Системы дифференциальных уравнений.

Ознакомительно изучим системы дифференциальных уравнений. Как правило, система из n уравнений сводится к уравнению порядка n, поэтому часто для решения систем дифф. уравнений достаточно уметь решать уравнения порядка n. Однако здесь есть и матричный метод решения, не предполагающий сведение системы к уравнению.

 

Если есть несколько равенств, выражающих производные от различных функций через сами эти функции, например,

то говорят, что задана система дифференциальных уравнений.

Если рассматривать столбец, состоящий из функций как векторную функцию, то вид записи системы похож на вид уравнения 1 порядка: .

Как правило, при размерности пространства 3, в физических задачах, переменную обозначают (время), а функции .

Если все функции не зависят от , а выражаются только через , то система называется автономной.

 

Система линейных однородных дифференциальных уравнений:

В 2-мерном случае

В 3-мерном случае

Физический смысл. Вектор, состоящий из производных, это вектор скорости, а выражен он через координаты в момент времени . Получается, что система дифференциальных уравнений задаёт закон движения некоторого потока частиц. К примеру, если в некотором объёме дует ветер, то от того, куда поместить пылинку, зависит траектория её дальнейшего полёта. Если поток не меняется, то траектория не зависит от времени (когда система автономна). Задать координаты в нулевой момент времени означает задать условия Коши для системы дифференциальных уравнений.

Методы решения. Можно свести систему из двух уравнений 1-го порядка к одному уравнению, но 2-го порядка. Рассмотрим на примере.
Пример. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение. Выразим из 1-го , тогда , подставим во 2-е: что сводится к .

Это линейное однородное уравнение решается обычным образом, его общее решение .

Тогда , = .

Итак, общее решение системы:

, =

Его можно записать в векторной форме:

Кстати, векторы (1, 2) и (1, 3) являются собственными векторами матрицы этой системы, причём они соответствуют собственным числам 1 и 2. Существует и второй способ решения систем: с помощью собственных векторов.

 

,

Корни то есть 1 и 2. Ищем собственные векторы:

При нужно решить систему , т.е.

, что даёт вектор (1, 2).

При нужно решить систему , т.е.

, что даёт вектор (1, 3).

ФСР состоит из собственных векторов, умноженных на экспоненты в степени собственных чисел.

.

Приложение 1. Вопросы на доказательства (для билетов).

Лекция № 1

1. Докажите формулу интегрирования по частям.

Лекция № 2

1. Доказать, что замена , где r = НОК (r₁,..., r_k) сводит интеграл к интегралу от рациональной дроби.

2. Доказать, что замена замена сводит интеграл вида к интегралу от рациональной дроби.

3. Вывести формулы преобразования синуса и косинуса

для универсальной тригонометрической замены .

4. Доказать, что в случае, когда функция нечётна относительно косинуса, замена сводит интеграл к рациональной дроби.

5. Доказать, что в случае, когда

замена: сводит интеграл к рациональной дроби.

6. Доказать, что для интеграла вида замена своит интеграл к рациональной дроби.

7. Доказать формулу

8. Доказать, что для интеграла вида замена своит интеграл к рациональной дроби.

9. Доказать, что для интеграла вида замена сводит интеграл к рациональной дроби.

 

Лекция № 3

1. Доказать, что функция является первообразной от функции .

2. Доказать формулу Ньютона- Лейбница: .

3. Доказать формулу длины явно заданной кривой:

.

4. Доказать формулу длины кривой, заданной в полярных координатах

Лекция № 4

Докажите теорему: сходится , сходится .

Лекция № 5

1. Вывести (доказать) формулу площади явно заданной поверхности .

2. Вывод формул перехода к полярным координатам .

3. Вывод определителя Якоби полярных координат .

4. Вывод формул перехода к цилиндрическим координатам .

5. Вывод определителя Якоби цилиндрических координат .

6. Вывод формул перехода к сферическим координатам:

.

 

Лекция № 6

1. Доказать, что замена сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

2. Вывести общий вид решения линейного однородного уравнения.

3. Вывести общий вид решения линейного неоднородного уравнения методом Лагранжа.

4. Доказать, что замена сводит уравнение Бернулли к линейному уравнению.

 

Лекция № 7.

1. Доказать, что замена понижает на k порядок уравнения .

2. Доказать, что замена понижает на единицу порядок уравнения .

3. Доказать теорему: Функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения есть характеристический корень.

4. Доказать теорему о том, что линейная комбинация решений линейного однородного дифф. уравнения тоже есть его решение.

5. Доказать теорему о наложении решений: Если - решение линейного неоднородного дифф.уравнения с правой частью , а - решение такого же дифф.уравнения, но с правой частью , то сумма является решением уравнения с правой частью .

 

 

Лекция № 8.

1. Доказать теорему о том, что система функций линейно-зависима .

2. Доказать теорему о том, что существует n линейно-независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n.

3. Доказать, что если 0 является корнем кратности , то система решений, соответствующих этому корню, имеет вид .

 

Приложение 2.

Мелкие и устные вопросы на знание теории (для коллоквиумов).

 

Лекция № 1

1. Что такое первообразная и неопределённый интеграл, чем они отличаются?

2. Объяснить, почему тоже является первообразной.

3. Напишите формулу интегрирования по частям.

4. Какая замена требуется в интеграле вида и каким образом она устраняет корни?

5. Запишите вид разложения подынтегральной рациональной дроби на простейшие в случае, когда все корни различны и действительны.

6. Запишите вид разложения подынтегральной рациональной дроби на простейшие в случае, когда все корни действительны, и есть один кратный корень кратности k.

 

Лекция № 2.

1. Напишите, какое разложение рациональной дроби на простейшие в случае, когда в знаменателе есть множитель 2 степени с отрицательным дискриминантом.

2. Какая замена сводит интеграл к рациональной дроби?

3. Что такие универсальная тригонометрическая подстановка?

4. Какие замены производятся в случаях, когда функция под знаком интеграла нечётна относительно синуса (косинуса)?

5. Какие замены производятся в случае наличия в подынтегральной функции выражений , , или .

 

Лекция № 3.

1. Определение определённого интеграла.

2. Перечислите некоторые из основных свойств определённого интеграла.

3. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

4. Напишите формулу объёма тела вращения.

5. Напишите формулу длины явно заданной кривой.

6. Напишите формулу длины параметрически заданной кривой.

 

Лекция № 4.

1. Определение несобственного интеграла (с помощью предела).

2. Чем отличаются несобственные интегралы 1 и 2 рода.

3. Приведите простые примеры сходящихся интегралов 1 и 2 рода.

4. При каких сходятся интегралы (Т1).

5. Как сходимость связана с конечным пределом первообразной (Т2)

6. Что такое необходимый признак сходимости, его формулировка.

7. Признак сравнения в конечной форме

8. Признак сравнения в предельной форме.

9. Определение кратного интеграла.

 

Лекция № 5.

1. Смена порядка интегрирования, показать на простейшем примере.

2. Напишите формулу площади поверхности.

3. Что такое полярные координаты, напишите формулы перехода.

4. Чему равен якобиан полярной системы координат?

5. Что такое цилиндрические и сферические координаты, в чём их отличие.

6. Чему равен якобиан цилиндрических (сферических) координат.

 

Лекция № 6.

1. Что такое дифференциальное уравнение 1 порядка (общий вид).

2. Что такое дифференциальное уравнение 1 порядка, разрешённое относительно производной. Приведите какой-нибудь пример.

3. Что такое уравнение с разделяющимися переменными.

4. Что такое общее, частное решение, условия Коши.

5. Что такое однородное уравнение, каков общий метод его решения.

6. Что такое линейное уравнение, в чём состоит алгоритм его решения, что такое метод Лагранжа.

7. Что такое уравнение Бернулли, алгоритм его решения.

 

Лекция № 7.

1. Какая замена необходима для уравнения вида .

2. Какая замена необходима для уравнения вида .

3. Покажите на примерах, как можно выразить в виде .

4. Что такое линейное дифференциальное уравнение порядка n.

5. Что такое характеристический многочлен, характеристическое уравнение.

6. Сформулировать теорему о том, при каком r функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения.

7. Сформулировать теорему о том, что линейная комбинация решений линейного однородного уравнения тоже есть его решение.

8. Сформулировать теорему о наложении решений и следствия из неё.

9. Что такое линейно-зависимая и линейно-независимая системы функций, привести какие-нибудь примеры.

10. Что такое определитель Вронского системы из n функций, приведите пример определителя Вронского для ЛЗС и ЛНС систем.

 

Лекция № 8.

1. Каким свойством обладает определитель Вронского, если система функция линейно-завимима.

2. Сколько существует линейно-независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n.

3. Определение ФСР (фундаментальной системы решений) линейного однородного уравнения порядка n.

4. Сколько функций содержится в ФСР?

5. Запишите вид системы уравнений для нахождения методом Лагранжа при n=2.

6. Запишите вид частного решения в случае, когда

.

7. Что такое линейная система дифференциальных уравнений, напишите какой-нибудь пример.

8. Что такое автономная система дифференциальных уравнений.

9. Физический смысл системы дифференциальных уравнений.

10. Запишите, из каких функций состоит ФСР системы уравнений, если известны собственные числа и собственные векторы основной матрицы этой системы.

 

Приложение 3. Задачи из лекций.

Лекция № 1

Пример. . Пример. .

Пример. . Пример. .

Пример. Пример. .

Пример. . Пример. .

Лекция № 2

Пример. . Пример. .

Пример. . Пример. .

Пример. . Пример. .

 

Лекция № 3 , , , , .

Пример. Вычислить .

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Пример. Вывести формулу объёма шара .

Лекция № 4

Вычислить , , , .

Выяснить сходимость: , .

Вычислить , где есть квадрат: , .

Вычислить , D треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (1, 1).

 

 

Лекция № 5.

Пример. Сменить порядок интегрирования .

Пример. Вычислить интеграл где D куб .

Пример. Вычислить интеграл где D - четверть круга единичного радиуса в первой четверти плоскости.

Пример. Доказать формулу площади круга с помощью полярных координат.

 

Пример. С помощью сферических координат вывести формулу объёма шара .

 

Лекция № 6.

Пример. Решить дифф. уравнение .

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Пример. Решить уравнение .

Пример. Решить уравнение .

Пример. Решить линейное уравнение .

 

Лекция № 7.

Пример. Решить уравнение 2 порядка .

Пример. Решить уравнение 3 порядка .

Пример.Решить уравнение .

Пример.Решить уравнение .

Пример. Решить уравнение .

Лекция № 8.

Пример. Решить уравнение методом Лагранжа (вариации произвольных постоянных).

Пример. Решить уравнение методом неопределённых коэффициентов (по виду правой части).

 

Пример. Решить систему с помощью сведения системы к одному уравнению.

Пример. Решить систему с помощью собственных чисел и векторов.

 

Поделиться: