Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Одним из методов решения ДУ высших порядков является метод, состоящий в том, что при помощи различных подстановок порядок ДУ может быть понижен.

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Пусть дано уравнение:

. (2.2.1)

Проинтегрируем обе его части:

порядок уравнения понизится на единицу. Последовательно интегрируя, после n-кратного интегрирования получим

Общее решение содержит n произвольных постоянных, не связанных между собой.

II. Уравнение

(2.2.2)

не содержит явно искомую функцию .

Введем подстановку , где - новая неизвестная функция, тогда и уравнение примет вид - уравнение первого порядка относительно неизвестной функции . Проинтегрировав его, получим:

, (2.2.3)

а затем из соотношения получим общий интеграл уравнения:

III. Уравнение

не содержит явно независимую переменную .

Введем новую функцию , где , т.е. . Дифференцируя это равенство по как сложную функцию, получим:

Уравнение (2.2.3) можно записать в виде:

Проинтегрировав его, получим:

или:

Разделяя переменные, найдем общий интеграл уравнения:

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

, (2.2.1)

где и - непрерывные функции.

Свойство:

Если функции и являются частными решениями уравнения (2.2.1), то функция также является решением этого уравнения, где и - произвольные постоянные.

Определение 3

Два решения и уравнения (2.2.1) называются линейно-независимыми на отрезке , если их отношение не является постоянным на этом отрезке. В противном случае функции называются линейно-зависимыми на отрезке .

Теорема 2. (структура общего решения ЛОДУ)

Если и - два линейно-независимых решения уравнения (2.2.1), а и - произвольные постоянные, то функция

является решением уравнения (2.2.1).

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

, где . (2.3.1)

Найдем два линейно-независимых решения этого уравнения. Решения будем искать в виде: , тогда , . Подставим в уравнение (2.3.1):

т.к. , то

, (2.3.2)

и, если k будет удовлетворять уравнению (2.3.2), то будет решением уравнения (2.3.1).

Уравнение (2.3.2) называется характеристическим уравнениемпо отношению к уравнению (2.3.1). Характеристическое уравнение имеет два корня

; .

При решении характеристического уравнения возможны следующие случаи:

1) ;

В этом случае частные решения , являются линейно-независимыми, т.к. , следовательно, общий интеграл уравнения имеет вид:

. (2.3.3)

2) ;

Здесь частными решениями являются функции , . Функции линейно-независимы, т.к. . Общий интеграл уравнения имеет вид:

. (2.3.4)

3) .

Частными решениями являются функции , . Функции линейно-независимы, т.к. . Общий интеграл уравнения имеет вид:

. (2.3.5)

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

, (2.4.1)

где - непрерывные функции.

Теорема 3. (структура общего решения ЛНДУ)

Общее решение ЛНДУ (2.4.1) складывается из какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения (уравнения без правой части - (2.3.1)), т.е.:

ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

, где . (2.4.2)

Решение этого уравнения, согласно теореме 3, представляет собой сумму общего решения уравнения (2.3.1) и частного решения уравнения (2.4.2). Если правая часть имеет, так называемый, «специальный вид», то частное решение может быть найдено следующим образом:

1) пусть правая часть уравнения представлена в виде