ТЕМА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

ТЕМА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Интегральное исчисление возникло из потребности создавать общий метод нахождения площадей, объемов и центров тяжестей. Основной задачей интегрального исчисления является нахождение функции по выражению ее дифференциала.

Одним из основных понятий интегрального исчисления является понятие первообразной.

Функция называется первообразной функции , если в области определения функции имеет место тождество . Таким образом, первообразная является решением задачи, обратной дифференцированию.

Пример. Найти первообразную функции .

Из таблицы производных находим . Легко убедиться, что решением задачи также является функция , и вообще любая функция вида , где – произвольная постоянная.

Приведенный пример показывает, что задача по отысканию первообразной имеет не единственное решение. Вопрос о различных видах первообразных решается теоремой.

Теорема. Разность двух первообразных функции есть величина постоянная.

Множество всех первообразных функции называют неопределенным интегралом от функции и обозначают .

Из доказанной теоремы следует, что если – одна из первообразных функции , то

Из определения, а также из правил дифференцирования следуют основные свойства неопределенного интеграла:

1. ;

2. ;

3. .

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Из каждой формулы дифференцирования получается формула интегрирования. Например, из формулы вытекает

Таким образом путем обращения таблицы производных приходим к таблице интегралов от основных элементарных функций:

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

Приведенная таблица интегралов вместе со свойствами неопределенного интеграла позволяют в некоторых случаях производить операцию интегрирования.

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

В данном подразделе будут рассмотрены основные приемы, позволяющие преобразовать исходный интеграл к табличному виду.

МЕТОД НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ.

Используются свойства неопределенного интеграла и таблица неопределенных интегралов.

Примеры:

;

МЕТОД ПОДВЕДЕНИЕ ПОД ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА.

Метод подведения под знак дифференциала основан на инвариантности формы первого дифференциала и знании формул: .

Примеры:

= =

МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ.

Этот метод получается из правила дифференцирования произведения . Находя интеграл от производной произведения, получим

откуда приходим к формуле интегрирования по частям

Значение формулы (2) состоит в том, что интеграл в правой части формулы может оказаться проще исходного.

Примеры.

Найти .

Допустим, что . Тогда . После подстановки в формулу (2) получим

Найти .

Пусть , тогда . По формуле (2) имеем

При повторном применении формулы интегрирования по частям получим

Разрешая данное уравнение относительно искомого интеграла, приходим к результату

ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН.

1) 2) 3) 4)

Интегралы 1), 2) сводятся к табличным путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.

Интегралы 3), 4) сводятся к 1), 2) путем выделения из числителя производной квадратного трехчлена.

Пример. Найти неопределённый интеграл

Выделив из квадрата трёхчлена полный квадрат x²+4x+5=x²+4x+4+1=(x+2)²+1, записав d(x+2) вместо dx, получим:

Пример.Найти неопределённый интеграл .

= .

Примеры.

Выделить целую часть рациональной функции и выполнить интегрирование.

Делаем деление уголком по следующей схеме до тех пор, пока степень остатка не станет меньше степени знаменателя:

Результат деления имеет вид

Многочлен не имеет действительных корней, поэтому разложение получившейся правильной рациональной функции невозможно и приступаем к интегрированию.

Пример.

Разложить на множители многочлены: , и .

Для разложения многочлена на множители в общем случае необходимо найти его корни. Поэтому . Полезно воспользоваться известными формулами или применить искусственный прием:

Пример.

Разложить на элементарные дроби и проинтегрировать функции

и .

Разлагаем знаменатель на множители

и по виду знаменателя записываем искомое разложение

.

Коэффициенты , и находим из равенства , приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа. Получим систему

откуда , , .

Интегрируя сумму элементарных дробей с учетом найденных коэффициентов, приходим к результату

.

Разложение на элементарные дроби функции проводим в аналогичной последовательности.

,

где , , , ;

Пример.

Найти и .

В некоторых случаях использование специальных приемов позволяет избежать трудоемких преобразований, свойственных общей схеме. Например, в задачах этого номера преобразования можно выполнить следующим образом:

Общая схема интегрирования дробных рациональных функций

- выделение целой части функции, в результате которого получается представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби;

- разложение правильной дроби на сумму простейших дробей;

- нахождение интегралов от простейших рациональных дробей и суммирование результатов.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

Несобственные интегралы распространяют понятие интеграла на случай функций, имеющих разрыв на интервале интегрирования, а также на случай бесконечных пределов интегрирования.

1. В точке , функция имеет разрыв первого рода (конечный скачок). Значение интеграла считаем равным

2. На верхней границе интервала интегрирования функция имеет бесконечный разрыв. Интеграл считаем равным пределу

Если предел существует и конечен, говорят, что интеграл сходится. В противном случае – расходится. При расположении точки разрыва во внутренней точке интеграл разбивают на два слагаемых, к каждому из которых применяют формулу (8)

Примеры:

Интеграл расходится.

3. Верхний или нижний, или оба предела интегрирования являются бесконечными. Несобственный интеграл данного вида имеет выражение:

.

Примеры:

.

. (интеграл расходится)

Формула прямоугольников.

Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x₀, x₁, …, x_m, то в качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей . При этом:

y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), …., y_n = f(x_n).

Составим суммы: y₀Dx + y₁Dx + … + y_n_-1Dx

y₁Dx + y₂Dx + … + y_nDx

Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной.

Тогда или

- любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.

Формула трапеций.

Эта формула является более точной по

у сравнению с формулой прямоугольников.

Подынтегральная функция в этом случае

заменяется на вписанную ломаную.

y₁ у₂ у_n

a x₁ x₂ b x

Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула).

Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x₀), f(x₁), f(x₂).

Для каждой пары отрезков построим такую параболу. у

0 х₀ х₁ х₂ х₃ х₄ х

Уравнения этих парабол имеют вид Ax² + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

(1)