Тамара Александровна Слинкина

Стр 1 из 7Следующая ⇒

Механика,

Молекулярная физика

И термодинамика

Утверждено Редакционно-издательским советом

академии в качестве учебного пособия

для студентов-заочников САА

Красноярск 2000

ББК 22.33 Я 73

С 47

УДК 539. 194

Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Е. В. Бабкин

Слинкина Т. А.

С 47 Механика, молекулярная физика и термодинамика: Учебное по-
собие для студентов-заочников. – Красноярск: САА, 2000. – 110 с.

ISBN 5–86433–111–2

Цель настоящего учебно-методического пособия – оказать помощь студентам-заочникам в изучении курса физики. В пособии изложена теория кинематики и динамики материальной точки и твердого тела; по молекулярной физике и термодинамике приведены основные законы и формулы, необходимые для решения задач, поясняется смысл величин, входящих в формулы, подробно разбираются типовые задачи; приводятся задачи, предназначенные для самостоятельного решения. Задачи подобраны так, чтобы студенты могли успешно справиться с конкретными заданиями.

ББК 22.33 Я 73

Учебное издание

Тамара Александровна Слинкина

Механика, молекулярная физика

И термодинамика

Учебное пособие

Редактор Л. В. Звонарева

Компьютерная верстка – Д. В. Румянцев

Лицензия № 030214 от 18.02.97

Подп. в печать 18.04.2000. Формат 60´84/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Усл. п. л. 6,3. Уч.-изд. л. 6,9. Тираж 300 экз.

Редакционно-издательский отдел САА.

660014, Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31.

Отпечатано в ООО «КРИС ПЛЮС».

660049, Красноярск, ул. Робеспьера, 1а.

ISBN 5–86433–111–2 © Сибирская аэрокосмическая академия, 2000

оглавление

Предисловие............................................................................................................. 4

Рабочая программа по физике............................................................................. 5

Учебные материалы по разделам курса физики............................................ 7

1. Физические основы механики.................................................................... 8

1.1. Кинематика материальной точки.......................................................... 8

1.2. Кинематика абсолютно твердого тела................................................ 13

Примеры решения задач........................................................................... 17

1.3. Динамика материальной точки.............................................................. 24

Примеры решения задач........................................................................... 37

1.4. Динамика вращательного движения..................................................... 42

Примеры решения задач........................................................................... 49

2. Механические колебания.............................................................................. 56

2.1. Основные формулы.................................................................................... 56

Примеры решения задач........................................................................... 59

Контрольная работа № 1.................................................................................... 65

3. Молекулярная физика.................................................................................... 73

3.1. Законы идеальных газов. Молекулярно-кинетическая

теория газов (основные формулы)......................................................... 73

Примеры решения задач........................................................................... 75

3.2. Элементы статистической физики

(основные формулы).................................................................................. 77

Примеры решения задач........................................................................... 81

4. Термодинамика................................................................................................. 85

4.1. Физические основы термодинамики

(основные формулы).................................................................................. 85

Примеры решения задач........................................................................... 88

5. Реальные газы. Жидкости............................................................................. 97

5.1. Основные формулы.................................................................................... 97

Примеры решения задач........................................................................... 99

Контрольная работа № 2.................................................................................... 102

Литература............................................................................................................... 108

Справочные таблицы............................................................................................. 109

ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель настоящего учебно-методического пособия – оказать помощь студентам-заочникам САА.

В пособии рассматриваются законы механики и молекулярной физики, приведены основные формулы, на ряде примеров и задач показаны возможности применения этих законов при решении конкретных вопросов.

Учебная работа студента-заочника по изучению физики складывается из следующих основных элементов: самостоятельного изучения физики по учебным пособиям, решения задач, выполнения конкретных работ, выполнения лабораторных работ, сдачи зачетов и экзаменов.

При решении задач необходимо выполнять следующие условия:

1. Указать основные законы и формулы, на которых базируется решение задач, разъяснить буквенные обозначения, употребляемые при написании формул.

2. Дать чертеж, поясняющий содержание задачи.

3. Решение задачи сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями.

4. Решить задачу в общем виде. Выразить все величины, входящую в рабочую формулу в единицах СИ и подставить их в окончательную формулу.

Контрольные работы выполняются в обычной школьной тетради, на лицевой стороне (на обложке) приводятся сведения по следующему образцу:

Студент Сибирской аэрокосмической академии имени академика М. Ф. Решетнева Фролов И. К. № 12399 (шифр зачетной книжки) Адрес: г. Кемерово, ул. Советская, 5, кв. 16. Контрольная работа № 1 по физике

После получения из академии прорецензированной работы студент обязан выполнить указания рецензента. Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан представить ее на повторную рецензию, включив в нее те задачи, решения которых оказались неверными. Повторная работа представляется вместе с незачтенной работой.

Зачтенные контрольные работы предъявляются экзаменатору. Студент должен быть готов дать во время экзамена пояснения по существу решения задач, входящих в контрольные работы.

Рабочая программа по физике

Физические основы механики

Кинематика материальной точки. Предмет физики и его связь со смежными науками. Механическое движение. Системы отсчета. Материальная точка. Траектория. Перемещение и путь. Скорость и ускорение. Тангенциальное и нормальное ускорения. Движение материальной точки по окружности. Связь между линейными и угловыми характеристиками движения.

Динамика материальной точки. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Взаимодействие тел. Сила, масса. Второй закон Ньютона. Изолированная система материальных тел. Закон сохранения импульса.

Преобразования Галилея. Механический принцип относительности. Границы применения классической механики.

Виды сил в механике. Силы упругости. Силы трения. Силы тяготения. Центральные силы. Понятие о поле сил. Гравитационное поле и его напряженность. Поле силы тяжести вблизи Земли.

Понятие об неинерциальных системах отсчета.

Работа. Работа переменной силы. Мощность. Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия. Связь между силой и потенциальной энергией. Энергия упруго деформированного тела. Потенциал гравитационного поля и его градиент.

Кинетическая энергия. Полная механическая энергия системы тел. Закон сохранения энергии в механике. Условия равновесия системы.

Динамика твердого тела. Понятие абсолютно твердого тела. Поступательное и вращательное движения тела. Число степеней свободы. Центр инерции (масс) твердого тела.

Момент силы. Момент инерции. Основной закон динамики вращательного движения. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Механические колебания. Периодические движения. Колебательные процессы. Гармонические колебания. Основные характеристики колебательного движения: амплитуда, фаза, частота, период. Уравнение гармонических колебаний. Сложение одинаково направленных колебаний. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Динамика гармонических колебаний. Свободные колебания. Квазиупругие силы. Математический и физический маятники. Кинетическая, потенциальная и полная энергия гармонического колебания. Гармонический осциллятор. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс.

Волновое движение. Образование волн. Продольные и поперечные волны. Волновая поверхность и фронт волны. Принцип Гюйгенса. Уравнение плоской волны. Длина волны. Принцип суперпозиции. Когерентные источники волн. Интерференция волн. Стоячие волны. Понятие о дифракции волн. Энергия волны. Вектор Умова.

У гловое ускорение

Угловое ускорение вводят при неравномерном вращении. Если за время угловая скорость изменится на , то отношение к называют средним угловым ускорением:

Мгновенное угловое ускорение

Из этой формулы следует, что вектор углового ускорения направлен по оси вращения.

Тангенциальное ускорение:

Нормальное ускорение:

Сопоставим основные уравнения и величины кинематики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси и его поступательным движением, подчеркнув их аналогию.

Поступательное движение	Вращательное движение
Путь Средняя скорость Мгновенная скорость Среднее ускорение Мгновенное ускорение	Угловой путь Средняя угловая скорость Мгновенная угловая скорость Среднее угловое ускорение Мгновенное угловое ускорение
Равномерное движение
	где N – число полных оборотов
Равнопеременное движение

Примеры решения задач

Задача 1. Закон движения материальной точки имеет вид

где А = 4 м/с; С = 1 м/с²; В = 5 м/с; D = 1 м/с³.

Найти абсолютное значение скорости в момент t = 2 с.

Решение

По условию задачи компоненты радиус-вектора

Абсолютное значение скорости

где м/с.

Задача 2. Самолет летит из пункта А в В, расположенный южнее А на 150 км, и возвращается обратно. Определить продолжительность полета, если известно, что во время рейса ветер дул с запада на восток. Скорость самолета 360 км/ч, скорость ветра 30 м/с.

Дано: l = 150 · 10³ м v_в = 30 м/с v_отн = 360 км/ч = 100 м/с

Решение

t = ?

Относительно системы отсчета, связанной с Землей

где – скорость ветра;

– скорость самолета относительно ветра.

Время движения из пункта А в пункт В:

Самолет вернется в пункт А через t = 2t₁ = 0,88 час.

Задача 3. С крыши дома высотой Н = 10 м вертикально вверх брошено тело с начальной скоростью v₀ = 5 м/с. Определить время полета тела и его скорость при соприкосновении с Землей. Силой сопротивления воздуха пренебречь. Построить графики зависимостей y(t), s(t), v_y(t), a_y(t).

Дано: v₀ = 5 м/с Н = 10 м

Решение

В любой точке траектории на тело действует только сила тяготения, т. е. движение происходит с постоянным ускорением поэтому

t = ? v = ?

В момент падения тела на Землю y = 0, тогда из уравнения найдем время полета, т. е. t = 2 с.

В момент падения тела скорость м/с (знак «–» показывает, что вектор скорости v направлен против выбранного направления оси Y).

Задача 4. Из брандспойта (шланг с металлическим наконечником), расположенного около поверхности Земли, вырывается струя воды со скоростью v₀ = 10 м/с. Брандспойт медленно вращается вокруг вертикальной оси, одновременно с этим меняется угол его наклона к Земле. Определить максимальную площадь, которую можно полить этим брандспойтом? Сопротивлением воздуха пренебречь. Считать g = 10 м/с².

Дано: v₀ = 10 м/с

Решение

S = ?

В выбранной системе координат

Максимальное удаление струи вдоль оси ОХ зависит от угла наклона брандспойта. Для (·) С y = 0, тогда Дальность полета Очевидно, дальность полета максимальна, если 2a = 90°, т. е. a = 45°. Тогда максимальная дальность м. Максимальная площадь полива равна площади круга

Задача 5. Тело бросили со скоростью 10 м/с под углом 45° к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорения и радиус кривизны траектории тела через 1 с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

Дано: v_о = 10 м/с a= 45° t = 1 с

Решение

R = ? а_п = ? a _t = ?

Направим оси ОХ и ОУ вдоль горизонтального и вертикального перемещений тела. Тело считаем материальной точкой. v_ох и v_оу – проекции начальной скорости v₀ на координатные оси. При движении тела v_ох не изменяется,

м/с, .

Через t = 1 с после начала движения

м/с,

т. е. направлена вертикально вниз. Результирующая скорость в момент времени t = 1 с равна

7,6 (м/с)

и направлена по касательной к траектории в точке В.

Обозначим угол между вектором и осью ОХ через b. С течением времени угол b меняется. Разложив вектор на составляющие по касательному и нормальному направлениям к траектории в точке В, получим:

9,2 (м/с²),

4,0 (м/с²).

Радиус кривизны траектории в точке В вычислим по формуле

Подставив в последнее выражение значения v и a_n, рассчитанные выше, получим радиус кривизны: м.

Задача 6. На барабан намотана нить, к концу которой привязан груз. Предоставленный самому себе, груз опускается с ускорением
5,0 м/с². Определить ускорение точек, лежащих на ободе барабана, в тот момент, когда барабан сделает поворот на угол в 1 радиан.

Дано: j = 1 рад w_о = 0 а = 5,0 м/с²

Решение

Полное ускорение точки обода

Для точек, вращающихся с постоянным ускорением,

а₁ = ?

и .

Линейная скорость v точек тела, удаленных от его оси вращения на расстояние R, равна v = wR. Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения этих точек связаны с кинематическими характеристиками вращательного движения тела формулами

Зная угловое перемещение j, можно определить где так как нить сматывается с барабана без проскальзывания.

Определив получим

м/с².

Задача 7. Якорь электромотора, вращающийся со скоростью
n = 50 об/с, двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился, сделав N = 1500 оборотов. Найти угловое ускорение и продолжительность торможения.

Дано: N = 1500 ν = 50 об/с ω = 0

Решение

Угловое ускорение якоря электромотора связано с начальной ω₀ и конечной ω угловыми скоростями соотношением

t = ? ε = ?

откуда

Но то 5,2 рад/с².

Знак минус указывает на то, что якорь вращался равнозамедленно. По условию задачи угловая скорость линейно зависит от времени

отсюда

60,4 с.

Задача 8. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением а_τ = 0,5 см/с². Через какой промежуток времени вектор ускорения образует с вектором скорости угол равный 30°? Какой путь пройдет за это время движущаяся точка?

Дано: v₀ = 0 а_τ = 0,5 см/с² R = 20 см α = 30°

Решение

Угол a между векторами и зависит от соотношения между нормальным а_п и тангенциальным а_τ ускорениями:

(1)

t = ? S = ?

Тангенциальное ускорение

следовательно, мгновенная скорость движущейся точки (при v₀ = 0)

. (2)

Подставляя (2) в формулу (1),

находим

тогда время 4,8 с,

а путь 5,8 см.

Динамика материальной точки

Первый закон Ньютона

Динамика – раздел механики, в котором изучается движение тел в связи с причинами, обусловливающими тот или иной характер движения.

Основу динамики составляют законы Ньютона, которые выведены опытным путем.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит изменить ее это состояние.

Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называется также законом инерции.

Система отсчета, в которой отсутствуют внешние силы, называется инерциальной системой отсчета. С очень высокой степенью точности инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведены в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), пренебрежимо малы, поэтому при решении многих задач ее можно считать инерциальной. Кратко можно сказать, что инерциальными называются такие системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона.

Масса тела – физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства.

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Сила – это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело получает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Следует различать силу тяжести и вес тела. Вес тела – это сила, с которой тело, находящееся в поле сил тяжести, действует на опору или подвес, удерживающая тело от свободного падения.

Вес тела проявляется только в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от g, т. е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы.

Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости.

Сила, с которой одна частица действует на другую, зависит только от радиус-векторов и скоростей только этих двух частиц. Присутствие других частиц на эту силу не влияет. Это свойство называется законом независимости действия сил или законом парности взаимодействия. Область применимости этого закона охватывает всю классическую механику.

Во многих случаях взаимодействие частиц носит характер столкновений.

Столкновением частиц называется процесс, в котором в начальный момент частицы настолько удалены друг от друга, что каждая из них является свободной. При этом импульсы частиц ориентированы так, что со временем частицы начинают взаимодействовать друг с другом. Например, столкновением двух заряженных шаров мы называем не только процесс их удара друг о друга, но и процесс при котором шары, не касаясь, отклоняются от прямолинейных путей кулоновским взаимодействием. Столкновения подразделяются на упругие и неупругие.

Упругим называется столкновение, в результате которого внутреннее состояние частиц не меняется. Если внутреннее состояние изменяется, то столкновение называется неупругим.

Виды взаимодействия и силы

По современным представлениям все многообразие явлений, наблюдаемых во Вселенной, обусловлено четырьмя видами фундаментальных взаимодействий: гравитационными, слабыми, электромагнитными и сильными или ядерными взаимодействиями.

В классической механике все силы имеют гравитационную и электромагнитную природу.

1. Гравитационные взаимодействия подчиняются закону всемирного тяготения:

где обозначает длину вектора

– единичный вектор, характеризующий направление действия силы

Коэффициент пропорциональности G называют гравитационной постоянной (G = 6,67 ·10^–11 H · м²/кг²). В скалярной форме закон всемирного тяготения можно записать:

где r – расстояние между телами.

Силы притяжения между обычными телами (кроме самой Земли) пренебрежимо малы. В механических явлениях важную роль играет гравитационное поле Земли, которое определяется массой Земли М и расстоянием до ее центра R. Тело массой m на высоте h над уровнем моря имеет энергию

Если h << R, то , и в этом случае

Тогда

Первый член является постоянной величиной и, следовательно, несуществен. Второй член хорошо знаком из курса средней школы. Обозначив мы получим знакомую формулу для потенциальной энергии в поле тяжести Земли: П_h = mg₀h, где g₀ – ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли.

Ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли

2. Основным фундаментальным законом сил, создаваемых электромагнитными взаимодействиями, является закон Кулона. Он определяет силу взаимодействия двух неподвижных заряженных частиц:

где 9·10⁹ H · м²/Кл²– коэффициент пропорциональности;

Ф/м– электрическая постоянная.

Заряд частиц является физической величиной, зависящей только от вида частицы и не меняющейся в присутствии внешних сил.

Как видно из закона Кулона, притяжение осуществляется только для разноименных зарядов, т. е. при условии q₁· q₂ < 0. Одноименные заряженные частицы, для которых q₁·q₂ > 0, отталкиваются.

Во многих случаях приходится сталкиваться с системами электрически заряженных частиц, движущихся в электромагнитных полях.

Фундаментальный закон действия силы со стороны электромагнитного поля на заряженную частицу:

где q – заряд частицы; – ее скорость;

обозначают электрическое и магнитное поле;

– электрическая сила; – магнитная сила Лоренца.

3. Cилы межатомных и межмолекулярных взаимодействий действуют между микрочастицами. Наиболее часто используются три типа сил такого рода: 1) упругие силы; 2) контактные силы, подразделяющиеся на реакции опор и силы трения.

1) Рассмотрим силу упругости, определяемую законом Гука: сила упругости деформированного твердого тела пропорциональна величине деформаций при условии их малости:

где k – коэффициент пропорциональности.

2) Контактными называются силы, возникающие при соприкосновении двух тел и действующие со стороны одного тела на другое.

Сила реакции опоры , которую испытывает тело, приведенное в контакт с другим, направлена по нормали к поверхности контакта в сторону от тела, являющегося источником реакции опоры.

Механизм трения заключается в следующем. Если одно тело приведено в движение относительно другого и при этом находится с ним в контакте вдоль некоторой поверхности, то частицы тел, расположенные вблизи этой поверхности, начинают друг за друга цепляться. В этом заключается природа тормозящего действия.

Сила сухого трения между двумя контактирующими твердыми телами направлена в сторону, противоположную движению тела, на которое она действует. Ее абсолютное значение не зависит от скорости относительного движения тел и пропорционально силе реакции опоры. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом трения k. Он определяется экспериментально.

или в скалярной форме

Значение коэффициента k зависит не только от соприкасающихся материалов, но и от многих свойств поверхностей соприкосновения: их
обработки, загрязненности и т. д.

При стремлении скорости к нулю значение силы трения по абсолютной величине несколько возрастает. При v = 0 сила трения называется силой трения покоя.

На тело, движущееся в жидкости или газе, действует сила сопротивления окружающей тело среды. Так же как и сила трения, сила сопротивления ориентирована противоположно скорости тела. Абсолютное значение силы зависит от того, каким образом вещество среды обтекает тело, что в свою очередь определяется величиной его скорости. Если скорость тела невелика, то возникающие в среде течения носят ламинарный характер.

При ламинарном течении сопротивление определяется законом Стокса: сила сопротивления пропорциональна скорости движения тела:

Коэффициент пропорциональности a является постоянной, значение которой зависит от размеров тела и от вязких свойств cреды.

При больших скоростях (турбулентное течение) движения, не превосходящих скорости звука в среде, сопротивление определяется законом Ньютона: сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости движения тела,

Коэффициент является постоянной, значение которой зависит от размеров и формы тела, а также от плотности среды.

Центр масс

Центром масс (или центром инерции системы материальных точек) называется точка С, положение которой характеризует распределение масс этой системы. Ее радиус-вектор равен

где m_i и – масса и радиус-вектор i-й материальной точки;

n – число материальных точек в системе;

– масса системы.

Импульс системы

Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы, на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему:

(1.7)

Выражение (1.7) представляет собой закон движения центра масс. Из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

Уравнение движения тела переменной массы

Масса тела может изменяться в результате отделения тела или присоединения к нему частиц вещества (например, масса ракеты во время движения уменьшается).

Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость , то по истечении времени dt ее масса становится равной (m – dm), а скорость – Изменение импульса

или

где – скорость истечения газов из ракеты. Если на систему действуют внешние силы, то

поэтому

или

Величина есть реактивная сила . Таким образом, уравнение движения переменной массы:

(уравнение Мещерского). (1.8)

Энергия, работа, мощность

Энергия – количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия характеризует способность тел совершать работу. Различают механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и другие виды энергии.

Кинетической энергией Т называют энергию механического движения.

Потенциальная энергия П – энергия, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике рассматривают работу силы, приложенной к данному телу.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила составляющая угол a с направлением перемещения, то

где – проекция силы на направление перемещения.

В случае переменной силы:

Работа – скалярная величина.

Если , работа силы положительная. Если то работа силы отрицательная.

Мощность N характеризует быстроту выполнения работы.

Средняя мощность

Мгновенная мощность

Вт.

Если сила F действует на покоящееся тело и вызывает его движение со скоростью v, то она совершает работу. Эта работа идет на увеличение кинетической энергии тела, т. е.

где

Получим

Таким образом, для тела массой m, движущегося со скоростью v кинетическая энергия

(1.9)

Из формулы (1.9) видно, что кинетическая энергия зависит только от m и v, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

Примеры решения задач

Задача 1. Через неподвижный невесомый блок перекинута легкая нерастяжимая нить, к концам которой привязаны грузы m₁ и m₂. К грузу m₂ привязан на нити груз m₃. Определить натяжение нитей и ускорение тел.

Дано: m₁; m₂; m₃

Решение

Будем считать, что m₁ < m₂ + m₃, тогда ускорения будут направлены так, как показано на рисунке. Расставим силы, действующие на каждое тело в отдельности, и запишем второй закон Ньютона для каждого тела:

а = ?

Оси у₁ и у₂, на которые будем проектировать векторные уравнения, выберем направленными по ускорениям тел. После проектирования получим систему уравнений:

Решая полученную систему уравнений, находим

Задача 2. Определить натяжение нити и тангенциальное ускорение математического маятника массой m, когда он проходит положение, определяемое углом a с вертикалью, если его скорость в этот момент равна v, длина нити l.

Дано:

m, l, v, a

Решение

Второй закон Ньютона имеет вид

Проектируя векторное уравнение второго закона Ньютона на оси х и у, получим систему уравнений:

F_H = ? а_t = ?

(1)

(2)

Учитывая, что где R = l – радиус окружности, по которой движется маятник, получим

Из второго уравнения найдем тангенциальное ускорение

Задача 3. Автомобиль, двигаясь равноускоренно, на участке пути 100 м набрал скорость72 км/ч. Определить работу двигателя автомобиля на этом участке, если его масса с грузом 1800 кг, а коэффициент трения 0,05. Определить среднюю мощность автомобиля.

Дано: v₀ = 0 S = 100 м v = 72 км/ч = 20 м/с k = 0,05 m = 1800 кг

Решение

А = ?

= ?

На основании уравнений динамики в проекциях на оси х и у:

Сила трения а сила тяги двигателя

Так как движение автомобиля прямолинейное равноускоренное, то

откуда

Окончательное выражение для работы:

Средняя мощность áРñ = F_тяги · ávñ. Если скорость изменяется линейно, то средняя скорость определяется по формуле

м/с.

Итак, áРñ = (ma + kmg) ávñ = 45 · 10³ Вт.

Задача 4. Из оружия произведен выстрел под углом a = 30° к горизонту со скоростью v₀ = 100 м/с. в верхней точке траектории движения пуля разорвалась на две части: m₁ = 2m₂. Осколок m₁ полетел вертикально вниз и через 2 с достиг поверхности Земли. В каком направлении и с какой скоростью полетел второй осколок? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: t = 2 c m₁ = 2m₂ v₀ = 100 м/c a = 30°

Решение

В точке разрыва импульс пули направлен горизонтально. В результате взрыва скорости осколков изменяются. Это происходит под действием внутренних сил, которые значительно больше, чем внешние силы (тяжести). В этом случае систему, состоящую из двух осколков, можно считать замкнутой.

На основании закона сохранения импульса тел:

b = ? v₁ = ? v₂ = ?

откуда

следовательно,

то

Для окончательных результатов необходимо рассчитать максимальную высоту подъема Н.

откуда

Величина v₁ определяется по известным Н и t – времени движения до поверхности из уравнения м/с. по известным v_ох и v₁ можно получить v₂ = 280,2 м/с и угол b = 22°.

Задача 5. В покоящийся шар массой 1 кг, подвешенный на несжимаемом и невесомом стержне, закрепленном в подвесе на шарнире, попадает пуля массой 10 г, летящая со скоростью 400 м/с. угол между направлением полета и длиной стержня равен 45°. Удар центральный, пуля пробивает шар и вылетает со скоростью 200 м/с. диаметр шарика –10 см. Найти силу сопротивления пуле в шаре и угол отклонения шара от вертикали (l = 1 м).

Дано: l = 1 м v₁ = 400 м/с m = 10 г М = 1 кг a = 45° v₂ = 200 м/c d = 0,1 м

Решение

На основании закона сохраняется импульс тел:

откуда скорость шара после взаимодействия

м/с.

Работу силы сопротивления пуле рассчитаем из закона изменения механической энергии:

F_сопр = ? j = ?

Тогда

Для описания движения шара в поле тяготения Земли используем закон сохранения механической энергии:

м.

Из геометрических соображений

Отсюда j @ 26°.

Момент инерции

Движение твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного движения его центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс.

Вращательное движение – это такое движение, при котором все точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной линии, называемой осью вращения.

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции.

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование проводится по всему объему V.

Величина J является мерой инертности частицы во вращательном движении. Единица измерения момента инерции

Момент инерции зависит от распределения масс и от ориентации тела относительно координатных осей.

Для нахождения момента инерции J тела относительно произвольной оси применяют теорему Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J_o относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно заданной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями

Примеры решения задач

Задача 1. Вычислить момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

Решение

Направим ось ОХ вдоль стержня AB. Mасса элементарного отрезка длиной dx

где – масса единицы длины стержня.

Момент инерции элементарного отрезка длиной dx относительно оси

Момент инерции стержня

Задача 2. Вычислить момент инерции круглого однородного диска радиусом R и массой m относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр.

Решение

Выделим элементарное кольцо радиусом х и толщиной dx. Площадь этого кольца

а масса

где – масса единицы площади.

Момент инерции элементарного кольца относительно оси

Момент инерции диска относительно той же оси:

Задача 3. Вал в виде сплошного цилиндра массой m₁ = 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m₂ = 2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?

Дано: m₁ = 10 кг m₂= 2 кг

Решение

Линейное ускорение гири а равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности, и связано с угловым ускорением e вала соотношением

где r – радиус вала.

а = ?

Угловое ускорение вала согласно основному уравнению динамики вращающегося тела

(1)

где М – вращающий момент, действующий на вал;

J – момент инерции вала относительно оси вращения, совпадающий с его осью симметрии.

Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции

Вращающий момент, действующий на вал,

Найдем силу натяжения шнура Т по 2-му закону Ньютона:

или

Таким образом,

(2)

Подставив (2) в (1), получим:

Зная e, выразим

откуда

2,8 (м/с²).

Задача 4. По наклонной плоскости, образующей угол a с горизонтом, скатывается без трения и скольжения сплошной однородный диск. Найти линейное ускорение центра диска. Решить задачу в общем виде, полагая, что вначале диск был неподвижен.

Дано: a

Решение

а = ?

Пусть за t секунд центр тяжести диска прошел расстояние АВ = х от вершины наклонной плоскости, при этом потенциальная энергия диска уменьшилась на величину

По закону сохранения энергии эта энергия перешла в кинетическую энергию диска в точке А:

(1)

Кинетическая энергия диска складывается из кинетической энергии поступательного движения

(2)

и кинетической энергии вращательного движения т. е.

где J – момент инерции диска относительно оси, совпадающей с его геометрической осью;

; r – радиус диска; m – масса.

Скорость поступательного движения диска v и угловая скорость вращательного движения диска w связаны соотношением

откуда

(3)

Подставив (3) в (2), получим

или

Дифференцируя это уравнение по времени t, получим:

или

Задача 5. С какой скоростью должен въехать велосипедист в нижнюю точку мертвой петли радиусом R = 5 м, чтобы не сорваться вниз? Масса велосипедиста с велосипедом m = 100 кг, масса обоих колес m₁ = 5 кг. Трением пренебречь, массу колес считать сосредоточенной в ободьях.

Дано: m = 100 кг m₁ = 5 кг R = 5 м

Решение

v₀ = ?

На основании закона сохранения энергии , т. е.

(1)

где – момент инерции колес;

r – радиус колеса;

– угловая скорость колес в нижней точке петли ((·) В);

– угловая скорость колес в точке С.

По второму закону Ньютона

При N = 0 (условие обрыва)

(2)

Решая систему уравнений (1) и (2), получаем

м/с.

Задача 6. Тонкий однородный стержень длины l и массы m может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить угловое ускорение и угловую скорость при прохождении стержнем положения равновесия.

Дано: l, m

Решение

e = ? w = ?

На стержень действует сила тяжести, приложенная в центре масс, и сила реакции оси. Вращающий момент создает только сила тяжести, так как линия действия силы реакции проходит через ось вращения. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

(1)

где J – момент инерции стержня относительно оси О (по теореме Штейнера).

Если рассматривать движение стержня как движение в поле силы тяготения Земли, то по закону сохранения энергии

т. е.

(2)

Решая полученную систему уравнений (1) и (2), находим

Задача 7. Горизонтальная платформа массой 80 кг и радиусом
R = 1,00 м вращается вокруг вертикальной оси, делая п₁ = 30 об/мин. На краю платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. Какое число оборотов в минуту будет делать платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3,00 кг·м² до 0,50 кг·м²? Считать платформу круглым однородным диском.

Дано: R = 1,00 м т = 80 кг п₁ = 30 об/мин J₁ = 3,00 кг·м² J₂ = 0,50 кг·м²

Решение

По условию задачи платформа с человеком вращается с постоянной скоростью п₁, поэтому результирующий момент всех внешних сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Следовательно, для системы «платформа–человек» выполняется закон сохранения момента импульса:

(1)