Проверка правильности распределения объемов

Эта проверка не входит в алгоритм метода потенциалов, но может потребоваться для исключения арифметических ошибок (при ручном расчете на бумаге) или самопроверки алгоритма при компьютерных вычислениях. Особенностью распределения груза по транспортной таблице является совпадение суммы объемов по строкам с запасами соответствующего поставщика, а суммы объемов по столбцам — с потребностями соответствующих потребителей. ^{[20][1]: 297}

В показанном выше примере,

§ Для 1-й строки: 30 кг = 20 + 10 кг

§ Для 2-й строки: 40 кг = 20 + 20 кг

§ Для 3-й строки: 20 кг = 10 + 10 кг

§ Для 1-го столбца: 20 кг = 20 кг

§ Для 2-го столбца: 30 кг = 10 + 20 кг

§ Для 3-го столбца: 30 кг = 20 + 10 кг

§ Для 4-го столбца: 10 кг = 10 кг

Вычисление общей стоимости транспортировки

Этот шаг также не входит в сам алгоритм метода потенциалов, но он полезен для распечатки результатов и показа, что алгоритм движется в правильном направлении, уменьшая на каждом (или не на каждом) шаге общую себестоимость перевозки. Для всех ячеек цена умножается на объем перевозки и полученный результат суммируется.^{[21][3]: 86}

	B1, 20 кг	B2, 30 кг	B3, 30 кг	B4, 10 кг
A1, 30 кг	С11=2 руб./кг, X11=20 кг	С12=3 руб./кг, Х12=10 кг	С13=2 руб./кг	С14=4 руб./кг
A2, 40 кг	С21=3 руб./кг	С22=2 руб./кг, Х22=20 кг	С23=5 руб./кг, Х23=20 кг	С24=1 руб./кг
A3, 20 кг	С31=4 руб./кг	С32=3 руб./кг	С33=2 руб./кг, Х33=10 кг	С34=6 руб./кг, Х34=10 кг

В нашем примере, сумма затрат на перевозку груза составляет

2× 20 + 3× 10 + 2× 20 + 5× 20 + 2× 10 + 6× 10 = 290 руб.

Разделение ячеек на базисные и свободные

Ячейки (клетки) транспортной таблицы с ненулевыми перевозками называются базисными, а клетки с нулевыми объемами перевозки —свободными.^{[15]: 9}

4. Проверка плана на вырожденность

Базисных (см. выше) ячеек таблицы должно быть не менее m+n-1, где m и n — соответственно, число поставщиков и потребителей, иначе решение считается вырожденным и требует введения в базис одной из ячеек с нулевой перевозкой^{[16]: 120} (чтобы алгоритм не впал в бесконечный цикл, эта ячейка должна быть случайной).^{[1]: 312} Для исключения ситуаций с вырожденностью к объемам потребления добавляют небольшие возмущения — числа, заведомо ничтожные при перевозках (такие как 0.00001), при этом к объему поставки одного из поставщиков добавляют их сумму (или наоборот).^{[1]: 303[2]: 195}

Вычисление потенциалов

Каждому поставщику A_i соответствует потенциал U_i, а каждому потребителю B_j соответствует потенциал V_j. Данциг называет потенциалы U_i и V_jсимплекс-множителями или неявными ценами.^{[1]: 300, 305} Чтобы определить эти потенциалы, полагают, что U₁=0, а остальные потенциалы вычисляют из соотношения

U_i + V_j = C_ij

для всех занятых (базисных) ячеек таблицы (отмечены зеленым).^{[3]: 89}

	V1	V2	V3	V4
U1=0	С11=2 руб./кг	С12=3 руб./кг
U2		С22=2 руб./кг	С23=5 руб./кг
U3			С33=2 руб./кг	С34=6 руб./кг

U₁+V₁=2. Поскольку U₁=0, 0+V₁=2, следовательно, V₁=2 руб./кг

U₁+V₂=3. Поскольку U₁=0, 0+V₂=3, следовательно, V₂=3 руб./кг

U₂+V₂=2. Поскольку V₂=3, U₂+3=2, следовательно, U₂=–1 руб./кг

U₂+V₃=5. Поскольку U₂=–1, –1+V₃=5, следовательно, V₃=6 руб./кг

U₃+V₃=2. Поскольку V₃=6, U₃+6=2, следовательно, U₃=–4 руб./кг

U₃+V₄=6. Поскольку U₃=–4, –4+V₄=6, следовательно, V₄=10 руб./кг

При компьютерной реализации удобно использовать рекурсию: взаимный вызов двух функций, которые отрабатывают алгоритм, соответственно, по строкам и по столбцам. Если на предыдущем шаге 4 (в разделе «Проверка плана на вырожденность») в базис была введена случайная не занятая ячейка (без проверки ее на ацикличность), то вычисление u и v может дать сбой, и в этом случае случайный выбор вводимой в базис нулевой ячейки на предыдущем шаге 4 следует повторить.

Проверка решения на оптимальность

Для всех незанятых ячеек (с нулевым объемом перевозки) вычисляют оценки клеток распределительной таблицы Δ ij по формуле Δ _ij = С_ij – U_i – V_j, где U_i и V_j берутся из вычислений, выполненных в разделе выше (здесь они вписаны в заголовки таблицы).^{[3]: 89}

Для всех занятых ячеек (с ненулевыми объемами перевозки, отмечены зеленым цветом) полагают Δ _ij=0, поскольку на следующем шаге нам потребуется значение с минимальной оценкой в незанятых ячейках.^{[3]: 89}

	V1=2	V2=3	V3=6	V4=10
U1=0	Δ 11=0	Δ 12=0	Δ 13 = 2–0–6 = –4	Δ 14=4–0–10 = –6
U2=–1	Δ 21=3–(–1)–2 = 2	Δ 22=0	Δ 23=0	Δ 24=1–(–1)–10 = –8
U3=–4	Δ 31=4–(–4)–2 = 6	Δ 32=3–(–4)–3 = 4	Δ 33=0	Δ 34=0

Если в получившейся таблице нет отрицательных значений Δ _ij, то план перевозок оптимален и задача решена (переход к шагу 10).

В нашем примере есть отрицательные значения. Наличие отрицательных значений Δ _ij означает, что решение не оптимально.^{[3]: 89}

	B1	B2	B3	B4
A1	Δ 11=0	Δ 12=0	Δ 13=–4	Δ 14=–6
A2	Δ 21=2	Δ 22=0	Δ 23=0	Δ 24=–8
A3	Δ 31=6	Δ 32=4	Δ 33=0	Δ 34=0

Наименьшее отрицательное значение Δ ₂₄=–8 (начальная вершина для цикла перераспределения поставок, о котором см. ниже)^{[3]: 89} отмечено красным цветом. Если одинаковых отрицательных значений несколько, то берется любое^{[17] [22]}

Построение цикла

 

Цикл перераспределения поставок представляет собой замкнутую ломаную линию, которая соединяет начальную вершину (отмечена красным цветом) и занятые (отмеченные в нашем примере зеленым цветом) ячейки транспортной таблицы по определенным правилам.^{[3]: 89}

1. Все вершины, кроме начальной, находятся в занятых ячейках таблицы (ячейки с ненулевыми перевозками или «введенные в базис» на шаге 4 (в разделе «Проверка плана на вырожденность» ячейки с нулевой перевозкой — здесь они отмечены в примерах зеленым цветом), при этом охвачены циклом могут быть не все, а лишь некоторые занятые ячейки.

2. В каждой вершине цикла встречаются ровно два звена ломаной линии, причем одна из них находится по строке, а другая — по столбцу.Иначе говоря, они пересекаются под прямым углом.

3. Линия может пересекать занятые ячейки, не включая их в цикл (включение их в цикл не допускается). Другими словами, никакие три последовательные вершины не могут находиться в одной и той же строке или одном и том же столбце.

4. Линия может пересекать саму себя, при этом точка пересечения не включается в цикл (исходя из п.2).

5.

	B1, 20 кг	B2, 30 кг	B3, 30 кг	B4, 10 кг
A1, 30 кг	X11=20 кг	Х12=10 кг
A2, 40 кг		Х22=20 кг	(*) Х23=20 кг	(*)
A3, 20 кг			(*) Х33=10 кг	(*) Х34=10 кг

Вершины цикла в этом примере помечены звездочкой (*). Горизонтальные и вертикальные линии, соединяющие вершины, в этом примере не показаны. По вершинам цикла нужно перераспределить объемы, чтобы получить следующее приближение к оптимальному решению задачи, как это показано далее.

При компьютерной реализации построения цикла удобно использовать рекурсию, то есть взаимный вызов двух функций, которые строят линии цикла по строкам и по столбцам, соответственно.^[24]

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: