Предмет и задачи геодезии. История развития геодезии.

А.И. Красильников

В.В. Ковалев

Учебное пособие по дисциплине «Г Е О Д Е З И Я»

(по специальности среднего профессионального образования

Прикладная геодезия»)

Г. Мурманск

Год

 

Государственное автономное образовательное учреждение Мурманской области среднего профессионального образования «Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»

 

 

А.И. Красильников

В.В. Ковалев

 

 

Учебное пособие для студентов среднего профессионального образования по специальности среднего профессионального образования

Прикладная геодезия»

Рекомендовано научно-методическим советом МСК Государственного автономного образовательного учреждения Мурманской области среднего профессионального образования «Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»

 

Г. Мурманск

Год

Рецензент Н.Г. Пономаренко, заместитель руководителя Управления Федеральной службы государственной регистрации, кадастра и картографии

По г. Санкт-Петербургу

Технический редактор С.А. Рожнов, заместитель начальника отдела геодезии и картографии Управления Федеральной службы государственной регистрации, кадастра и картографии по

Г. Санкт-Петербургу

Изложены предмет и задачи геодезии, сведения о системах координат и высот, методах построения плановых и высотных геодезических сетей, элементы теории погрешностей измерений, приборы и методы, применяемые для измерения углов и расстояний, приборы и методы нивелирования.

Предназначено для студентов, обучающихся по программе среднего профессионального образования 120101 «Прикладная геодезия».

Пособие может быть использованов дополнительном профессиональном образовании (в программах повышения квалификации и переподготовки) и профессиональной подготовке по профессии рабочих: 120192 «Замерщик на топографо-геодезических и маркшейдерских работах».

 

 

Предмет и задачи геодезии. История развития геодезии.

Г е о д е з и я - греческое слово, означающее: гео - Земля, дезио -делить, разделять, т.е. з е м л е р а з д е л е н и е.

Геодезия - область науки, техники и производства, разрабатывающая средства и методы измерений, а так же методы вычислений взаимного и пространственного положения объектов, параметров Земли и ее объектов и изменения этих параметров во времени.

Геодезия - это наука, изучающая форму и размеры Земли и разрабатывающая вопросы создания координатной плановой и высотной основы для детального изучения физической поверхности Земли средствами и методами картографии и топографии.

В редакции Федерального закона от 26.12.1995 № 209-ФЗ «О геодезии и картографии»:

Геодезия - область отношений, возникающих в процессе научной, технической и производственной деятельности по определению фигуры, размеров, гравитационного поля Земли, координат точек земной поверхности и их изменений во времени.

Геодезия состоит из следующих дисциплин:

Теоретическая геодезия – занимается разработкой теорий и методов определений фигуры Земли (ее формы и размеров), внешнего гравитационного поля и их изменений во времени, используя астрономо-геодезические, гравиметрические, спутниковые и другие измерения высокой точности.

Сфероидическая геодезия – изучает геометрию земного эллипсоида, методы решения геодезических задач на его поверхности и в трехмерном пространстве, теорию его отображения на сфере, а также на плоскости с целью введения плоских прямоугольных координат.

Основные геодезические работы – изучает средства и методы высокоточных геодезических измерений, а также математической обработки результатов измерений с целью построения и закрепления на местности плановых и высотных государственных геодезических сетей.

Эти три дисциплины традиционно составляют содержание высшей геодезии.

Космическая (спутниковая) геодезия - изучает вопросы использования наблюдений искусственных и естественных спутников Земли для решения научных и научно-технических задач геодезии.

Топография – изучает средства и методы геодезических измерений с целью отображения земной поверхности на топографических картах и планах.

Морская геодезия решает задачи геодезии в пределах Мирового океана.

Прикладная, или инженерная, геодезия – изучает методы геодезических измерений, выполняемых при изысканиях, проектировании, строительстве и эксплуатации инженерных сооружений, монтаже оборудования, а так же при эксплуатации природных ресурсов.

Маркшейдерское дело – отрасль геодезии в горной науке и технике – занимается пространственно-геометрическими изображениями в недрах Земли и их отображением на планах, картах, и другой документации.

Предмет и задачи геодезии.

Задачи инженерной (прикладной) геодезии.

Этапы развития геодезии.

ФОРМА И РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

ВЫСОТЫ.

Фигура Земли сформировалась под воздействием многих процессов, связанных с её образованием и существованием. Решающее значение при этом имеют силы внутреннего тяготения и центробежные.

Если бы земля была однородна и неподвижна, то под действием сил только внутреннего тяготения, как фигура равновесия, она бы имела форму шара. Так, для приближенных вычислений Землю принимают за шар с радиусом 6371 км.

В результате действия центробежной силы, вызванной вращением Земли вокруг своей оси, Земля приобрела форму земного сфероида, сплюснутого у полюсов.

Представить фигуру Земли в качестве сфероида можно с большим обобщением. Реальная поверхность Земли - это поверхность материков, дна морей и океанов. Она сложна и напоминает сфероид лишь в целом.

Поэтому изучение формы и размеров Земли включает решение двух задач. Это - установление некоторой сглаженной, обобщенной, теоретической фигуры Земли и определение отклонений от нее фактической физической поверхности.

Учитывая, что поверхность океанов и морей составляет 71% поверхности Земли, а поверхность суши - только 29%, за теоретическую фигуру Земли принято тело, ограниченное поверхностью океанов в их спокойном состоянии, продолженной и под материками.

Для изучения фигуры Земли введено понятие уровенной поверхности.

Уровенная поверхность – поверхность, на которой потенциал силы тяжести Земли всюду имеет одно и то же значение.

С геометрической точки зрения У.П. – поверхность, пересекающая отвесные линии во всех точках под прямым углом; с физической точки зрения – поверхность, во всех точках которой значение потенциала силы тяжести W одно и то же, т.е. W=C.

Физическая поверхность Земли

М

900

900

Эллипсоид

Основная уровенная поверхность (((геоид)

Отвесная линия

Нормаль

u

Рис. 1

N

Фигура Земли, образованная основной уровенной поверхностью, мысленно продолженной под всеми материками и континентами, называется г е о и д о м.

 

 

 

Из-за неравномерности распределения масс в земной коре геоид имеет неправильную геометрическую форму, и его поверхность нельзя выразить математически (Рис. 2), что необходимо для решения геодезических задач. При решении геодезических задач геоид заменяют близкими к нему геометрически правильными поверхностями.

Рис. 2

Ближе к форме геоида подходит эллипсоид – фигура, получаемая вращением эллипса (рис. 2) вокруг его малой оси.

Размеры земного эллипсоида характеризуют следующими основными параметрами: a - большая полуось, b - малая полуось, a - полярное сжатие и e – первый эксцентриситет меридианного эллипса, где и .

 

Рис. 3 Меридианный эллипс: Рс – северный полюс; Рю – южный полюс

 

Различают общеземной эллипсоид и референц-эллипсоид.

Центр общеземного эллипсоида помещают в центре масс Земли, ось вращения совмещают со средней осью вращения Земли, а размеры принимают такие, чтобы обеспечить наибольшую близость поверхности эллипсоида к поверхности геоида.

Общеземной эллипсоид используют при решении глобальных геодезических задач, и в частности, при обработке спутниковых измерений. В настоящее время широко пользуются двумя общеземными эллипсоидами: ПЗ-90 (Параметры Земли 1990 г, Россия) и WGS-84 (Мировая геодезическая система 1984 г, США).

Референц-эллипсоид – эллипсоид, принятый для геодезических работ в конкретной стране. С референц-эллипсоидом связана принятая в стране система координат. Параметры референц-эллипсоида подбираются под условием наилучшей аппроксимации данной части поверхности Земли. При этом совмещения центров эллипсоида и Земли не добиваются.

В России с 1946 г. в качестве референц-эллипсоида используется эллипсоид Красовского с параметрами: а = 6 378 245 м, a = 1/ 298, 3.

Параметры эллипсоида Красовского получены по результатам обработки геодезических измерений, выполненных на территории СССР в период с 1925 по 1940 год и введены в действие постановлением Совета Министров СССР №746 от 20 апреля 1946 года.

Системы координат и высот

Системы высот

Счет высот в геодезии ведут от одной из уровенных поверхностей.

Высотой точки называют расстояние по отвесной линии от точки до уровенной поверхности, принятой за начало счета высот.

Если высоты отсчитывают от основной уровенной поверхности, то есть от поверхности геоида, их называют абсолютными высотами. На рис. 7 отрезки отвесных линий Аа и Вв - абсолютные высоты точек А и В.

Если за начало счета высот выбрана какая-либо другая уровенная поверхность, то высоты называют условными. На рис. 7 отрезки отвесных линий Аа¢ и Вв¢ - условные высоты точек А и В.

В России принята Балтийская система высот. Счет абсолютных высот ведут от уровенной поверхности, проходящей через нуль Кронштадтского футштока.

Численное значение высоты принято называть отметкой. Например, если высота точки А равна H_А = 15, 378 м, то говорят, что отметка точки равна 15, 378 м.

Рис. 10 Абсолютные и условные высоты: a¢ b¢ – уровенная поверхность; ab –поверхность геоида; Ab² – уровенная поверхность точки A;

Разность высот двух точек называется превышением. Так, превышение точки В над точкой А равно

h_AB = H_В - H_A.

Зная высоту точки А, для определения высоты точки В на местности измеряют превышение h_AB. Высоту точки В вычисляют по формуле

H_В = H_A + h_AB.

Измерение превышений и последующее вычисление высот точек называется нивелированием.

Абсолютную высоту точки следует отличать от ее геодезической высоты, то есть высоты, отсчитываемой от поверхности земного эллипсоида (см. раздел 2.2). Геодезическая высота отличается от абсолютной высоты на величину отклонения поверхности геоида от поверхности эллипсоида.

В заключение отметим, что точное определение положения поверхности геоида в области материков невозможно. Поэтому в России принято отсчитывать высоты от близкой к геоиду, но доступной точному определению вспомогательной поверхности, названной квазигеоидом. Высоты, отсчитываемые от поверхности геоида, называются ортометрическими высотами, а отсчитываемые от поверхности квазигеоида – нормальными высотами. На результаты измерений, выполняемых в инженерной геодезии, различия в двух названных системах высот влияния не оказывают, и в дальнейшем мы их различать не будем, а будем пользоваться введенным выше обобщенным понятием – абсолютные высоты.

Принцип проекции в геодезии

Углы ориентирования

Ориентировать линию – значит определить её направление относительно исходного направления, например, меридиана или оси абсцисс х системы плоских прямоугольных координат.

Угол, измеряемый по ходу часовой стрелки от северного направления меридиана до заданного направления, называется азимутом.

Если исходным направлением служит геодезический меридиан, то азимут называют геодезическим азимутом. Если – астрономический, то - астрономическим азимутом. Обобщением обоих понятий служит термин - географический азимут или просто - азимут.

Значения азимута лежат в пределах от 0° до 360°. На рис. 13, а обозначено: С – северное направление меридиана, угол А₁ – азимут направления на точку 1 и А₂ – азимут направления на точку 2.

Рис. 13 Углы ориентирования: а - азимуты географические; б - магнитный азимут

На местности азимут заданного направления можно определить астрономическим методом - измерив горизонтальный угол между направлением на небесное светило (Солнце, звезду) и заданным направлением. Зная азимут светила, вычисляемый с использованием астрономического ежегодника, и измеренный угол, соображают азимут заданного направления.

Угол, отсчитываемый от северного направления магнитной стрелки до заданного направления, называется магнитным азимутом.

Магнитная стрелка компаса отклоняется от направления истинного меридиана на угол d, который называется склонением магнитной стрелки (рис. 13, б).

Если северный конец магнитной стрелки отклоняется от меридиана к востоку, то склонение называют восточным и считают положительным, а если - к западу, то называют западным и считают отрицательным.

Азимут с магнитным азимутом связывает формула:

где А - азимут, А_м - магнитный азимут и d – склонение магнитной стрелки.

Магнитные азимуты в геодезии измеряют буссолью (рис. 3.2). Однако точность этих измерений невысока (несколько минут), так как склонение магнитной стрелки непостоянно. На территории России оно меняется от места к месту в пределах от –15° до 25°. В аномальных районах (например, в районе Курской магнитной аномалии) эти изменения так велики, что магнитной стрелкой пользоваться нельзя. Кроме того, склонение изменяется во времени, испытывая суточные, годовые и вековые изменения.

Углом ориентирования, применяемым при использовании системы плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера, является дирекционный угол.

Дирекционным углом называется угол между северным направлением осевого меридиана или линии ему параллельной и заданным направлением (рис. 14).

Угол g между северным направлением меридиана и направлением оси абсцисс х прямоугольных координат (то есть линии, параллельной осевому меридиану) называется сближением меридианов.

 

Рис. 14. Углы ориентирования: а - дирекционные углы a₁, a₂; б - азимут A и дирекционный угол a

 

При отклонении оси абсцисс от меридиана к востоку, сближение меридианов считают положительным, а при отклонении к западу - отрицательным. При этом справедлива формула (рис. 14 б)

А = a + g,

где a - дирекционный угол, g - сближение меридианов.

Понятие дирекционного угла.

УСЛОВНЫЕ ЗНАКИ И ОФОРМЛЕНИЕ КАРТ

Условные знаки топографических карт — система графических, буквенных и цифровых обозначений, с помощью которых показывается на карте местоположение объектов местности, и передаются их качественные и количественные характеристики.

Условные знаки, изображающие одни и те же объекты, на картах масштаба 1: 25000—1: 200000 по своему начертанию почти одинаковые и отличаются только размерами.

Условные знаки подразделяются на масштабные, внемасштабные и пояснительные.

Масштабные (контурные) условные знаки состоят из контура (внешнего очертания объекта); изображаемого сплошной линией или пунктиром, внутри которого значками, цветом или штриховкой обозначается характер объекта.

Линейные условные знаки (разновидность масштабных условных знаков) применяются при изображении объектов линейного характера — дорог, линий электропередачи, границ и т. п. Местоположение и плановое очертание оси линейного объекта изображаются на карте точно, но их ширина значительно преувеличивается. Например, условный знак шоссе на картах масштаба 1: 100000 преувеличивает ее ширину в 8—10 раз.

В немасштабные условные знаки используются при изображении объектов, плановое очертание которых не может быть передано в масштабе карты. Местоположение таких объектов определяется главной точкой условного знака. Главными точками могут быть: геометрический центр фигуры, середина основания знака, вершина прямого угла или геометрический центр нижней фигуры.

Пояснительные условные знаки применяются для дополнительной характеристики объектов местности, например, стрелка на реке обозначает направление течения и т. п.

Рамки листов карт. Топографические карты создаются на большие территории; издаются отдельными листами, ограниченными рамками. Сторонами внутренних рамок служат линии параллелей и меридианов. Они делятся на отрезки, равные в градусной мере одной минуте (1') на картах масштаба 1: 25000—1: 200 000 и пяти минутам (5') на картах масштаба 1: 500000 и 1: 1000 000. Эти деления через одно залиты черной краской или заштрихованы. Каждый минутный отрезок на картах масштаба 1: 25 000—1: 100000 делится точками на шесть частей по 10" каждое, за исключением листов карты масштаба 1: 100 000, расположенных в пределах широт 60—76°, на которых минутные отрезки по северной и южной сторонам рамки делятся на три части (по 20" ), а расположенных севернее параллели 76°—на две части (по 30" ).

Зарамочное оформление топографических карт содержит справочные сведения о данном листе карты, сведения, дополняющие характеристику местности, и данные, облегчающие работу с картой.

Расположение элементов зарамочного оформления карт масштаба 1: 25 000, I: 50 000, I: 100 000, 1: 200 000 и 1: 500 000 показано на рис. 19. Они означают:

1. Система координат.

2. Название республики и области, территория которых изображена на данном листе.

Рис. 19. Расположение элементов зарамочного оформления карт масштаба 1: 25000, 1: 50 000, I: 100 000, 1: 200 000 и 1: 500000

 

3. Наименование ведомства, подготовившего и издавшего карту.

4. Номенклатура листа и название наиболее значительного населенного пункта (для карт масштаба 1: 200 000 и 1: 500 000 — только название населенного пункта).

5. Номер и год издания (на картах масштаба 1: 200 000 и 1: 500 000 номенклатура, номер и год издания указываются ниже подписи «Гриф карты»). 6. Гриф карты.

7. Метод и год съемки или год составления и исходные материалы, по которым составлена карта; год подготовки к изданию и печати карты.

8. Исполнители.

9. Шкала заложений (только на картах масштаба 1: 25 000, 1: 50000 и 1: 100000).

10. Численный масштаб.

11. Величина масштаба.

12. Линейный масштаб.

13. Высота сечения (на карте масштаба 1: 500000 здесь же дается шкала ступеней высот).

14. Система высот (за исключением карты масштаба 1 : 500 000).

15. Схема взаимного расположения вертикальной линии координатной сетки, истинного и магнитного меридианов и величины склонения магнитной стрелки, сближения меридианов и поправки направления (за исключением карты масштаба 1: 500000).

16. Данные о склонении магнитной стрелки, сближении меридианов и годовом склонении магнитной стрелки (эти сведения на карте масштаба 1: 500 000 не даются).

Кроме расположения элементов, показанных на рис. 1, на карте масштаба 1: 200 000 справа и слева от масштаба даются условные знаки, характеризующие проходимость местности, а на обороте или на полях листа печатаются схема грунтов и справка о местности- на карте масштаба 1: 500000 справа от масштаба размещаются схема расположения прилегающих листов и схема административного деления, а левее масштаба даются основные условные знаки.

ПОДБОР И ИСТРЕБОВАНИЕ КАРТ

Для подбора нужных листов карт служат сборные таблицы— схематические карты мелкого масштаба, на которых показаны разграфка и номенклатуры карт. Сборные таблицы издаются по масштабам. Для подбора листов карт на сборную таблицу соответствующего масштаба наносится полоса действий части или район учений и по разграфке, указанной на сборной таблице, выписываются номенклатуры листов, входящих в намеченный район.

 

Пример подбора карт масштаба 1: 100 000 на район, очерченный в таблице на рис. 6:

N—35—143, 144; М- 35— 11, 12; N—36—133, 134; M —36— 1, 2.

В случае отсутствия сборной таблицы номенклатуру листов карт определяют с помощью схем разграфки (см. рис. 2, 3, 4, 5). При этом возможны два случая.

Если известна номенклатура одного или нескольких листов и требуется определить номенклатуры ряда смежных листов, то берут схему разграфки карт соответствующего масштаба, на ней отмечают данные листы и выписывают номенклатуру смежных листов.

Если же приходится определять номенклатуру листов карт на новый район, то нужно по какой-либо географической карте определить географические координаты объекта, находящегося в нужном районе, по ним найти его положение на схеме разграфки листов карты масштаба 1: 1000 000 (см. рис. 21) и выписать номенклатуру этого листа. Затем по схеме разграфки листов карты соответствующего масштаба, приняв во внимание широту и долготу углов листа карты масштаба 1: 1000 000, находят положение объекта по его географическим координатам и выписывают номенклатуры нужных листов.

Рис. 21. Сборная таблица листов карты масштаба 1: 100000

 

 

Номенклатуру листов, смежных с имеющимся листом карты, можно узнать по подписям на рамке с соответствующей стороны (рис. 22).

Рис. 22. Подписи по сторонам рамки номенклатур смежных листов карты

Истребование карт. Выдача карт производится на основании заявок, составленных по установленной форме.

Заявка на топографические карты составляется по их масштабам, начиная с наиболее крупного, с последовательным переходом к более мелким. Номенклатуры записываются в возрастающем порядке, причем пишутся лишь новые (меняющиеся) буквы или числа номенклатуры, как показано в табл. 4. Номер и год издания указываются в том случае, когда карты уже имеются и желательно получить карты того же издания. Заполнять графу «состоит» обязательно. Итоги подсчитываются по каждому масштабу и по всей заявке.

Определение масштаба. Формы записи масштаба на планах и картах: численная, именованная, графическая. Точность масштаба.

Масштабом называется отношение длины отрезка на плане к длине горизонтальной проекции соответствующего отрезка местности. Масштаб записывают в виде дроби с числителем, равным единице, и знаменателем, показывающим, во сколько раз уменьшены на плане длины линий. При строительстве железных дорог для выбора варианта трассы используют планы масштабов 1: 2000 и 1: 5000, для рабочего проектирования - 1: 1000 и 1: 2000, для проектирования мостов, тоннелей, станций - 1: 500 ¸ 1: 2000.

Наряду с представлением масштаба в виде дроби (численного масштаба) пользуются именованным масштабом - его словесным описанием, например: “в одном сантиметре 20 метров”, что соответствует масштабу 1: 2000.

Для измерения расстояний на плане, под его нижней рамкой, помещают линейный масштаб, на котором несколько раз отложено одно и то же расстояние, называемое основанием масштаба и равное обычно 2 см. Крайнее левое основание делят на более мелкие отрезки. Деления линейного масштаба оцифровывают в метрах.

 

Линейный масштаб

Численный масштаб — масштаб карты, выраженный дробью, числитель которой — единица, а знаменатель — число, показывающее степень уменьшения на карте линий местности (точнее — их горизонтальных проложений); чем меньше знаменатель масштаба, тем крупнее масштаб карты. Подпись численного масштаба на картах обычно сопровождается указанием величины масштаба — расстояния на местности (в метрах или километрах), соответствующего одному сантиметру карты. Величина масштаба в метрах соответствует знаменателю численного масштаба без двух последних нулей,

При определении расстояния с помощью численного масштаба линия на карте измеряется линейкой и полученный результат в сантиметрах умножается на величину масштаба.

Линейный масштаб — графическое выражение численного масштаба; он представляет прямую линию, разделенную на определенные части, которые сопровождаются подписями, означающими расстояния на местности. Линейный масштаб служит для измерения и откладывания расстояний на карте. На рисунке расстояние между точками А и В равно 1850 м.

Измерение расстояний по линейному масштабу

Поперечный масштаб — график (обычно на металлической пластинке) для измерения и откладывания расстояний на карте с предельной графической точностью (0, 1 мм).

Стандартный (нормальный) поперечный масштаб (рис. II) имеет большие деления, равные 2 см, и малые деления (слева на графике), равные 2 мм', кроме того, на графике имеются отрезки между вертикальной и наклонной линиями, равные по первой горизонтальной линии — 0, 2 мм, по второй — 0, 4 мм, по третьей — 0, 6 мм и т. д. С помощью стандартного поперечного масштаба можно измерять и откладывать расстояния на карте любого (метрического) масштаба. Отсчет расстояния по поперечному масштабу состоит из суммы отсчета на основании графика и отсчета отрезка между вертикальной и наклонной линиями. На рисунке расстояние между точками А и В (при масштабе карты 1: 100 000) равно 5500 м (4 км +1400 м+100 м).

Вопросы для контроля

1. Понятие плана и карты.

ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Измеренных величин.

В практике геодезических измерений определяемые величины обычно являются функциями других, непосредственно измеряемых величин. Рассмотрим функцию u независимых переменных x, y, z, …

u = f (x, y, z…).

Продифференцируем функцию (5.5) по всем переменным и заменим дифференциалы du, dx, dy, dz, …. погрешностями Du, Dx, Dy, Dz, ….

Получили выражение случайной погрешности Du в зависимости от случайной комбинации погрешностей Dx, Dy, Dz, …. Положим, что имеем n таких комбинаций, которым соответствует n выражений:

(i = 1, 2, …, n)

Возведем полученные выражения в квадрат, сложим и разделим на n:

,

где квадратными скобками обозначены суммы.

Устремим число комбинаций в бесконечность (n ® ¥ ) и, воспользовавшись выражениями, получим: , , , , .

 

И окончательно

Итак, квадрат средней квадратической погрешности функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждой переменной, умноженных на их средние квадратические погрешности.

Частные случаи.

1. Функция u является суммой переменных x, y, z:

u = x + y + z.

В этом случае =1, =1, =1. Следовательно

= + + .

2. Функция u является разностью переменных x и y:

u = x - y.

В этом случае =1, =-1. Следовательно

= + .

3. Функция u имеет вид:

u = k× x,

где k – постоянный множитель. Теперь = k, поэтому = k²× и

m_u = k× m_x.

4. Функция u является линейной функцией от x, y, z, …:

u = k₁ x + k₂ y + k₃ z …,

где k_i ­постоянные множители. Теперь частные производные равны =k₁, = k₂, = k₃. Поэтому

.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Определить среднюю квадратическую погрешность превышения, вычисленного по горизонтальному расстоянию d=124, 16 м и углу наклона n=2°16´, если m_d = 0, 06 м, а m_n = 1´.

Превышение вычисляют по формуле

h = d tgν .

Продифференцируем формулу по переменным d и n:

, .

Используя формулу общего вида (5.6) получим

Подставляя исходные данные, найдем

где 3438¢ -­ число минут в радиане. И окончательно m_h=0, 036.м.

Пример 2. При геометрическом нивелировании (см. раздел 9.2) превышение вычисляют как разность отчетов по рейкам

h = a - b.

Отчеты берут с точностью m_a = m_b = 2 мм. Находим среднюю квадратическую погрешность превышения

= 2, 8 мм

Пример 3. Выведем формулу допустимой угловой невязки замкнутого теодолитного хода (см. раздел 9.4). Невязку вычисляют по формуле

f_b= b₁+ b₂+ ¼ + b_n-180°(n-2),

где b_i – измеренные углы (i = 1, 2, ¼, n) и n – их число.

Невязка - результат погрешностей в углах b_i. Поэтому средняя квадратическая погрешность невязки равна

m_f = = ,

где m₁ = m₂ =¼ = m_n = m – средняя квадратическая погрешность измерения угла. Примем ее равной m = 0, 5¢.

Допуском угловой невязки (f_b)_доп служит предельная погрешность (f_b)_пред=2m_f. Получаем формулу

(f_b)_доп = 1¢ .

Равноточных измерений

Арифметическая средина результатов равноточных измерений. Пусть имеем результаты многократных равноточных измерений одной величины: l₁, l₂, …, l_n. Рассмотрим их среднее арифметическое

l_i= Х + Δ _i (i = 1, 2, … n)

Поэтому напишем

= X -

Согласно с увеличением числа измерений сумма случайных погрешностей, деленная на их число, стремится к нулю, и, следовательно, среднее арифметическое L стремится к истинному значению Х. Поэтому значение определяемой величины принимают равным среднему арифметическому.

Средняя квадратическая погрешность арифметической средины. Пусть точность результатов измерений l₁, l₂, …, l_n характеризуется средними квадратическими погрешностями

m₁ = m₂ = ¼ = m_n = m

и требуется найти среднюю квадратическую погрешность M арифметической средины.

Представим формулу (5.7) в следующем виде:

L = .

Среднюю квадратическую погрешность арифметической средины найдем как погрешность функции измеренных величин по формуле (5.6)

 

или

Формула (5.8) показывает, что погрешность арифметической средины с ростом числа измерений убывает пропорционально квадратному корню из этого числа. Так, чтобы погрешность среднего арифметического уменьшить в 2 раза, число измерений надо увеличить в 4 раза.

Обработка результатов равноточных измерений. Математическая обработка ряда результатов l₁, l₂, …, l_n прямых равноточных измерений одной величины выполняется в следующей последовательности:

1. Вычисляют среднее арифметическое L

.

2. Вычисляют поправки к v_i результатам измерений

(i = 1, 2, …, n)

Контролем правильности вычислений служит сумма поправок, которая должна быть близка к нулю.

3. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле Бесселя:

.

Значение m вычисляют с двумя-тремя значащими цифрами.

4. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического

.

Неравноточных измерений

Веса измерений. Неравноточными называют измерения, выполненные приборами различной точности, разным числом приемов, в различных условиях.

При неравноточных измерениях точность каждого результата измерений характеризуется своей среднеквадратической погрешностью. Наряду со средней квадратической погрешностью при обработке неравноточных измерений пользуются относительной характеристикой точности – весом измерения. Вес i-го измерения вычисляют по формуле

где с – произвольная постоянная, назначаемая вычислителем, m_i – средняя квадратическая погрешность i-го измерения.

Так, имея ряд результатов измерений l₁, l₂, ..., l_n, со средними квадратическими погрешностями m₁ , m₂, ..., m_n, определяют их веса:

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: