![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Раздел 1.4.3. Понятие случайной величины с абсолютно непрерывным законом распределения
Определение. Случайная величина, принимающая несчетное число значений (значения которой заполняют некоторый промежуток) и имеющая плотность, называется случайной величиной с абсолютно непрерывным законом распределения или (абсолютно) непрерывной случайной величиной.. В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (–µ; a), [b; µ), (–µ; µ). При описании непрерывной случайной величины невозможно выписать и пронумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество.
Замечание. Вернемся к нашей аналогии со стержнем. Теперь на нем не точечные массы, а сам он представляет собой стержень переменной плотности, протянувшийся от наименьшего до наибольшего значения случайной величины. Очевидно, что вопрос о массе в конкретной точке теперь невозможно поставить, а можно лишь говорить о массе, распределенной в некотором объеме (на некотором участке нашего стержня). Таким образом, вместо вероятности-массы мы получаем плотность (вероятности). Из-за схожести физической и вероятностной плотности последнюю чаще всего обозначают, как в физике, буквой ρ (греческая ро). Другой распространенный вариант – р – подчеркивает связь с вероятностью.
Замечание. Если Х – непрерывная случайная величина, то равенство Х = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что, однако, не влечёт за собой невозможности события. Поэтому, применительно к абсолютно непрерывным случайным величинам, говорят только о вероятности попасть в промежуток.
Пусть Х – непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства х < Х < х + Dх P(х < Х < х + Dх). Здесь Dх – величина малого интервала. Очевидно, что если Dх ® 0, то P(х < Х < х + Dх)® 0. Обозначим r(х) предел отношения P(х < Х < х + Dх) к при Dх ® 0, если такой предел существует: Функция r(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из этой формулы следует равенство, справедливое для малых величин Dх, которое также можно считать определением функции r(х): P(х < Х < х + Dх) Очевидно, что r(x) – неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина Х примет значение из промежутка [a, b] конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x1, х2, ¼, хn удовлетворяющие условию а=х0< х1< x2< ¼ < xn< b=xn+1. Эти числа разобьют промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х0, х1), [х1, х2), ¼, [хn, b]. Введём обозначения: Dх0= х1 – х0, Dх1= х2 – х1, ¼, Dхn = b – хn, и составим сумму P(a £ Х £ b) =
![]() Замечание. С другой стороны, вероятность попасть в промежуток есть разность значений функции распределения на концах промежутка. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для r (х) – её плотности распределения справедливо равенство Для удобства иногда считают функцию r(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины. Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция r(х), удовлетворяющая двум условиям: 1) r(х) ³ 0; 2) Определение. Законом распределения непрерывной случайной величины является ее плотность. Можно задавать случайную величину, задавая функцию r(х), удовлетворяющую этим условиям. В качестве примера рассмотрим случайную величину Х, равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае r(х) постоянна внутри этого промежутка: По свойству 2) функции r (х)
r (х) представлен на рисунке 2. Замечанание. Во многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х ® ¥ и х ® – ¥ асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует. Напоминание. Пусть Х – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством
называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины Х. Непосредственно из определения следует равенство Замечание. Определение. Иногда плотность (закон распределения) определяют «в обратную сторону»: Плотность есть подинтегральная функция функции распределения абсолютно непрерывной случайной величины.
Замечание. Таким образом, если известна плотность распределения случайной величины, для нахождения функции распределения необходимо взять от нее указанный выше интеграл, а если, наоборот, известна функция распределения, то плотность находится дифференцированием (взятием производной) этой функции. Нахождение неизвестного параметра плотности находится с помощью свойства 2) – равенства 1 интеграла от плотности по всей числовой оси. Например, если на всей оси Х r(х) = 2С / (1 + x2) Найти С. Рассмотрев интеграл от r по всей оси, получим С = 1/2p
Отступление. |
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-13; Просмотров: 357; Нарушение авторского права страницы