Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Интегрируемые виды дифференциальных уравнений ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Первого порядка. Тип 1. Уравнение с разделяющимися переменными. Уравнения вида M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0 (1) или (2), а также уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований приводятся к уравнениям, называются уравнениями с разделяющимися переменными. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Его общим интегралом будет , где с – произвольная постоянная. Алгоритм решения: 1. Преобразовать уравнение с разделяющимися переменными к уравнению с разделенными переменными. 2. Проинтегрировать обе части уравнения. Примеры. , - уравнения с разделяющимися переменными. Тип 2. Однородные уравнения. Однородным называют уравнение, которое может быть преобразовано к виду . Дифференциальное уравнение в дифференциальной форме P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 будет однородным в том и только в том случае, когда P(x, y), Q(x, y) – однородные функции одного и того же измерения α, т.е. P(tx, ty)=tα P(x, y), Q(tx, ty)=tα Q(x, y). Алгоритм решения: Подстановкой данный вид уравнений преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Примеры. , - однородные уравнения. Тип 3. Дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением сводящимся к однородному. Алгоритм решения: Если , то выполняется подстановка , где - точка пересечения прямых . Если , то выполняется подстановка . Примеры. , - дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным. Тип 4. Линейные уравнения. Уравнение , линейное относительно неизвестной функции у и ее производной , называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Функции a(x), b(x) должны быть непрерывны в некоторой области. Если b(x) = 0. то уравнение называют однородным линейным дифференциальным уравнением. Общее решение линейного дифференциального уравнения всегда можно записать в виде: , где с – произвольная постоянная. Полезно иметь в виду, что иногда дифференциальное уравнение является линейным относительно х как функции у, т.е. может быть приведено к виду Его общее решение находится по формуле: , где с – произвольная постоянная. Алгоритм решения: 1 способ. Найти решение дифференциального уравнения по формуле . 2 способ. Ввести 2 неизвестные функции u(x) и v(x) по формуле y=u(x)v(x) (подстановка Бернулли). Тогда . Подставив выражение для y и в уравнение получим уравнение , которое преобразуется к виду Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций, например , может быть выбрана достаточно произвольно (так как только произведение должно удовлетворять исходному уравнению), составляем систему: . Из первого уравнения (уравнение с разделяющимися переменными) находим v=v(x), затем из второго уравнения находим u=u(x, C). Затем находим общее решение уравнения y= v(x)◦ u(x, C). Примеры. - линейное дифференциальное уравнение (линейное относительно y). - линейное дифференциальное уравнение (линейное относительно х). Тип 5. Уравнение Бернулли. Дифференциальное уравнение (1), где =const R, ≠ 0, ≠ 1, а также любое уравнение, с помощью алгебраических преобразований приводящееся к уравнению (1), называется уравнением Бернулли. Алгоритм решения: Ввести новую функцию z(x) по формуле . Уравнение Бернулли сведется к линейному уравнению относительно этой функции: Пример. - уравнение Бернулли.
Тип 6. Уравнение в полных дифференциалах. Если уравнение записано в виде , (1) и выполняется соотношение , тогда правая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции и его можно переписать в виде . Отсюда следует, что . (2) Выражение (2) является общим решением дифференциального уравнения (1), которое в этом случае называют уравнением в полных дифференциалах. Таким образом, интегрирование данного вида уравнений сводится к задаче отыскания функции по ее полному дифференциалу. Алгоритм решения: 1. Проверить выполнимость условия 2. Решить систему 3. Записать ответ U(x, y)=0. Пример. - уравнение в полных дифференциалах. |
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 558; Нарушение авторского права страницы