Условия устойчивости движения

В общем случае движения объекта управления, которое оценивается изменением регулируемого параметра описывается дифференциальным уравнением при входном воздействии :

 

1.1

 

а – в устойчивой системе; б – в неустойчивой системе;

в – в системе, находящейся на границе устойчивости

 

Как это принято в автоматике, уравнение (1.1) составляется таким образом, что в левой части уравнения представлено изменение выходного параметра системы и все его производные со своими коэффициентами . Эти коэффициента отражают внутренние (собственные) свойства управляемого объекта и определяются его схемами, устройством, размерами и др. параметрами конструкции.

Коэффициенты .отражают свойства действующих возмущений и управляющих воздействий.

Определить движение объекта управления – значит решить дифференциальное уравнение (1.1) относительно регулируемого параметра . Решение уравнения (1.1) представляет собой сумму общего и частного решений:

(1.2)

Общее решение описывает решение уравнения (1.1) при правой части, равной нулю. Такое уравнение общепринято называть однородным. Решение однородного уравнения описывает движение системы, которое происходит под действием соответствующих внутренних свойств при отсутствии возмущений и каких либо управляющих воздействий.

Частное решение уравнения (1.1) определяет движение системы, происходящее под действием возмущений и управляющих воздействий. При этом движение системы не может прекратиться и всегда происходит с параметрами, определяемыми этими возмущениями и воздействиями.

Именно потому для определения устойчивости движения необходимо решать не полное уравнение (1.1), а только однородное уравнение, в котором правая часть равна нулю:

(1.3)

Решение такого уравнения записывается в виде:

(1.4)

где: - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями решения;

(1.5)

Уравнение (1.4) показывает, что движение системы является суммой составляющих и определяется величиной корней характеристического уравнения (1.5).

Рассмотрим вид составляющих движения системы от вида корней, представленный на рис. 1.2.

Корни могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми.

1. Вещественный корень. Если он отрицательный ( , где - действительное число, большее 0), то слагаемое, определяемое этим корнем в (1.2), будет представлять собой экспоненту (рис. 1.2, а). Очевидно, что при составляющая движения будет затухать.

При получится расходящийся процесс (рис. 1.2, б).

 

2. Комплексные корни. Комплексные корни - всегда попарно сопряженные. При отрицательной вещественной части два корня, например r, и r_i+1, будут иметь вид. . В этом случае слагаемые, определяемые этими корнями в (1.3), могут быть представлены в виде:

,

где и - новые постоянные интегрирования.

Нетрудно видеть, что в этом случае получаются затухающие колебания, причем мнимая часть корня представляет собой круговую частоту затухающих колебаний, а - показатель затухания, определяющий затухание огибающей к кривой переходного процесса (рис. 1.2, в).

При положительной вещественной части корня

колебания будут расходящимися (рис. 6.3, г):

.

3. Чисто мнимые корни. В этом случае , .

Слагаемое, определяемое этими корнями в (6.3), будет представлять собой незатухающие колебания с постоянной амплитудой:

.

Такой процесс изображен на рис. 1.2, д.

а) случай отрицательного вещественного корня; б) случай положительного вещественного корня; в) случай комплексно-сопряженных корней с отрицательной вещественной частью; г) случай комплексно-сопряжённых корней с положительной вещественной частью; д) случай чисто мнимых корней

Рис. 1.2. Изображение условий устойчивости в плоскости корней

1.3 Признаки и критерии устойчивости движения

Признак выражает необходимое, но не достаточное условие устойчивости. Критерий выражает необходимое и достаточное условие устойчивости.

Для оценки устойчивости системы рассматривают характеристическое уравнение:

,

которое можно представить в виде

.

Из последнего выражения следует:

В случае отрицательных корней все коэффициенты в характеристическом уравнении будут положительны. Если будет хотя бы один положительный корень, то произойдёт не менее одной смены знака в исходном характеристическом уравнении. Сказанное позволяет сформировать признак устойчивости:

Для устойчивости движения необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели одинаковый знак.

1.4 Алгебраический критерий устойчивости

(критерий Рауса-Гурвица)

Австрийские математики Раус и Гурвиц в 1895 году нашли условия, при которых многочлен любой степени не содержит корней с положительной вещественной частью.

Рассмотрим характеристическое уравнение САУ n-го порядка:

Алгебраический критерий устойчивости (критерий Рауса-Гурвица) формулируется следующим образом:

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы при > 0 все диагональные миноры квадратной матрицы Гурвица, составленной из коэффициентов характеристического уравнения, были положительны.

Определитель Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения следующим образом:

- по диагонали определителя выписываются все коэффициенты от а₁, до а_n в порядке возрастания (слева - направо, сверху - вниз);

- заполнение столбцов от диагонального коэффициента производится: вверх - коэффициентами уравнения с большими индексами, а вниз - коэффициентами уравнения с меньшими индексами.

Из этого критерия вытекает, что для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля;

 

1.5 Критерий устойчивости Михайлова А.В. (1938 г.)

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости САУ по виду их частотных характеристик. Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое распространение, так как позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка и имеют простую геометрическую интерпретацию и наглядность.

В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие из известного в теории функций комплексного переменного принципа аргумента.

Когда задан полином n-степени, являющийся собственным оператором системы

тогда в соответствии с теоремой Безу (Виетта), его можно представить в виде:

где -корни характеристического уравнения .

На комплексной плоскости каждый корень геометрически может быть изображён вектором, проведённым из начала координат к точке .

Величины , заключённые в скобки, выражения (1.7), так же являются векторами, проведёнными из точки к точке . В чистотной области точки представляют собой комплексное число , т.е , где - частота колебаний. На рис. 6.4 и 6.5 представлены графические изображения векторов и для случая вещественных корней и попарно сопряженных корней

Рис. 1.4. Изменения векторов ( ) характеристического уравнения для случая вещественных корней ; .

На рис. 1.4. показано изменение векторов ( ) характеристического уравнения (1.7) для случая вещественных корней. Графики показывают, что если корень , то при изменении от 0 до , вектор , повернётся по часовой стрелке на угол . А если корень отрицательный, то вектор повернётся на угол против движения часовой стрелки.

Аналогичные рассуждения для случая комплексных сопряжённых корней и и (рис. 1.5) показывают, что при и пары векторов ( ) и ( повернутся на угол . против часовой стрелки.

Рис. 1.5. Изменения векторов ( ) характеристического уравнения для случая комплексных сопряжённых корней ; .

Таким образом, если характеристическое уравнение будет иметь l корней с положительной вещественной частью, то каковы бы ни были эти корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма углов поворотов, равная . Всем же остальным корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворотов, равная . В результате общий угол поворота вектора при изменении w от нуля до бесконечности будет:

.

С учетом этого критерий Михайлова можно сформулировать следующим образом:

Для того чтобы САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на положительной полуоси действительной оси при изменении частоты от 0 до и последовательно проходил столько квадрантов, каков порядок характеристического уравнения (рис. 1.6) в направлении против часовой стрелки.

 

Рис. 1.6. Годограф Михайлова для устойчивых САУ степени п

В неустойчивых системах нарушается последовательность прохождения годографом Михайлова квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора оказывается меньшим чем (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Годограф Михайлова для неустойчивой САУ

Критерий Михайлова применяется для анализа устойчивости как замкнутых, так и разомкнутых систем. При исследовании устойчивости замкнутой САУ рассматривается собственный оператор замкнутой системы:

(1.8)

Собственный оператор замкнутой системы

. (1.9)

При исследовании устойчивости замкнутой системы строится кривая Михайлова по выражению (1.9).

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться: