Поиск точек экстремума функции в заданном интервале.

y

f(x)

 

x₀ x

 

 

Точка экстремума - это точка минимума или максимума функции f(x).

Точка х_о называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если f (х₀) есть наибольшее (наименьшее) значение функции f(x) в некоторой окрестности точки х_о.

Функция на данном интервале может иметь несколько экстремумов, причём какой-нибудь минимум может оказаться больше какого-нибудь максимума.

На графике точкам экстремума соответствуют вершины линии, обращённые соответственно вверх или вниз.

Обычно встречающиеся функции имеют на заданном конечном интервале лишь конечное, определённое число точек экстремума.

Установим теперь признак, дающий необходимое условие того, чтобы данная точка являлась точкой экстремума.

Необходимый признак экстремума. Если в точке х_о функция f достигает экстремума, то её производная равна нулю, либо не существует.

Важно подчеркнуть, что необходимый признак экстремума не является достаточным, т.е. из того, что производная в данной точке обращается в нуль (или её не существует), ещё не следует, что эта точка обязательно будет точкой экстремума.

Для того чтобы иметь возможность судить о том, когда же данная точка будет являться точкой экстремума, нужно установить достаточный признак экстремума.

 

Первый достаточный признак экстремума. Точка х_о является точкой экстремума функции f(x), если производная f'(x) при переходе х через х_о меняет знак; при перемене знака «+» на «-» точка х_о является точкой максимума; при перемене «-» на «+» точка х_о является точкой минимума.

В самой точке х_о производная в силу необходимого признака равна нулю или не существует.

С помощью второй производной f" {x) можно установить т.н. второй достаточный признак экстремума.

Второй достаточный признак экстремума. Точка х_о есть точка экстремума функции f, если f(х_о)=0, а f" (х₀) не равна нулю, причём, если f" (х_о)> 0, то х_о - точка минимума, а если f" (x₀ ) < 0, то х_о - точка максимума.

В том случае, когда f'(х₀)=0 и f" (х_о)=0, а также в случае, когда первой производной не существует, вторым признаком воспользоваться нельзя и нужно обратиться к первому признаку.

Рассмотрим несколько схем исследования функций на экстремумы.

Метод численного расчета.

Укажем последовательность действий для изучения роста и отыскания экстремумов непрерывной функции y=f(x) в заданном интервале, который может быть как конечным, так и бесконечным. Будем считать, что функция y=f(x) имеет производную повсюду, за исключением, быть может, отдельных точек.

 

1) Прежде всего, нужно найти точки интервала, в которых производная равна нулю (стационарные точки), т.е. действительные корни уравнения f'(х₀)=0, а также те точки, в которых производная не существует.

Обозначим все найденные точки в порядке возрастания через x₁, х₂,..., х_n.

Таким образом, х₁ < х₂ <... < х_n.

Это те точки интервала, в которых функция f(x) может иметь экстремумы. Их иногда называют критическими.

 

2) Затем разбиваем при помощи точек х_i интервал [а, b] на частные интервалы: (a, x₁), (x₁, x₂),..., (x_n-1, х_n), (х_n, b), в каждом из которых производная сохраняет постоянный знак. В самом деле, в противном случае производная была бы равна нулю (или не существовала бы) ещё в точках, отличных от выделенных, а все такие точки мы уже нашли в п. 1. Следовательно, эти интервалы являются интервалами монотонности функции.

 

3) Находим знак производной в каждом из частичных интервалов, для чего достаточно узнать её знак в какой-нибудь одной точке интервала. По знаку производной определяем характер изменения функции в каждом интервале монотонности (возрастает она или убывает). Следя за переменой знака производной при переходе через границы интервалов монотонности - точки х,, выясняем, какие из этих точек будут точками максимума и какие - минимума. При этом может оказаться, что какая-нибудь точка х, не служит точкой экстремума функции. Это случится в двух соседних интервалах (х_i-1, х₁) и (х_i, х_i+1), разделяемых точкой х_i, функция монотонна в одинаковом смысле, т.е. производная в них имеет один и тот же знак. Тогда они объединяются в один интервал монотонности функции. В этом случае точка х_i не будет точкой экстремума функции.

 

4) Подстановкой в выражение функции f(x) критических значений х=х_i находим соответствующие значения функции: f(х₁), f(х₂),..., f(х_n). Как уже отмечалось, не все из этих значений могут оказаться экстремальными.

Если значения f(х₁), f(х₂),..., f(х_n) вычислены, а также найдены значения функции на концах интервала f(a) и f(b), то ход изменения функции легко представить и без исследования знака производной. Так как нам уже известно, что в каждом из интервалов (a, x₁), (x₁, x₂),..., (x_n-1, х_n), (х_n, b) функция не имеет точек экстремума и, следовательно, монотонна, то, сравнивая между собой значения функции на концах каждого такого интервала, мы и определим, где функция возрастает и где убывает.

 

Какой из приёмов следует употребить, зависит от конкретных обстоятельств. Может быть, что удобнее и легче использовать знаки производной, а может быть и так, что, нуждаясь, всё равно в значениях функции в критических точках, проще использовать эти значения и не выяснять знаки производной.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: