Полная работа, производимая всеми силами, действующими на частицу, равна изменению ее кинетической энергии.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 7Следующая ⇒

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей. Сила, действующая на тело, называется консервативной, если работа, совершаемая этой силой при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положения. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие на них, – консервативными. Работа консервативной силы по произвольной замкнутой траектории равна нулю. Примером консервативных сил является сила тяготения, сила упругости и др. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения из одной точки в другую, то такие силы называются диссипативными (неконсервативными); примером их являются силы трения.

Работа консервативных сил, приложенных к телу, равна изменению потенциальной энергии этого тела, взятому с обратным знаком, т. е.

так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии.

Поскольку работа dA есть скалярное произведение силы на перемещение то

(1.10)

Следовательно, если известна функция то (1.10) полностью определяет силу по модулю и направлению.

В случае консервативных сил

В векторном виде

где – орты в направлении координатных осей x, y, z.

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

где h – высота, отсчитанная от нулевого уровня, для которого Потенциальная энергия упруго деформированного тела (пружины):

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость).

Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия системы – энергия механического движения и взаимодействия:

В замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, механическая энергия не изменяется со временем:

(1.11)

Выражение (1.11) представляет собой закон сохранения механической энергии.

Примеры решения задач

Задача 1. Через неподвижный невесомый блок перекинута легкая нерастяжимая нить, к концам которой привязаны грузы m₁ и m₂. К грузу m₂ привязан на нити груз m₃. Определить натяжение нитей и ускорение тел.

Дано: m₁; m₂; m₃

Решение

Будем считать, что m₁ < m₂ + m₃, тогда ускорения будут направлены так, как показано на рисунке. Расставим силы, действующие на каждое тело в отдельности, и запишем второй закон Ньютона для каждого тела:

а = ?

Оси у₁ и у₂, на которые будем проектировать векторные уравнения, выберем направленными по ускорениям тел. После проектирования получим систему уравнений:

Решая полученную систему уравнений, находим

Задача 2. Определить натяжение нити и тангенциальное ускорение математического маятника массой m, когда он проходит положение, определяемое углом a с вертикалью, если его скорость в этот момент равна v, длина нити l.

Дано:

m, l, v, a

Решение

Второй закон Ньютона имеет вид

Проектируя векторное уравнение второго закона Ньютона на оси х и у, получим систему уравнений:

F_H = ? а_t = ?

(1)

(2)

Учитывая, что где R = l – радиус окружности, по которой движется маятник, получим

Из второго уравнения найдем тангенциальное ускорение

Задача 3. Автомобиль, двигаясь равноускоренно, на участке пути 100 м набрал скорость72 км/ч. Определить работу двигателя автомобиля на этом участке, если его масса с грузом 1800 кг, а коэффициент трения 0,05. Определить среднюю мощность автомобиля.

Дано: v₀ = 0 S = 100 м v = 72 км/ч = 20 м/с k = 0,05 m = 1800 кг

Решение

А = ?

= ?

На основании уравнений динамики в проекциях на оси х и у:

Сила трения а сила тяги двигателя

Так как движение автомобиля прямолинейное равноускоренное, то

откуда

Окончательное выражение для работы:

Средняя мощность áРñ = F_тяги · ávñ. Если скорость изменяется линейно, то средняя скорость определяется по формуле

м/с.

Итак, áРñ = (ma + kmg) ávñ = 45 · 10³ Вт.

Задача 4. Из оружия произведен выстрел под углом a = 30° к горизонту со скоростью v₀ = 100 м/с. в верхней точке траектории движения пуля разорвалась на две части: m₁ = 2m₂. Осколок m₁ полетел вертикально вниз и через 2 с достиг поверхности Земли. В каком направлении и с какой скоростью полетел второй осколок? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: t = 2 c m₁ = 2m₂ v₀ = 100 м/c a = 30°

Решение

В точке разрыва импульс пули направлен горизонтально. В результате взрыва скорости осколков изменяются. Это происходит под действием внутренних сил, которые значительно больше, чем внешние силы (тяжести). В этом случае систему, состоящую из двух осколков, можно считать замкнутой.

На основании закона сохранения импульса тел:

b = ? v₁ = ? v₂ = ?

откуда

следовательно,

то

Для окончательных результатов необходимо рассчитать максимальную высоту подъема Н.

откуда

Величина v₁ определяется по известным Н и t – времени движения до поверхности из уравнения м/с. по известным v_ох и v₁ можно получить v₂ = 280,2 м/с и угол b = 22°.

Задача 5. В покоящийся шар массой 1 кг, подвешенный на несжимаемом и невесомом стержне, закрепленном в подвесе на шарнире, попадает пуля массой 10 г, летящая со скоростью 400 м/с. угол между направлением полета и длиной стержня равен 45°. Удар центральный, пуля пробивает шар и вылетает со скоростью 200 м/с. диаметр шарика –10 см. Найти силу сопротивления пуле в шаре и угол отклонения шара от вертикали (l = 1 м).