Кинетическая энергия вращения

 

Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя частицами этого тела остается постоянным. В дальнейшем мы будем рассматривать только такого рода тела.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси, проходящей через него. Мысленно разобъем это тело на элементарные массы m₁, m₂, …, m_n, находящиеся на расстоянии r₁, r₂, …, r_n от оси вращения.

Угловая скорость этих материальных масс одинакова:

 

 

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных масс:

 

 

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

 

 

Для тела (колеса), катящегося по горизонтальной поверхности, энергия движения будет складываться из энергии поступательного движения и вращательного:

 

 

где m – масса катящегося тела;

v – скорость поступательного движения;

J – момент инерции;

w – угловая скорость вращения.

 

Момент силы. Допустим, что твердое тело а может вращаться вокруг некоторой неизвестной оси. Для того, чтобы вызвать вращение тела (изменить его угловую скорость), необходимо внешнее воздействие. Однако не всякая сила может вызвать вращение тела; например, сила F', направление которой проходит через ось вращения, или сила F", параллельная оси, не могут изменить угловую скорость вращения. Вращение может быть вызвано только силой F, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения.

Моментом силы относительно оси вращения называется векторная величина равная векторному произведению радиуса-вектора  проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор

 

Модуль момента силы

 

 

где a – угол между  и

 r · sina = l есть кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения и называется плечом силы.

Направление момента силы (вращающего момента) определяется по правилу правого винта.

Единица измерения момента силы

 

Н · м.

 

В случае действия нескольких сил результирующий момент сил равен векторной сумме моментов сил относительно оси:

 

 

При повороте тела на малый угол dj точка В пройдет путь  и работа

 

 

где a – угол между  и

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

 

но

поэтому

 

 

или                                    

 

Учитывая, что  а  получим

 

В векторной форме

или

                                           (1.12)

 

Уравнение (1.12) представляет основной закон динамики вращательного движения: угловое ускорение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, прямо пропорционально результирующему моменту всех сил и обратно пропорционально моменту инерции J относительно той же оси.

Моментом импульса материальной точки называется векторное произведение вектора  на импульс

 

 

где  или модуль

 

 

где J_i – момент инерции материальной точки;  a = 90°.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц:

 

т. е.

         (1.13)

 

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (1.13) по времени:

 

т. е.

                                           (1.14)

 

Уравнение (1.14) – еще одна форма закона динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси вращения равна моменту сил относительно той же оси.

Если мы имеем дело с замкнутой системой, то момент внешних сил  и  или  т. е.

 

                                           (1.15)

 

Выражение (1.15) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Из (1.15) следует, что если вращающаяся система может изменить момент инерции J под действием внутренних сил, то будет изменяться угловая скорость вращения w. Это правило используют танцоры, гимнасты при различного рода вращениях.

Сопоставим основные величины и уравнения динамики поступательного и вращательного движения тела вокруг неподвижной оси, что может помочь при рассмотрении практических задач.

 

Поступательное движение	Вращательное движение
Путь S Скорость   Ускорение   Масса m   Сила F   Импульс р = mv   Импульс силы F·t   Основное уравнение динамики:   или   Кинетическая энергия   Работа при перемещении   или	Угловой путь (угол поворота) j   Угловая скорость   Угловое ускорение   Момент инерции J   Момент силы М   Момент импульса L = Jw   Импульс момента силы М · t   Основное уравнение динамики:   или   Кинетическая энергия   Работа при вращении   или

Примеры решения задач

 

Задача 1. Вычислить момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

Решение

 

Направим ось ОХ вдоль стержня AB. Mасса элементарного отрезка длиной dx

 

где  – масса единицы длины стержня.

Момент инерции элементарного отрезка длиной dx относительно оси

 

.

Момент инерции стержня

 

Задача 2. Вычислить момент инерции круглого однородного диска радиусом R и массой m относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр.

 

Решение

Выделим элементарное кольцо радиусом х и толщиной dx. Площадь этого кольца     а масса

где  – масса единицы площади.

Момент инерции элементарного кольца относительно оси

 

 

Момент инерции диска относительно той же оси:

 

 

Задача 3. Вал в виде сплошного цилиндра массой m₁ = 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m₂ = 2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?

 

Дано: m1 = 10 кг m2 = 2 кг

Решение

 

Линейное ускорение гири а равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности, и связано с угловым ускорением e вала соотношением 

 

 

где r – радиус вала.