Сопряжение двух пересекающихся прямых линий

Пусть даны две пересекающиеся прямые m, n и радиус сопряжения R (рис. 32). Необходимо построить сопряжение данных прямых дугой окружности радиусом R.

Рис. 32

Для построения сопряжения необходимо выполнить следующие построения:

1. Построим прямую n', параллельную данной прямой n и отстоящая от неё на расстояние R сопряжения.

2. Построим прямую m', параллельная m и отстоящая от последней на расстояние R радиуса сопряжения. Таким множеством является прямая m', параллельная m и отстоящая от последней на расстояние R.

3. В пересечении построенных прямых m' и n', найдем центр сопряжения О.

4. Определим точку А сопряжения на прямой n. Для этого опустим из центра О перпендикуляр на прямую n. Для определения точки сопряжения В на прямой m необходимо опустить соответственно перпендикуляр из центра О на прямую m. Проведем дугу сопряжения AB. Теперь будут определены все элементы сопряжения: радиус, центр и точки сопряжения.

Сопряжения прямой с окружностью

Пусть задана окружность радиусом R с центром в точке O₁ и прямая m. Требуется построить внешнее сопряжение (см. §2.3) окружности с прямой дугой окружности заданного радиуса R (рис. 33а).

Для решения задачи выполним следующие построения.

1. Построим прямую m' параллельную m, удаленную от сопрягаемой прямой на расстояние R.

2. Построим окружность n' радиуса R₁+R, которая определяет множество точек центров сопряжения, удаленных от окружности n на расстояние R.

3. Центр сопряжения О находим как точку пересечения линий m' и n'.

а) б)

Рис. 33

4. Точку сопряжения А находим как основание перпендикуляра, проведенного из точки О на прямую m. Чтобы построить точку сопряжения В, необходимо провести линию центров OO₁, т.е. соединить центры сопряженных дуг. В пересечении линии центров с заданной окружностью определим точку В.

5. Проведем дугу сопряжения АВ.

При построении внутреннего сопряжения (рис. 33б) последовательность построений остается та же, что и при построении внешнего. Однако центр сопряжения определяется с помощью вспомогательной дуги окружности, проведенной из центра О₁, радиусом R – R₁.

Сопряжение двух окружностей

Сопряжение двух окружностей может быть внешним, внутренним и смешанным. Пусть задан радиус сопряжения R, а центры сопряжения и точки сопряжения следует найти.

Для определения вида сопряжения через точки сопряжения необходимо провести касательные. Если центры окружностей лежат по одну сторону каждой из касательных – сопряжение внешнее; если по разные – внутреннее. В случае если для одной касательной сопряжение определяется как внешнее, для другой – внутреннее, то такое сопряжение называется смешанным (рис. 34, 35).

Построение внешнего сопряжения двух окружностей

Необходимо построить сопряжение с внешним касанием двух данных окружностей m и n с радиусами R₁ и R₂ дугой заданного радиуса R (рис. 34).

1. Для нахождения центра сопряжения О проведем окружность m', удаленную от данной окружности m на расстояние R. Так как сопряжение с внешним касанием, то радиус окружности m' равен R₁ + R.

Рис. 34

2. Радиусом R₂ + R проведем окружность n', удаленную от данной окружности n на расстояние R.

3. Найдем центр сопряжения О как точку пересечения окружностей m' и n'.

4. Найдем точку сопряжения А как пересечение линии центров O₁O с дугой m.

5. Аналогично найдем точку В как пересечение линии центров О₂О с дугой n.

6. Проведем дугу сопряжения АВ.

Построение внутреннего сопряжения двух окружностей

Построим сопряжение с внутренним касанием двух данных окружностей m и n с радиусами R₁ и R₂ дугой радиусом R (рис. 35).

1. Для нахождения центра сопряжения О проведем окружность m' на расстоянии R – R₁ от данной окружности m.

2. Проведем окружность n' на расстоянии R – R₂ от данной окружности n.

3. Центр сопряжения О найдем как точку пересечения окружностей m' и n'.

Рис. 35

4. Точку сопряжения А найдем как точку пересечения линии центров ОО₁ с заданной окружностью m.

5. Точку сопряжения В найдем как точку пересечения линии центров OO₂ c заданной окружностью n.

6. Проведем дугу сопряжения AB с центром в точке O.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: