Прохождение электромагнитной волны через узловую точку

 

При переходе электромагнитной волны с участка линии, обладающего волновым сопротивлением Z₁, на участок с волновым сопротивлением Z₂ изменяются параметры волны, так как на первом участке соотношение напряжения и тока определяется величиной волнового сопротивления Z₁ = U₁/I₁, а на втором – Z₂ = U₂/I₂ . Такое изменение параметров волны происходит вследствие перераспределения энергии электрического и магнитного полей. При увеличении напряжения волны и уменьшении ее тока часть энергии магнитного поля переходит в энергию электрического поля. Волновое сопротивление линии зависит от индуктивности L₀ и емкости C₀ единицы длины линии: . Для воздушной линииэлектропередачи Z = 400–500 Ом, для кабельной линии Z = 5–40 Ом.

Рис. 1.1. Изменение параметров электромагнитной волны при прохождении узловой точки

Пусть воздушная линия с волновым сопротивлением Z₁ переходит в кабельную линию с волновым сопротивлением Z₂ в точке a (рис. 1.1). По линии Z₁ движется падающая волна U_пад с прямоугольным фронтом. В точке a произойдет изменение параметров волны: по линии Z₂ будет продолжать движение преломленная волна U_пр, а в обратную сторону начнет движение отраженная волна U_отр.

Точка a принадлежит линии с волновым сопротивлением Z₁ и линии с волновым сопротивлением Z₂, поэтому в этой точке выполняются соотношения для напряжений и токов:

 

, (1.1)

. (1.2)

Кроме того, для каждой волны можно записать:

 

, (1.3)

, (1.4)

. (1.5)

 

Знак « – » в выражении (1.5) учитывает изменение направления отраженного тока I_отр.

Возьмем уравнение (1.2) и умножим его на Z₁ , получим

 

. (1.6)

 

Подставим в (1.6) уравнения (1.3) и (1.5), тогда

 

. (1.7)

 

Составим систему из уравнений (1.7) и (1.1):

 

(1.8)

 

После сложения уравнений (1.8) получим

 

. (1.9)

 

Уравнению (1.9) соответствует эквивалентная схема (рис. 1.2). Подставим в (1.9) I_пр из (1.4):

 

. (1.10)

Выразим U_пр из (1.10):

 

. (1.11)

 

Рис. 1.2. Эквивалентная схема

 

Множитель

 

(1.12)

называется коэффициентом преломления.

С учетом (1.12) формула (1.11) примет вид

 

. (1.13)

 

Возьмем уравнение (1.1), подставим в него (1.11), получим:

 

, . (1.14)

 

Откуда

или , (1.15)

 

где – коэффициент отражения.

Коэффициенты a и b связаны соотношением: a = 1+ b.

В том случае, если волна движется по оборванной линии, т.е. Z₂ = , коэффициент преломления

или .

 

Следовательно, на конце оборванной линии происходит удвоение волны.

 

 

Прохождение электромагнитной волны через индуктивность

 

Пусть электромагнитная волна U_пад с прямоугольным фронтом движется по линии с волновым сопротивлением Z₁ и набегает через индуктивность L на шины подстанции, от которой отходит линия с волновым сопротивлением Z₂ (рис. 1.3).

 

Рис. 1.3. Прохождение электромагнитной волны через индуктивность

 

Для эквивалентной схемы составим уравнение по закону Кирхгофа:

, (1.16)

где i_пр – мгновенное значение преломленного тока.

Преобразуем:

.

 

Разделим переменные:

 

или .

 

Интегрируем получившееся выражение

(1.17)

Умножим и разделим левую часть уравнения (1.17) на (Z₁ + Z₂), в числителе внесем (Z₁ + Z₂) под знак дифференциала; левой и правой частям уравнения присвоим знак « – », в левой части уравнения внесем « – » под знак дифференциала:

 

(1.18)

Добавим произвольное слагаемое 2U_пад под знак дифференциала:

 

(1.19)

После интегрирования получим

 

. (1.20)

 

Определим постоянную интегрирования K. В начальный момент времени t = 0 ток i_пр равен 0, поэтому

 

. (1.21)

 

Подставим (1.21) в выражение (1.20), получим

 

(1.22)

 

Потенцируем (1.22):

 

Выразим i_пр :

 

(1.23)

 

С учетом окончательно получим

 

или , (1.24)

 

где T_L = L/( Z₁ + Z₂) – постоянная времени.

Рис. 1.4. Отраженная волна перед индуктивностью

Из уравнения (1.24) видно, что амплитуда преломленной волны U_пр на шинах подстанции уменьшится на коэффициент преломления a, а фронт волны будет возрастать по экспоненте с постоянной времени T_L, т.е. произойдет сглаживание фронта волны (рис. 1.4). Найдем напряжение отраженной волны. Запишем соотношение напряжений для узловой точки с учетом наличия индуктивности:

 

или . (1.25)

 

Продифференцируем уравнение (1.23):

 

или . (1.26)

 

Подставим (1.26) и (1.24) в выражение (1.25):

 

.

 

Сгруппируем и окончательно получим

 

(1.27)

 

В начальный момент времени (подставим t = 0 в (1.27)) напряжение отраженной волны

 

(1.28)

 

В начальный момент времени напряжение отраженной волны равно напряжению падающей волны с сохранением знака, а затем уменьшается по экспоненте (см. рис. 1.4).

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: