Свойства согласованных фильтров

1. Импульсная характеристика СФ является «зеркальным отражением» сигнала, с которым он согласован, относительно момента времени 0, 5t₀ (с точностью до постоянного коэффициента)

.

Это свойство было положено в основу определения СФ (6.15).

 

2. Передаточная функция СФ

.

После замены t₀ – t = t, t = t₀ – t, dt = –dt, при t ® ¥ t ® -¥

.

Таким образом, передаточная функция СФ с точностью до множителя совпадает с сопряженной спектральной функцией сигнала, с которым он согласован

.

Амплитудно-частотная характеристика СФ

с точностью до коэффициента а повторяет амплитудный спектр сигнала, с которым он согласован

Фазо-частотная характеристика СФ

отличается знаком от фазового спектра сигнала, с которым он согласован (без учета слагаемого –ω t₀).

 

3. Форма отклика СФ на «свой» сигнал (сигнал с которым он согласован)

.

Учитывая, что из (6.15) вытекает , получим

.

Таким образом, отклик СФ на «свой» сигнал с точностью до коэффициента совпадает с его корреляционной функцией, смещенной по оси времени на интервал t₀ (рис. 6.7)

.

 

Из полученного результата вытекают следующие выводы:

· Отклик СФ на «свой» сигнал с точностью до постоянного коэффициента совпадает с его корреляционной функцией.

· Длительность отклика на «свой» сигнал всегда равна 2Т.

· СФ не восстанавливает форму сигнала, искаженного шумом. Его задача создать один отсчет y(t₀), по которому можно наилучшим образом судить о присутствии на входе «своего» сигнала.

 

4. СФ обеспечивает наибольшее отношение сигнал/шум (с/ш) на своем выходе при действии на входе аддитивной смеси «своего» сигнала и центрированного нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N=N_О/2.

Докажем это, уточнив предварительно, что под отношением с/ш на выходе СФ понимают отношение математического ожидания отсчета случайной реакции СФ Y(t) в момент времени t₀ = T к корню из ее дисперсии

. (6.16)

Рассмотрим произвольный линейный фильтр с передаточной функцией . Поскольку представляет собой отсчет реакции y_s(T) на математическое ожидание воздействия, каковым является сигнал s(t), то

.

Полученное выражение представляет собой не что иное, как скалярное произведение двух векторов в комплексном пространстве Гильберта, если иметь в виду следующие соответствия:

.

Вычислим дисперсию случайной величины

Подставляя полученные результаты в выражение (6.16) и применяя неравенство Коши-Буняковского-Шварца

,

имеем

.

Наибольшее значение с/ш (равенство в полученном выражении) достигается при совпадении векторов , т. е. для случая использования СФ, что и требовалось доказать. Это чрезвычайно важное свойство некоторые авторы закладывают в основу определения СФ.

Найдем саму величину отношения с/ш на выходе СФ при действии на его входе «своего» сигнала

, (6.17)

где Е – энергия «своего» сигнала,

N_О – односторонняя спектральная плотность мощности шума,

.

Таким образом, максимальное отношение с/ш на выходе СФ определяется энергией «своего» сигнала, независимо от его формы.

Определим отношение с/ш по мощности

,

где F_K – ширина полосы пропускания канала.

При совпадении ширины полосы пропускания канала с шириной спектра сигнала F_K = F_s имеем

.

Отсюда вытекает целесообразность выбора сигналов с большой базой 2F_sT для передачи дискретных сообщений, что позволяет увеличить отношение с/ш при согласованной фильтрации.

 

Согласованная фильтрация и корреляционный прием

Некоторых типичных сигналов

Рассмотрим особенности когерентного приема некоторых сигналов и реализации соответствующих согласованных фильтров.

Прямоугольные видеоимпульсы

Сигнал в виде прямоугольного видеоимпульса s(t) (рис. 6.8, а) и импульсная характеристика g_СФ(t) согласованного с ним фильтра (рис. 6.8, б) описываются выражениями

Вычислим передаточную функцию СФ

.

Сомножитель представляет собой передаточную функцию интегратора, вычитаемое в скобках – передаточная функция элемента задержки на время Т, а сама скобка соответствует алгебраическому сумматору. В итоге приходим к схеме СФ, показанной на рис. 6.9.

Реакция СФ на прямоугольный импульс показана на рис. 6.8, в. Для сравнения на рис. 6.8, г показана реакция на тот же сигнал коррелятора (рис. 6.10).

Прямоугольные радиоимпульсы

Сигнал в виде прямоугольного радиоимпульса s(t) описывается выражением

Импульсная характеристика g_СФ(t) согласованного с ним фильтра на интервале

.

Такого рода импульсной характеристикой обладает колебательный контур с добротностью Q ® ¥, однако, у него она продолжается во времени неограниченно. Для «гашения» импульсной характеристики (реакции контура на воздействие d(t)) в момент t=T можно воспользоваться соответствующей коммутацией контура (рис. 6.11, а) или вычитанием самой задержанной на T реакции (рис. 6.11, б).

Прямоугольные радиоимпульсы и реакции на них СФ и коррелятора можно видеть на рис. 6.12, 6.19, 6.20 и 6.21.

 

 

Сложные двоичные сигналы

Рассмотрим сигналы в виде n-последовательностей импульсов прямоугольной формы положительной и отрицательной полярности с фиксированным размахом. Возможный вид такого сигнала при n = 7 показан на рис. 6.13, а. Усложнение сигнала объясняется желанием получить определенную (острую) форму отклика на выходе согласованного с ним фильтра и повысить отношение с/ш. Поскольку , то ясно – чем острее (короче) , тем шире спектр сигнала и больше его база. Сигналы такого рода удобно использовать в радиолокационных и в асинхронно адресных телекоммуникационных системах.

Синтез СФ для сложного двоичного сигнала произведем, отталкиваясь от его импульсной характеристики (рис. 6.13, б). Видно, что требуемую форму можно получить суммированием прямоугольных импульсов длительностью , сдвинутых на кратные интервалы времени, с соответствующими полярностями. Такие импульсы можно получить «размножением» единственного исходного П-импульса длительностью с помощью линии задержки (ЛЗ) с n отводами (через ), а сам П-импульс в качестве импульсной характеристики – на выходе фильтра (СФ_П), согласованного с ним по форме. Эти рассуждения приводят нас к схеме фильтра, называемого трансверсальным (ТФ) (рис. 6.14). В цепях отводов ЛЗ включены повторители или инверторы сигналов с коэффициентами передачи +1 или -1 соответственно.

Проанализируем импульсную характеристику ТФ со стороны входа А, как его реакцию на воздействие в виде d-функции. Поданная этот вход d-функция (рис. 6.15, а) появится на отводах ЛЗ с соответствующими задержками и после суммирования в сумматоре (с учетом полярности) создаст последовательность, показанную на рис. 6.15, б. На выходе СФ_П, согласованного с одиночным П-импульсом длительностью , каждая из этих d-функций вызовет реакцию (по определению – импульсную характеристику) в виде самого этого импульса. В результате получим на выходе ТФ n-последовательность, изображенную на рис. 6.15, в, т.е. рассмотренная схема работает как формирователь сложного двоичного сигнала (рис.6.14, а). Интересно, что при подаче d-функции на вход Б на выходе ТФ получим реакцию (смотри графики на рис. 6.15, г и 6.15, д), совпадающую с показанной на рис. 6.13, б. Таким образом, один и тот же ТФ можно использовать в качестве формирователя сложного двоичного сигнала (вход А) и в качестве согласованного с этим сигналом фильтра (вход Б).

Из двоичных n-последовательностей наибольший интерес представляют собой последовательности (коды) Баркера. Они обладают важным свойством

,

где В_БОК – величина боковых лепестков корреляционной функции,

В(0) – начальное значение корреляционной функции.

Показанная на рис. 6.14 двоичная последовательность как раз и является кодом Баркера при n = 7. Импульсную характеристику и реакцию фильтра, согласованного с семиэлементным кодом Баркера, на этот «свой» сигнал (смещенную на Т корреляционную функцию кода Баркера) можно видеть на рис. 6.22.

Произвольные F-финитные сигналы

Согласно теореме Котельникова сигналы с ограниченным частотой F спектром точно передаются последовательностью своих отсчетов, взятых через интервалы и, следовательно, могут быть заменены ступенчатой функцией (рис. 6.16, а), которая отличается от двоичного сигнала (рис. 6.13, а) только размахами отдельных П-импульсов длительностью . Отсюда вытекает возможность формирования такого рода сигналов и их согласованной фильтрации с помощью аналогового трансверсального фильтра (рис. 6.17, 6.24). Его схема отличается от схемы двоичного ТФ (рис. 6.14) только заменой фильтра, согласованного с П-ипульсом (СФ_П) на сглаживающий фильтр (ФНЧ с частотой верхнего среза F) и использованием в цепях отводов ЛЗ усилителей с коэффициентами усиления, пропорциональным отсчетам F-финитного сигнала.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: