Эконометрический анализ взаимосвязанных временных рядов

Коинтеграция и мнимая регрессия.

Рассмотрим два временных ряда y_t и x_t. Предположим, что оба ряда имеют единичные корни, то есть являются нестационарными. Предположим далее, что исследователь не знает механизмов, порождающих y_t и x_t, и оценивает регрессию:

y_t =bx_t + e_t, t=1, …, n. (5.12)

Если e_t = y_t – bx_t, t=1, …, n является стационарным временным рядом, то временные ряды y_t и x_t называются коинтегрированными, а вектор (1 –b) называется коинтегрирующим вектором.

Примеры.

1. Длинная ставка процента R, короткая ставка процента r: e_t=R_t – r_t, вектор коинтеграции (1 –1).

2. Логарифм потребления C_t, логарифм дохода y_t: e_t=С_t – y_t, вектор коинтеграции (1 –1).

3. Логарифм обменного курса D_t, логарифм внутренней цены P_t, логарифм цен мирового рынка P_t^*: e_t=D_t –P_t+P_t^*, вектор коинтеграции (1 –1 1). Ñ

В случае коинтегрируемости временных рядов говорят о долгосрочном динамическом равновесии. Если y_t и x_t коинтегрированы, то y_t и bx_t содержат общую нестационарную компоненту – долговременную тенденцию, а разность y_t – bx_t стационарна и совершает флуктуации около нуля.

Таким образом, коинтеграция временных рядов – причинно-следственная зависимость в уровнях временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций и случайной колеблемости.

Возможен случай, когда ошибка e_t = y_t – bx_t, t=1, …, n в регрессии (5.12) является нестационарным временным рядом. Тогда условия классической регрессионной модели (п. 3) не выполняются, в частности дисперсия e_t не является постоянной. Кроме того, МНК оценка параметра b не состоятельна, поэтому с ростом объема выборки увеличиваются шансы получения ложных выводов о взаимосвязи y_t и x_t. Такая ситуация называется ложной (мнимой) регрессией. На практике признаками мнимой регрессии являются высокое значение R² и малое значение статистики Дарбина-Уотсона.

Для проверки рядов на коинтеграцию используются тесты Энгеля-Гранжера или Йохансена.

Пример. Рассмотрим временные ряды логарифмов доходов и расходов на потребление с августа 1990 г. по январь 1992 г. в России. Графический анализ – рис. 5.1 показывает, что тенденции этих рядов совпадают.

Расчет параметров уравнения регрессии логарифма расходов y_t на логарифм доходов x_t обычным МНК дает следующие результаты:

=0, 9x_t + e_t,

n=25, R²=0, 80, критерий Дарбина-Уотсона 1, 85, стандартная ошибка коэффициента регрессии 0, 009.

Для тестирования рядов на коинтеграцию определим оценки остатков = - 0, 9x_t и построим регрессию первых разностей D на :

D = - 0, 95 .

Фактическое значение t-критерия для коэффициента последней регрессии равно –4, 46, что превышает по абсолютной величине критическое значение 1, 94, рассчитанное Энгелем и Гранжером, при уровне значимости 5%, т.е. с вероятностью 0, 95 можно утверждать, что временные ряды логарифмов доходов и расходов на потребление коинтегрированы. Ñ

При изучении двух взаимосвязанных временных рядов на предварительной стадии регрессионного анализа рекомендуется устранить сезонные или циклические колебания, если они имеются в исследуемых временных рядах, в соответствии с принятой аддитивной или мультипликативной моделями рядов.

Если рассматриваемые временные ряды y_t и x_t содержат тенденцию, то коэффициент корреляции, характеризующий степень зависимости между y_t и x_t будет иметь высокое значение. Такая же ситуация будет иметь место тогда, когда y_t и x_t зависят от переменной времени t. Как в первом, так и во втором случае имеет место ложная корреляция, которая приводит при построении регрессии y_t на x_t вида (5.12) к автокорреляции в остатках и нестационарности ряда остатков регрессии (ложная регрессия), то есть к нарушению предпосылок МНК.

Рис. 5.13.

 

Для получения регрессии со стационарным временным рядом остатков e_t, как уже указывалось ранее, может быть использован метод последовательных разностей, когда переход к некоторым k-м разностям уровней ряда позволяет получить стационарный ряд остатков.

Другими методами исключения тренда из анализируемой модели (5.12) являются методы включения фактора времени и отклонений от тренда.

Метод включения фактора времени.

Для устранения влияния времени на результат и факторы при изучении взаимосвязанных рядов динамики используется прием включения времени t в качестве независимой переменной в модель регрессии, что позволяет зафиксировать воздействие фактора t. Достоинством такого подхода является использование всей имеющейся выборки в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере некоторого числа наблюдений.

Рассмотрим, например, модель вида:

y_t = a + b₁x_t + b₂t + e_t,

которая относится к моделям c включенным фактором времени. Параметры модели определяются обычным МНК.

Пример. Потребительские расходы и доходы населения (тыс. у. е.) за ряд лет характеризуются следующими данными (табл. 5.13).

Таблица 5.13

Показатель	Год
Потребительские расходы
Доходы

 

Оценим уравнение регрессии потребительских расходов y_t на доходы x_t вида:

y_t = a + bx_t + e_t.

Получим, применяя МНК:

y_t = -5, 38 + 0, 92x_t + e_t,

причем R²=0, 98, стандартная ошибка коэффициента b₁ при x_t 0, 04, статистика Дарбина-Уотсона 0, 86. Т.е. имеем случай мнимой регрессии, когда статистика Дарбина-Уотсона показывает наличие положительной автокорреляции остатков e_t, а коэффициент детерминации близок к единице.

Применяя метод включения фактора времени, оценим регрессию вида:

y_t = a + b₁x_t + b₂t + e_t.

Получим, применяя МНК:

y_t = 3, 88 + 0, 69x_t + 1, 65t + e_t,

причем R²=0, 99, стандартная ошибка коэффициента b₁ при x_t 0, 11, статистика Дарбина-Уотсона 1, 3.

Полученное уравнение имеет следующую интерпретацию. Значение параметра b₁=0, 69, говорит о том, что при увеличении дохода на 1 тыс. у.е., потребительские расходы возрастут в среднем на 0, 69 тыс. у.е., если существующая тенденция будет неизменна. Значение b₂=1, 65 свидетельствует о том, что без учета роста доходов населения ежегодный средний абсолютный прирост потребительских расходов составит 1, 65 тыс. у.е. Ñ

Метод отклонения уровней ряда от основной тенденции.

Если каждый из рядов y_t и x_t содержит тренд, то аналитическим выравниванием по каждому из рядов можно найти параметры тренда и определить расчетные по тренду уровни рядов и . Влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений тренда из фактических. Дальнейший регрессионный анализ проводят с отклонениями от тренда и .

Пример. Потребительские расходы и доходы населения (тыс. у.е.) за ряд лет характеризуются данными табл. 5.13.

Рассчитаем линейные тренды по каждому из временных рядов методом МНК:

=35, 39+6, 23t, R²=0, 93 стандартная ошибка коэффициента при t 0, 63,

=45, 33+6, 60t, R²=0, 89 стандартная ошибка коэффициента при t 0, 85.

По трендам определим расчетные значения и и отклонения от трендов и .

Таблица 5.14

Тренды и отклонения от трендов для временных рядов доходов и потребительских расходов

Время, t	yt	xt
			41, 62	51, 93	4, 38	7, 07
			47, 86	58, 53	2, 14	4, 47
			54, 09	65, 13	-0, 09	-1, 13
			60, 32	71, 73	-1, 32	-5, 73
			66, 56	78, 33	-4, 56	-7, 33
			72, 79	84, 93	-5, 79	-6, 93
			79, 02	91, 53	-4, 02	-2, 53
			85, 26	98, 13	0, 74	2, 87
			91, 49	104, 73	8, 51	9, 27

 

Проверим полученные отклонения от трендов на автокорреляцию. Коэффициенты автокорреляции первого порядка составляют:

=0, 56, =0, 67,

в то время как для исходных рядов =0, 99, =0, 99.

Таким образом, полученные ряды отклонений от трендов можно использовать для получения количественной характеристики связи исходных временных рядов потребительских расходов и доходов населения. Коэффициент корреляции по отклонениям от трендов равен 0, 93, тогда как этот же показатель по начальным уровням ряда был равен 0, 99. Связь между потребительскими расходами и доходами населения прямая и сильная.

Результаты построения модели регрессии по отклонениям от трендов следующие:

Константа	0, 00
Коэффициент регрессии	0, 69
Стандартная ошибка коэффициента регрессии	0, 09
R2	0, 88
Статистика Дарбина-Уотсона	1, 30

Содержательная интерпретация модели в отклонениях от трендов затруднительна, но она может быть использована для прогнозирования. Ñ

 

Библиографический список

 

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 1998. 1022 с.

2. Джонстон Дж. Эконометрические методы.- М.: Статистика, 1980. 432 с.

3. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: ИНФРА-М, 2001. 402 с.

4. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1986. 392 с.

5. Магнус Я.Р, Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 2000. 400 с.

6. Практикум по эконометрике/Под ред. И.И.Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2001. 192 с.

7. Эконометрика/Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2001. 344 с.

8. Кремер Н., Путко Б. Эконометрика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. 311 с.

Приложение

Статистические таблицы

 

Критерий Дарбина-Уотсона (d). Значения d_L и d_U при 5% уровне значимости.

 

n	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5
dL	dU	dL	dU	dL	dU	dL	dU	dL	dU
	0, 95	1, 23	0, 83	1, 40	0, 71	1, 61	0, 59	1, 84	0, 48	2, 09
	0, 98	1, 24	0, 86	1, 40	0, 75	1, 59	0, 64	1, 80	0, 53	2, 03
	1, 01	1, 25	0, 90	1, 40	0, 79	1, 58	0, 68	1, 77	0, 57	1, 98
	1, 03	1, 26	0, 93	1, 40	0, 82	1, 56	0, 72	1, 74	0, 62	1, 93
	1, 06	1, 28	0, 96	1, 41	0, 86	1, 55	0, 76	1, 72	0, 66	1, 90
	1, 08	1, 28	0, 99	1, 41	0, 89	1, 54	0, 79	1, 70	0, 70	1, 87
	1, 10	1, 30	1, 01	1, 41	0, 92	1, 54	0, 83	1, 69	0, 73	1, 84
	1, 12	1, 31	1, 04	1, 42	0, 95	1, 54	0, 86	1, 68	0, 77	1, 82
	1, 14	1, 32	1, 06	1, 42	0, 97	1, 54	0, 89	1, 67	0, 80	1, 80
	1, 16	1, 33	1, 08	1, 43	1, 00	1, 54	0, 91	1, 66	0, 83	1, 79
	1, 18	1, 34	1, 10	1, 43	1, 02	1, 54	0, 94	1, 65	0, 86	1, 77
	1, 19	1, 35	1, 12	1, 44	1, 04	1, 54	0, 96	1, 65	0, 88	1, 76
	1, 21	1, 36	1, 13	1, 44	1, 06	1, 54	1, 99	1, 64	0, 91	1, 75
	1, 22	1, 37	1, 15	1, 45	1, 08	1, 54	1, 01	1, 64	0, 93	1, 74
	1, 24	1, 38	1, 17	1, 45	1, 10	1, 54	1, 03	1, 63	0, 96	1, 73
	1, 25	1, 38	1, 18	1, 46	1, 12	1, 54	1, 05	1, 63	0, 98	1, 73
	1, 26	1, 39	1, 20	1, 47	1, 13	1, 55	1, 07	1, 63	1, 00	1, 72
	1, 27	1, 40	1, 21	1, 47	1, 15	1, 55	1, 08	1, 63	1, 02	1, 71
	1, 28	1, 41	1, 22	1, 48	1, 16	1, 55	1, 10	1, 63	1, 04	1, 71
	1, 29	1, 41	1, 24	1, 48	1, 17	1, 55	1, 12	1, 63	1, 06	1, 70
	1, 30	1, 42	1, 25	1, 48	1, 19	1, 55	1, 13	1, 63	1, 07	1, 70
	1, 31	1, 43	1, 26	1, 49	1, 20	1, 56	1, 15	1, 63	1, 09	1, 70
	1, 32	1, 43	1, 27	1, 49	1, 21	1, 56	1, 16	1, 62	1, 10	1, 70
	1, 33	1, 44	1, 28	1, 50	1, 23	1, 56	1, 17	1, 62	1, 12	1, 70
	1, 34	1, 44	1, 29	1, 50	1, 24	1, 56	1, 19	1, 63	1, 13	1, 69
	1, 35	1, 45	1, 30	1, 51	1, 25	1, 57	1, 20	1, 63	1, 15	1, 69
	1, 39	1, 48	1, 34	1, 53	1, 30	1, 58	1, 25	1, 63	1, 21	1, 69
	1, 42	1, 50	1, 38	1, 54	1, 34	1, 59	1, 30	1, 64	1, 26	1, 69
	1, 45	1, 52	1, 41	1, 56	1, 37	1, 60	1, 33	1, 64	1, 30	1, 69
	1, 47	1, 54	1, 44	1, 57	1, 40	1, 61	1, 37	1, 65	1, 33	1, 69
	1, 49	1, 55	1, 46	1, 59	1, 43	1, 62	1, 40	1, 66	1, 36	1, 69
	1, 51	1, 57	1, 48	1, 60	1, 45	1, 63	1, 42	1, 66	1, 39	1, 70
	1, 53	1, 58	1, 50	1, 61	1, 47	1, 64	1, 45	1, 67	1, 42	1, 70
	1, 54	1, 59	1, 52	1, 62	1, 49	1, 65	1, 47	1, 67	1, 44	1, 70
	1, 56	1, 60	1, 53	1, 63	1, 51	1, 65	1, 49	1, 68	1, 46	1, 71
	1, 57	1, 61	1, 55	1, 64	1, 53	1, 66	1, 50	1, 69	1, 48	1, 71
	1, 58	1, 62	1, 65	1, 65	1, 54	1, 67	1, 52	1, 69	1, 50	1, 71
	1, 59	1, 63	1, 67	1, 65	1, 55	1, 67	1, 53	1, 70	1, 51	1, 72

 

n - число наблюдений, k - число объясняющих переменных

 

 

Таблица критических величин n_u критерия последовательности знаков

 

n1

n2

 

 

n1

n2

 

 

Двусторонние квантили t - распределения Стьюдента

 

m	a
	0, 10	0, 05	0, 025	0, 020	0, 010	0, 005	0, 001
	6, 314	12, 706	25, 452	31, 821	63, 657	127, 3	636, 6
	2, 920	4, 303	6, 205	6, 965	9, 925	14, 089	31, 598
	2, 353	3, 182	4, 177	4, 541	5, 841	7, 453	12, 941
	2, 132	2, 776	3, 495	3, 747	4, 604	5, 597	8, 610
	2, 015	2, 571	3, 163	3, 365	4, 032	4, 773	6, 859
	1, 943	2, 447	2, 969	3, 143	3, 707	4, 317	5, 959
	1, 895	2, 365	2, 841	2, 998	3, 499	4, 029	5, 405
	1, 860	2, 306	2, 752	2, 896	3, 355	3, 833	5, 041
	1, 833	2, 262	2, 685	2, 821	3, 250	3, 690	4, 781
	1, 812	2, 228	2, 634	2, 764	3, 169	3, 581	4, 587
	1, 782	2, 179	2, 560	2, 681	3, 055	3, 428	4, 318
	1, 761	2, 145	2, 510	2, 624	2, 977	3, 326	4, 140
	1, 746	2, 120	2, 473	2, 583	2, 921	3, 252	4, 015
	1, 734	2, 101	2, 445	2, 552	2, 878	3, 193	3, 922
	1, 725	2, 086	2, 423	2, 528	2, 845	3, 153	3, 849
	1, 717	2, 074	2, 405	2, 508	2, 819	3, 119	3, 792
	1, 711	2, 064	2, 391	2, 492	2, 797	3, 092	3, 745
	1, 706	2, 056	2, 379	2, 479	2, 779	3, 067	3, 707
	1, 701	2, 048	2, 369	2, 467	2, 763	3, 047	3, 674
	1, 697	2, 042	2, 360	2, 457	2, 750	3, 030	3, 646
¥	1, 645	1, 960	2, 241	2, 326	2, 576	2, 807	3, 291

 

m - число степеней свободы

 

Квантили распределения c²

 

Число степеней свободы	Уровень значимости
0, 50	0, 30	0, 20	0, 10	0, 05	0, 01
	0, 455	1, 074	1, 642	2, 706	3, 841	6, 635
	1, 386	2, 408	3, 219	4, 605	5, 991	9, 210
	2, 366	3, 665	4, 642	6, 251	7, 815	11, 341
	3, 357	4, 878	5, 989	7, 779	9, 488	13, 277
	4, 351	6, 064	7, 289	9, 236	11, 070	15, 086
	5, 348	7, 231	8, 558	10, 645	12, 592	16, 812
	6, 346	8, 383	9, 803	12, 017	14, 067	18, 475
	7, 344	9, 524	11, 030	13, 362	15, 507	20, 090
	8, 343	10, 656	12, 242	14, 684	16, 919	21, 666
	9, 342	11, 781	13, 442	15, 987	18, 307	23, 209
	10, 341	12, 899	14, 631	17, 272	19, 675	24, 725
	11, 340	14, 011	15, 812	18, 549	21, 026	26, 217
	12, 340	15, 119	16, 985	19, 812	22, 362	27, 688
	13, 339	16, 222	18, 151	21, 064	23, 685	29, 141
	14, 339	18, 322	19, 311	22, 307	24, 996	30, 578
	15, 338	18, 418	20, 465	23, 542	26, 296	32, 000
	17, 338	20, 601	22, 760	25, 989	28, 869	34, 805
	19, 337	22, 775	25, 038	28, 412	31, 410	37, 566
	23, 337	27, 096	29, 553	33, 196	36, 415	42, 980
	29, 336	33, 530	36, 250	40, 256	43, 773	50, 892

 

Если число степеней свободы больше 30, то выражение можно рассматривать как переменную со стандартным нормальным распределением, где n - число степеней свободы.

 

95% квантили распределения Фишера F(n₁, n₂)

 

n2	n1
																			¥
	18, 5	19, 0	19, 2	19, 2	19, 3	19, 3	19, 4	19, 4	19, 4	19, 4	19, 4	19, 4	19, 4	19, 5	19, 5	19, 5	19, 5	19, 5	19, 5
	10, 1	9, 55	9, 28	9, 12	9, 01	8, 94	8, 89	8, 85	8, 81	8, 79	8, 74	8, 70	8, 66	8, 64	8, 62	8, 59	8, 57	8, 55	8, 53
	7, 71	6, 94	6, 59	6, 39	6, 26	6, 16	6, 09	6, 04	6, 00	5, 96	5, 91	5, 86	5, 80	5, 77	5, 75	5, 72	5, 69	5, 66	5, 63
	6, 61	5, 79	5, 41	5, 19	5, 05	4, 95	4, 88	4, 82	4, 77	4, 74	4, 68	4, 62	4, 56	4, 53	4, 50	4, 46	4, 43	4, 40	4, 37
	5, 99	5, 14	4, 76	4, 53	4, 39	4, 28	4, 21	4, 15	4, 10	4, 06	4, 00	3, 94	3, 87	3, 84	3, 81	3, 77	3, 74	3, 70	3, 67
	5, 59	4, 74	4, 35	4, 12	3, 97	3, 87	3, 79	3, 73	3, 68	3, 64	3, 57	3, 51	3, 44	3, 41	3, 38	3, 34	3, 30	3, 27	3, 23
	5, 32	4, 46	4, 07	3, 84	3, 69	3, 58	3, 50	3, 44	3, 39	3, 35	3, 28	3, 22	3, 15	3, 12	3, 08	3, 04	3, 01	2, 97	2, 93
	5, 12	4, 26	3, 86	3, 63	3, 48	3, 37	3, 29	3, 23	3, 18	3, 14	3, 07	3, 01	2, 94	2, 90	2, 86	2, 83	2, 79	2, 75	2, 71
	4, 96	4, 10	3, 71	3, 48	3, 33	3, 22	3, 14	3, 07	3, 02	2, 98	2, 91	2, 85	2, 77	2, 74	2, 70	2, 66	2, 62	2, 58	2, 54
	4, 84	3, 98	3, 59	3, 36	3, 20	3, 09	3, 01	2, 95	2, 90	2, 85	2, 79	2, 72	2, 65	2, 61	2, 57	2, 53	2, 49	2, 45	2, 40
	4, 75	3, 89	3, 49	3, 26	3, 11	3, 00	2, 91	2, 85	2, 80	2, 75	2, 69	2, 62	2, 54	2, 51	2, 47	2, 43	2, 38	2, 34	2, 30
	4, 67	3, 81	3, 41	3, 18	3, 03	2, 92	2, 83	2, 77	2, 71	2, 67	2, 60	2, 53	2, 46	2, 42	2, 38	2, 34	2, 30	2, 25	2, 21
	4, 60	3, 74	3, 34	3, 11	2, 96	2, 85	2, 76	2, 70	2, 65	2, 60	2, 53	2, 46	2, 39	2, 35	3, 31	2, 27	2, 22	2, 18	2, 13
	4, 54	3, 68	3, 29	3, 06	2, 90	2, 79	2, 71	2, 64	2, 59	2, 54	2, 48	2, 40	2, 33	2, 29	2, 25	2, 20	2, 16	2, 11	2, 07
	4, 49	3, 53	3, 24	3, 01	2, 85	2, 74	2, 66	2, 59	2, 54	2, 49	2, 42	2, 35	2, 28	2, 24	2, 19	2, 15	2, 11	2, 06	2, 01
	4, 41	3, 55	3, 16	2, 93	2, 77	2, 66	2, 58	2, 51	2, 46	2, 41	2, 34	2, 27	2, 19	2, 15	2, 11	2, 06	2, 02	1, 97	1, 92
	4, 35	3, 49	3, 10	2, 87	2, 71	2, 60	2, 51	2, 45	2, 39	2, 35	2, 28	2, 20	2, 12	2, 08	2, 04	1, 99	1, 95	1, 90	1, 84
	4, 30	3, 44	3, 05	2, 82	2, 66	2, 55	2, 46	2, 40	2, 34	2, 30	2, 23	2, 15	2, 07	2, 03	1, 98	1, 94	1, 89	1, 84	1, 78
	4, 26	3, 40	3, 01	2, 78	2, 62	2, 51	2, 42	2, 36	2, 30	2, 25	2, 18	2, 11	2, 03	1, 98	1, 94	1, 89	1, 84	1, 79	1, 73
	4, 24	3, 39	2, 99	2, 76	2, 60	2, 49	2, 40	2, 34	2, 28	2, 24	2, 16	2, 09	2, 01	1, 96	1, 92	1, 87	1, 82	1, 77	1, 71
	4, 17	3, 32	2, 92	2, 69	2, 53	2, 42	2, 33	2, 27	2, 21	2, 16	2, 09	2, 01	1, 93	1, 89	1, 84	1, 79	1, 74	1, 68	1, 62
	4, 08	3, 23	2, 84	2, 61	2, 45	2, 34	2, 25	2, 18	2, 12	2, 08	2, 00	1, 92	1, 84	1, 79	1, 74	1, 69	1, 64	1, 58	1, 51
	4, 00	3, 15	2, 76	2, 53	2, 37	2, 25	2, 17	2, 10	2, 04	1, 99	1, 92	1, 84	1, 75	1, 70	1, 65	1, 59	1, 53	1, 47	1, 39
	3, 92	3, 07	2, 68	2, 45	2, 29	2, 18	2, 09	2, 02	1, 96	1, 91	1, 83	1, 75	1, 66	1, 61	1, 55	1, 50	1, 43	1, 35	1, 25
¥	3, 84	3, 00	2, 60	2, 37	2, 21	2, 10	2, 01	1, 94	1, 88	1, 83	1, 75	1, 67	1, 57	1, 52	1, 46	1, 39	1, 32	1, 22	1, 00

n₁ – число степеней свободы числителя, n₂ – число степеней свободы знаменателя

 

Эконометрика

 

Учебное пособие

 

 

⇐ Предыдущая78910111213141516

Поделиться: