена описательные и собственные. Описательные имена обозначают предметы, указывая их соответствующие признаки (например, «самый крупный населенный пункт Беларуси»). Собственные имена обозначают (именуют) предметы путем непосредственной соотнесенности с ними, никак не характеризуя их (например, «Минск»). Мы, таким образом, видим, что понимание имени в логике отличается от употребления слова «имя» в разговорном языке. Имя в обычном смысле – это всегда или почти всегда собственное имя. Логика придает ему более широкий смысл.

Наконец, важно различать четкие и нечеткие имена. Если имя таково, что относительно любого предмета можно точно, однозначно решить, входит или не входит этот предмет в объем данного имени, то это имя называют четким (точным, определенным) по объему. В противном случае имя считается нечетким (неопределенным, расплывчатым, размытым, неточным) по объему. В ряде случаев существует потребность в переводе имен из разряда нечетких в разряд четких. Например, в обиходе мы без особых последствий оперируем нечетким именем «юноша». Но бывают обстоятельства, когда приходится это имя уточнять, делать четким (например, при проведении спортивных соревнований).

Содержание имени, или его смысл, - это совокупность мыслимых в имени признаков предметов. Под признаком понимается любое свойство, любая характеристика предмета. Признаки, составляющие содержание имени, в своей совокупности присущи каждому предмету, выделяемому и обозначаемому этим именем (т.е. входящему в объем этого имени), и не присущи другим предметам. Например, содержание имени «млекопитающее» представляет собой совокупность признаков, присущих всем 3500 видам, и только им. Эта совокупность фиксируется словосочетанием: «позвоночное животное, которое вскармливает детенышей молоком, вырабатываемым млечными железами, имеет волосяной покров, более или менее постоянную температуру тела, лёгочное дыхание, четырехкамерное сердце».

Имена могут отличаться по содержанию, но иметь один и тот же объем. Например, говоря о планете Венера, в зависимости от обстоятельств можно рассматривать ее как «Вечернюю звезду» или «Утреннюю звезду», выделяя, таким образом, разные признаки одного и того же предмета. Или другой пример. В ряде случаев важно характеризовать А.С. Грибоедова как писателя, автора комедии в стихах «Горе от ума»; иногда – как дипломата, российского посла в Персии, убитого в результате заговора персидских и английских кругов; порой же – как друга декабристов, и т.д. На первый план, таким образом, выступает не все содержание предмета, а тот или иной его признак, который является более важным, пригодным для данного момента. Стало быть, признаки можно разделить на существенные и несущественные - в зависимости от решаемой задачи или контекста рассмотрения: признак, существенный в рамках решения одной задачи, может не оказаться таковым в рамках другой, и наоборот.

Признаки, составляющие содержание имени, могут быть родовыми, видовыми или индивидуальными. Если в пределах какого-то достаточно широкого класса предметов выделяется более узкий класс предметов, то признаки, выделяющие более широкий класс, будут считаться родовыми, а признаки, выделяющие более узкий класс, - видовыми. Например, с помощью признака «населенный пункт, достигший определенной людности (обычно не менее 2-5 тыс. жителей) и выполняющий преимущественно промышленные, транспортные, торговые, культурные и административно-политические функции» выделяется достаточно широкий класс предметов под именем «город». В пределах этого класса можно выделить более узкий класс предметов с помощью признака «расположенный на Днепре». Тогда первый из названных признаков будет родовым, а второй – видовым.

Индивидуальными признаками являются такие, которые однозначно выделяют данный единичный предмет . Например, указав 53°9´ северной широты и 30°3´ восточной долготы, мы приблизительно выделим один единственный предмет – город Могилев. Этот выделяющий признак, характеризуя географические координаты города Могилева, является индивидуальным признаком.

Каждый более узкий класс предметов наряду с собственными, т.е. видовыми признаками обладает также и родовыми признаками. Каждый единичный предмет наряду с собственными, индивидуальными признаками обладает также видовыми и родовыми признаками.

Методологически полезно различать основное содержание имени и его производное содержание. Основным содержанием имени можно называть ту минимальную часть его содержания, из которого в том описании предметной области, к которому относится имя, логически выводимо все остальное содержание имени (которое в таком случае называется производным). Так, содержание имени «квадрат» можно раскрыть с помощью признаков: «фигура плоская, четырехугольная, равносторонняя, равноугольная, ее диагонали равны, взаимноперпедикулярны, делятся точкой пересечения пополам, вокруг этой фигуры можно описать окружность, в нее можно вписать окружность и т.д.». Среди этих признаков основными будут те, которые фиксируются выражением «фигура плоская, четырехугольная, равносторонняя, равноугольная». Остальные будут производными, поскольку их можно вывести из основных по правилам логики, доказав соответствующие теоремы.

Совокупность основного и производного содержаний имени является его полным содержанием.

Завершая характеристику имени, кратко остановимся на его отношении к понятию. Понятие есть мысль, обобщающая предметы в класс по характеризующим эти предметы признакам . Каждому понятию соответствует имя (не обязательно единственное). Одно и то же понятие можно выразить на разных языках. Но не каждое имя выражает понятие.

Образование понятия связано с обобщением, в результате которого происходит выделение соответствующего класса предметов. Многие же имена непосредственно соотносятся с отдельными предметами, лишь называя их, но никак не характеризуя и не обобщая в классы. Таковы имена собственные.

Кроме того, многие имена функционируют на чувственно-предметном уровне познания, в то время как понятие – форма его рационального уровня. Эти имена могут стать выразителями понятий, но лишь после того, как наполнятся соответствующим содержанием. Так, уже в детском садике у ребенка вырабатывается представление о треугольнике, оно закрепляется соответствующим именем, но понятием треугольника ребенок овладевает значительно позже, в старших классах средней школы.

Таким образом, формально-логическая теория имен имеет более общий характер, чем формально-логическая теория понятий.

Упражнения:

1. Какие из следующих имен являются единичными, общими, нулевыми (пустыми):

a) областной центр Белоруссии с населением более 1 млн. чел.;

b) областной центр Белоруссии с населением более 3 млн. чел.;

c) областной центр Белоруссии с населением менее 1 млн. чел.;

d) областной центр Белоруссии с населением менее 100 тыс. чел.; областной центр Белоруссии с населением более 100 тыс. чел.?

2. Существуют ли такие универсумы, для которых имя " празднование Нового года в январе" является пустым? Это же имя не является пустым? Подтвердите ваше мнение примерами.

3. Какие из следующих имен являются четкими, а какие нечеткими: а) перпендикуляр; б) гора; в) столица государства;
г) десятая часть метра; д) молодой писатель; е) художественное произведение; ж) чемпион мира по шахматам; з) веселый нрав;
и) опытный политик; к) ценная бумага, приносящая дивиденды?

4. Установите объем и содержание имен «студент», «город», «натуральное число», «планета солнечной системы», «самое глубокое озеро на земном шаре».

5. Раскройте основное содержание имени «прямоугольный треугольник»?

6. Если треугольник является равносторонним, то является ли для него признак равнобедренности основным?

7. В чем недостатки следующей директивы: «Запрещается торговля спиртными напитками вблизи детских дошкольных учреждений, школ, вузов и так далее»?

Отношения между именами

В зависимости от специфики отношений между содержаниями и объемами имен выделяется несколько видов отношений между ними.

Имена являются сравнимыми между собой, если их содержания имеют общие признаки. Если же в содержании имен нет общих признаков, позволяющих выделить основания для сравнения, то имена являются несравнимыми. Чтобы сравнивать имена, нужно, чтобы они находились, по крайней мере, в рамках одной и той же области рассуждения. Сравнимы, например, трамвай и троллейбус, поскольку тот и другой - транспорт на электрической тяге.

Оперирование несравнимыми именами – не такое уж редкое явление. Оно закрепилось в фольклоре в виде пословиц и поговорок: «Смешивает божий дар с яичницей», «Я ему про Фому, а он мне про Ерему» и пр.

Сравнимые имена делятся на совместимые и несовместимые. Имена считаются совместимыми, если их объемы хотя бы частично совпадают, т.е. эти объемы имеют общие элементы. В противном случае имена несовместимы.

Имеется три вида отношений совместимости: 1) отношение равнообъемности (равнозначности); 2) отношение пересечения (перекрещивания); 3) отношение подчинения.

Равнообъемными (равнозначными) считаются имена, объемы которых полностью совпадают (рис.1). При отношении равнообъемности (равнозначности) каждый предмет, обозначенный именем A, может быть обозначен именем B, и наоборот. Например: «равноугольный ромб» и «равносторонний прямоугольник»; «самый крупный промышленный центр Беларуси» и «самый крупный населенный пункт Беларуси»; «круглый квадрат» и «трехугольный квадрат».

Имена находятся в отношении подчинения, если объем одного полностью включается в объем другого, но не совпадает с ним. При этом включающее имя называется подчиняющим, а включенное – подчиненным (рис.2). Если имя A подчиняется имени B, то каждый предмет, обозначенный именем A, может быть обозначен именем B, но не наоборот. Например, «студент» (подчиненное имя) и «учащийся» (подчиняющее имя); «взятка» (подчиненное имя) и «преступление» (подчиняющее имя).

Пересекающимися (перекрещивающимися) являются такие имена, объемы которых лишь частично входят друг в друга (рис.3). При отношении пересечения лишь некоторые предметы, обозначенные именем A, могут быть обозначены именем B, и наоборот. Например: «студент» и «спортсмен»; «юрист» и «член парламента».

Несовместимость имен проявляется в двух видах: 1) отношение противоречия; 2) отношение внеположности (соподчинения) (рис.4).

Противоречащими называются два несовместимых имени, которые полностью исчерпывают объем третьего, подчиняющего имени, причем одно из них обозначает предметы, которые лишены свойств, входящих в содержание второго имени. Формальным признаком противоречащих имен является то, что если одно из них имеет вид A, то второе – не-A (частица «не» может заменяться синонимом), и ясно, что обозначенное именем A, не может быть обозначенным именем не-A, и наоборот. Характерной особенностью имен, находящихся в отношении противоречия, является то, что два таких имени, исчерпывая по объему весь универсум, исключают возможность третьего объема, находящего между ними (рис.4) (рис.5). Например: «удовлетворительная оценка» и «неудовлетворительная оценка»; «справедливая война» и «несправедливая война»; «грамотный» и «безграмотный».

Внеположными называются несовместимые имена, которые лишь частично исчерпывают объем третьего, подчиняющего имени. В случае наличия двух внеположных имен, например A и B, ни один предмет, обозначенный именем A, не может быть обозначен именем B, и наоборот. Например: «разбой» и «грабеж» (они не исчерпывают объем имени «преступление»); «наземный транспорт» и «водный транспорт» (не исчерпывают объем имени «транспорт»).

Поскольку внеположные имена, не исчерпывая объем третьего имени, подчиняются ему, то они называются также соподчиненными (рис.6).

Частным случаем отношения внеположности является противоположность. Противоположными называют внеположные имена, содержания которых выражают какие-либо крайние характеристики в некотором упорядоченном ряду постепенно меняющихся свойств. Многие пары противоположных имен являются нечеткими по объему (рис.5). Например: «дорогой товар» и «дешевый товар»; «богач» и «бедняк»; «высокорослый» и «низкорослый».

Упражнения:

1. Какие из следующих имен являются совместимыми, какие - нет (попарнo):

a) метр, одна тысячная часть километра;

b) метр, одна тысячная часть метра;

c) метр, часть километра;

d) столица государства; город, не являющийся крупным промышленным центром;

e) город, являющийся столичным; город, не являющийся столичным;

f) капитан, майор;

g) катет, прямоугольный треугольник;

h) черный ворон, черный квадрат;

i) двухэтажный дом, трехэтажный дом;

j) весенний день, солнечный день;

k) измерение, взвешивание;

l) материк, континент;

m) мудрость, глупость?

2. Конкретизируйте отношения совместимости и несовместимости в упр.1.

3. В каких отношениях находятся следующие имена (попарно):

a) гимнаст, спортсмен;

b) гимнаст, не спортсмен;

c) не гимнаст, спортсмен;

d) не гимнаст, не спортсмен;

e) спортсмен, не спортсмен?

4. Какие признаки делают следующие имена противоположными (попарно): а) учитель, ученик; б) деревня, город; в) физический труд, умственный труд; г) раб, рабовладелец; д) Осел, Соловей (из басни И.А. Крылова)?

5. С помощью круговых схем установите отношения между объемами следующих имен:

a) студент, минчанин, славянин, белорус;

b) самый крупный промышленный центр Беларуси; самый крупный населенный пункт Беларуси; город с населением более 1 млн. человек;

c) квадрат, прямоугольник, ромб;

d) железная дорога, средство перевозки грузов, железнодорожное депо, шоссейная дорога;

e) транспортное средство, велосипед, мотоцикл, мотоцикл дорожный, мотоцикл спортивный, ходовая часть мотоцикла, двигатель мотоцикла.

Операции с именами

Булевы операции

Отношения между именами создают основу для логических операций с ними. Результат операций – новые имена. Операции, к описанию которых мы приступаем, называются булевыми операциями – по имени английского ученого Дж.Буля (1815-1864), одного из основоположников математической логики.

 

Булевы операции – это операции с объемами имен. К важнейшим из них относятся сложение, умножение и дополнение.

Сложение объемов A и В – это логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов, относящихся хотя бы к одному из объемов А и В.

 

Результат операции сложения называется логической суммой и обозначается выражением АÈ В. Эту, как и прочие операции, рассмотрим на одном и том же конкретном примере объемов с иллюстрацией на круговых схемах (рис. 8-10). Результаты операций отмечены штриховкой.

 

Пусть речь идет о тыквах, и совокупность всех тыкв – универсум Т (от лат. Totum – целое). По каким-то соображениям выделены: а) тыквы весом не меньше 3 и не больше 5 кг, что соответствует объему A на круговых схемах; б) тыквы весом не меньше 4 и не больше 6 кг, что соответствует объему В на круговых схемах. Тогда логическую сумму объемов этих тыкв составят тыквы весом от 3 до 6 кг (рис. 8).

Умножение объемов A и В – логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов, относящихся как к объему A, так и к объему В. Результат называется логическим произведением и обозначается выражением AÇ В.

В нашем случае логическое произведение объемов A и В – это тыквы от 4 до 5 кг (рис. 9).

Исключение объема B из объема A – логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов объема A и не состоящий из объема B. Результат этой операции называется логической разностью и обозначается выражением A-B.

Наконец, дополнение объема A – это логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов универсума Т, не относящихся к объему A. Результат этой операции называется логическим дополнением и обозначается выражением A¢. Дополнением к тыквам весом от 3 до 5 кг будет весь универсум тыкв Т, за исключением тыкв от 3 до 5 кг (рис. 12).

Из приведенных определений видно, что существует соответствие между булевыми операциями и операциями (функторами) логики высказываний. В частности, сложению соответствует слабая дизъюнкция, умножению – конъюнкция, дополнению – отрицание.

 

Булевы операции подчиняются определенным законам:

 

AÈ A=A	идемпотентность сложения;
AÈ В=ВÈ A	коммутативность сложения;
(AÈ В)È C=AÈ (BÈ C)	ассоциативность сложения;
AÇ A=A	идемпотентность умножения;
AÇ В=ВÇ A	коммутативность умножения;
(AÇ В)Ç C=AÇ (BÇ C)	ассоциативность умножения;
(АÈ В)Ç C=(AÇ С)È (BÇ C)	Дистрибутивность умножения относительно сложения;

(AÇ В)È C=(AÈ С)Ç (ВÈ C)

Дистрибутивность сложения относительно умножения.

 

Законы ассоциативности гласят, что в выражениях вида AÈ ВÈ С и AÇ ВÇ С расположение скобок не играет роли, так что их можно вообще опускать (рис. 13 и 14). Однако в таких выражениях, как (AÈ В)Ç С или AÈ (ВÇ С) – расположение скобок играет существенную роль. Пусть, например, A – объем имени «мужчина», B – объем имени «женщина», С – объем имени «врач». Тогда AÈ B – объем имени «человек», (AÈ B)Ç С – объем имени «врач» (рис.15, горизонтальная штриховка); ВÇ С – объем имени «женщина-врач», AÈ (BÇ С) – объем имени, обозначающего всех людей, за исключением женщин, которые не являются врачами (рис. 15, вся штриховка).

 

 

 

(A   B)¢ =A¢ Ç B¢ (рис. 24)	- 1-й закон де Моргана
(A Ç B)¢ = A¢   B¢ (рис. 25)	- 2-й закон де Моргана

 

(A È B)¢ =A¢ Ç B¢ (рис. 24);

(A Ç B)¢ = A¢ È B¢ (рис. 25).

 

Обобщение и ограничение

В наиболее простых случаях операции обобщения и ограничения можно охарактеризовать следующим образом. Обобщение объема A – логическая операция, в результате которой образуется имя с объемом B, содержащим в себе объем A. Иными словами, обобщить имя A – значит образовать такое другое имя B (род), которое подчиняло бы себе имя A (вид).

Переход от A к B осуществляется за счет отбрасывания признаков, принадлежащих предметам, которые входят в объем A. Так, от имени «вопросительное предложение» переходим к имени «предложение», исключая из первого указание на то, что в грамматической форме этого типа о чем-то спрашивается.

Процессы обобщения – неотъемлемые свойства научного познания. Прежде чем появилось обобщающее имя «закон Бойля-Мариотта», прошли десятилетия упорного труда ученых по исследованию зависимости между давлением и объемом различных газов.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: