|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
КРАТКИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯСтр 1 из 6Следующая ⇒
КРАТКИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Сопротивление материалов – одна из основных инженерных дисциплин, изучаемых в высших технических учебных заведениях. Занятия по курсу должны сопровождаться составлением конспекта лекций, решением задач на практических занятиях и выполнением лабораторных работ. Программой курса также предусматривается выполнение расчетно-графических работ (РГР). Данные для выполнения контрольных работ студент выбирает в соответствии с личным номером, которым являются три последние цифры зачетной книжки. Личный номер необходимо представить в виде сотен, десятков и единиц и из таблиц заданий выписать данные, соответствующие полученным числам сотен, десяток и единиц. Например (см. табл. 1), личный номер студента 320 представляем в виде 320 = № 300 + № 20 + № 0. Последняя цифра № 0 соответствует номеру расчетной схемы, под № 20 берем числовые значения Р1 = 1400 кН и Р2 = 800 кН, под № 300 – а = 1,2 м, b = 1,4 м. Расчетно-графические работы следует выполнить на листах писчей бумаги четким почерком. Перед решением каждой задачи надо выписать ее условие с числовыми данными, аккуратно нарисовать эскиз в масштабе и указать на нем в числах все величины, необходимые для расчета. Необходимо указывать размеры всех величин. Арифметические расчеты производятся до 3-х значащих цифр, а окончательные ответы округляются до 2-х значащих цифр. РГР № 1. РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ Требуется произвести расчеты статически определимого (а) и статически неопределимого (б) ступенчатого стержня, находящегося под действием продольных сил. Материал стержня - сталь с модулем упругости Е = 2 × 105 МПа. Расчетные схемы стержней представлены на рис. 1, числовые данные указаны в табл. 1. Площади поперечных сечений стержней следующие: широкая ступень имеет площадь сечения 50 см2, узкая – 40 см2. Линейные и поперечные размеры стержней в статически неопределимой задаче такие же, как и для статически определимой схемы. При решении задачи схему стержня следует изобразить вертикально.
Рис. 1. Расчетные схемы к РГР № 1 Таблица 1 Числовые данные к РГР "Расчет стержня"
Последовательность выполнения РГР № 1 1. Вычертить схему стержня с приложенными силами, соблюдая масштаб размеров по длине. Проставить числовые значения размеров и сил. 2. Изобразить реакции в заделках и вычислить их величину. 3. Установить число участков. Под участком понимают часть стержня, в пределах которой не изменяются ни продольная сила, ни площадь поперечного сечения (F). Каждый участок пронумеровать. 4. Для каждого участка вычислить величину продольной силы (Nz) с учетом знака. Растягивающая сила имеет знак "+", сжимающая "-". Построить эпюру продольных сил с указанием числовых значений. 5. Вычислить величины нормальных напряжений (s) на каждом участке и построить их эпюру. 6. Вычислить величину продольной деформации (Dli) для каждого участка, построить эпюру деформаций по длине стержня. Деформация удлинения имеет знак "+", а укорочения "-". 7. Рассчитать, на какую величину изменится длина всего стержня. Пример решения РГР № 1 1. Вычерчиваем эскиз стержня с приложенными силами, выдерживая масштаб размеров по его длине (рис. 2). 2. Число участков стержня – 3. 3. Вычисляем на каждом участке величину продольной силы. Участок I: Участок II: Участок III: Эпюра продольных сил показана на рис. 2, а. Реакция в заделке составила RА = 300 кН. Произведем проверку. Сумма всех внешних сил, приложенных к стержню, равна "0": 4. Рассчитываем напряжения для каждого участка стержня по формуле si = Ni/Fi, (рис. 2, б).
Рис. 2. Пример построения эпюр Nz, s, Dl
5. Рассчитываем абсолютные деформации каждого участка.
6. Для построения эпюры продольной деформации стержня следует начало координат поместить в заделке (рис. 2, в). На границе между III и II участком укорочение стержня составит 0,3 мм, на границе II и I участка абсолютная деформация составит Схема статически неопределимого стержня показана на рис. 3. Наличие двух заделок на концах стержня создает две реакции RA и R В, эти силы являются внешними и для их определения недостаточно использовать только уравнение статики Необходимо ввести еще одно дополнительное уравнение, которое составим на основании деформаций стержня.
Стержень расположен между двумя жесткими заделками, поэтому его длина не может измениться. Второе уравнение, которое позволит раскрыть статическую неопределимость – уравнение совместности перемещений.
Подставляем в это уравнение деформации участков с численными значениями, из чего определим неизвестную реакцию RВ. Величину Е в этом уравнении можно не учитывать.
Приводим уравнение к общему знаменателю, решаем его и находим, что R В = - 271,84 кН. Знак "-" указывает на то, что принятое направление реакции следует изменить в обратную сторону. Реакцию в заделке А определим из уравнения статики
Определение величины продольной силы, напряжений и деформаций для статически неопределимого стержня проводится по той же методике, что и для статически определимого стержня. Эпюры сил, напряжений и деформаций показаны на рис. 4.
Условие
Пример решения РГР № 3 Рассмотрим две балки – консольную балку и балку на двух опорах. Для консольной балки (рис. 7) опорные реакции в заделке не вычисляются, т. к. построение эпюр начинается со свободного конца балки. Первый участок 0 £ z1 £ 4 м. Поперечная сила:
при z1 = 0 Q1 = - 30 кН, при z1 = 4 м Q1 = 10 кН; при z1 = z0 = Р/q = 3 м Q1 = 0.
Расчетная схема балки на двух опорах представлена на рис. 8.
Первый участок 0 £ z1 £ 1 м.
Второй участок 0 £ z2 £ 1 м.
Третий участок 0 £ z3 £ 2 м.
Эпюра моментов имеет вид квадратичной параболы, максимум которой находится при z3 = 1,8 м.
Четвертый участок 0 £ z4 £ 1 м. Для четвертого участка необязательно записывать уравнения сил и моментов, достаточно соединить точки значений сил и моментов на 3-м и 2-м участках. Рассмотрим подбор прямоугольного поперечного сечения на примере консольной балки. Условие прочности балки по нормальным напряжениям: Из эпюр Qy и Mz следует, что М max = 45 кН×м, Qmax = 30 кН. Для консольной балки определяем угол поворота и прогиб концевого сечения методом начальных параметров. Начало координат устанавливаем в заделку (рис. 9). Начальные параметры – угол поворота в заделке q0 = 0 и прогиб в заделке y0 = 0. Уравнение для определение угла поворота сечения В примет вид: = 1,5×105 МПа, осевой момент инерции прямоугольного сечения Jх = 7,43×10-7 м4. Окончательно qВ = 0,19 рад » 110.
Пример решения РГР № 3 Балка неразрезная Схема неразрезной балки показана на рис. 13, а. Система дважды статически неопределимая. На рис. 13, б приведена основная система, которая получена путем отбрасывания "лишних" связей и размещения на их месте шарниров, которые приводят к возникновению моментов Х1 и Х2. К основной системе прикладываем заданные нагрузки и получаем эквивалентную систему (рис. 13, в). Составим канонические уравнения метода сил. Т. к. система дважды статически неопределимая, то имеем два уравнения.
Определим коэффициенты в канонических уравнениях, используя правило Верещагина. На рис. 13, г - д показаны эпюры единичных моментов Х1 = 1 и Х2 = 1, а на рис. 13, е – эпюры моментов внешних сил. Буквой "v" обозначены площади эпюр, которые представляют собой геометрические фигуры (треугольники и парабола), буквой "у" обозначены ординаты центров тяжести эпюр. Для определения коэффициентов "d" необходимо произвести перемножение "единичных" эпюр (рис. 14).
Рис. 13
Рис. 14
Для определения перемещений D1р и D2р произведем перемножение площадей грузовых эпюр на ординаты единичных эпюр, соответствующих абсциссе центра тяжести грузовых эпюр (рис. 15).
Рис. 15
Подставим полученные значения в канонические уравнения метода сил, сократим на 1/EJ.
Решив систему уравнений, получим значения неизвестных моментов: Х1 = = - 31 кН×м, Х2 = - 26 кН×м. Знак "-" указывает на то, что первоначально принятое направление моментов Х1 и Х2 следует изменить на обратное направление. Строим эпюры усилий. Рассматриваем каждый пролет балки как самостоятельную двухопорную балку, загруженную внешними силами и моментами Х1 и Х2. Для каждой балочки определяем реакции опор и строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 16). Балочка № 1 Реакции в опорах определим из уравнений статики:
Проверка: Уравнения поперечных сил и изгибающих моментов (справа):
Балочка № 2 Реакции в опорах:
Проверка: Уравнения поперечных сил и изгибающих моментов (справа):
Рис. 16
Балочка № 3 Реакции в опорах:
Проверка: Уравнения поперечных сил и изгибающих моментов: 0 £ z1 £ 3.
0 £ z2 £ 1,5.
Реакции в опорах определяются путем суммирования реакций в балочках: RА = 24,83 кН, RВ = Проверка правильности нахождения реакций:
Соединяем полученные эпюры в одну, строим примерный вид изогнутой оси балки (рис. 17). Проверка правильности решения системы производится с применением метода начальных параметров и определения вертикальных перемещений в точках А, В, С и D.
Рис. 17 Балка с жесткой заделкой Расчетная схема представлена на рис. 18, а. Система является один раз статически неопределимой, т. к. она имеет три неизвестные реакции опоры, а использовать для их определения мы может только два уравнения статики. Приняв реакцию опоры RВ за "лишнюю" неизвестную Х, получим основную систему в виде консоли, нагрузив которую распределенной нагрузкой q, моментом М и неизвестной реакцией Х, получим эквивалентную схему (б). Каноническая форма уравнение перемещений для рассматриваемой схемы имеет вид: Прогиб от внешней нагрузки (грузовая система рис. 18, в) определим по правилу Верещагина: где Определив величины площадей и ординат, получим значение перемещения от внешних нагрузок М и q: Прогиб от единичной нагрузки определим, перемножив единичную эпюру саму на себя: Подставим в каноническое уравнение метода сил найденные значения перемещений и определим величину неизвестной реакции Х.
Определив значение реакции RВ = 34,5 кН, строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 19), изображаем примерный вид изогнутой оси балки. Реакции в заделке RA = 37,5 кН, mА = 49 кН×м. Начало координат помещаем в точку А и составляем уравнение прогиба для точки В. Начальные параметры у0 = 0, q0 = 0 (жесткая заделка), z = 6 м.
Таким образом, система решена правильно, вертикальное перемещение в опоре В равно нулю.
Рис. 18
Рис. 19
РГР № 4. РАСЧЕТ ВАЛА Схемы валов представлены на рис. 20, числовые данные – в табл. 6. Последовательность выполнения РГР № 5 1. Вычертить схему вала, соблюдая масштаб длин, и проставить заданные размеры. 2. Определить мощность на всех элементах вала. 3. Вычислить величины моментов и определить их направления. 4. Определить величины усилий на ведущем и ведомых элементах вала. 5. Составить пространственную схему вала со всеми приложенными к нему нагрузками, включая собственный вес. 6. Привести нагрузки к оси вала и разложить их на вертикальные и горизонтальные составляющие. 7. Построить эпюры изгибающих моментов, действующих в горизонтальной и вертикальной плоскостях, эпюру полных изгибающих моментов, а также эпюру крутящих моментов. 8. По эпюрам изгибающих и крутящих моментов установить опасное сечение. 9. По заданной величине временного сопротивления материала вала вычислить допускаемые напряжения, приняв коэффициент запаса прочности n = 10. 10. По третьей теории прочности вычислить диаметр вала в опасном сечении и округлить до ближайшего значения по стандартному ряду. 11. Вычертить эскиз вала. 12. Произвести проверку прочности вала при переменных напряжениях. Вычислить истинную величину основного коэффициента запаса прочности k0. Диаметр вала считается выбранным правильно, если k0 = 1,5¸1,8. 13. Если коэффициент запаса прочности оказался неудовлетворительным, то необходимо произвести перерасчет диаметра вала по формуле:
Рис. 20. Расчетные схемы к РГР № 5 Таблица 6 Числовые данные для РГР № 5
Пример решения РГР № 5 Дано N1 = 60 кВт, a = 450, n = 1600 об/мин, sВ = 560 МПа. Схема вала представлена на рис. 23. Определить величину диаметров вала.
Рис. 23. Расчетная схема вала
1. Определяем мощность на левом зубчатом колесе. Ведущим является шкив клиноременной передачи. Сумма мощности на ведущей детали равна сумме мощностей на ведомых: N2 = 60 - 15 = 45 кВт. 2. Вычисляем величину крутящих моментов, используя формулу: На левом зубчатом колесе: На правом зубчатом колесе: На шкиве: Контроль правильности определения моментов:
3. Определяем величину усилий, приложенных к деталям, закрепленных на валу. На левом зубчатом колесе:
На правом зубчатом колесе:
На шкиве клиноременной передачи:
4. Составим пространственную схему вала со всеми приложенными к валу нагрузками: усилиями на зубчатых колесах, натяжением ветвей ремня и собственным весом укрепленных на валу деталей (рис. 24). Окружное усилие на зубьях зубчатых колес направим в ту сторону, в которую действует момент на соответствующем колесе. 5. Раскладываем все силы на вертикальные и горизонтальные составляющие и приводим их к оси вала (рис. 24).
Рис. 24. Схема нагрузок, приведенных к оси вала
6. Вычисляем числовые значения нагрузок в горизонтальной и вертикальной плоскостях:
7. Изображаем схемы нагрузок в вертикальной плоскости (рис. 25, а). Вычисляем значения опорных реакций:
Производим проверку правильности определения опорных реакций: Строим эпюру изгибающих моментов, действующих в вертикальной плоскости. На опоре А величина момента равна 8. Изображаем схемы нагрузок в горизонтальной плоскости (рис. 25, б). Вычисляем значения опорных реакций:
Производим проверку правильности определения опорных реакций:
Строим эпюру изгибающих моментов в горизонтальной плоскости. На опоре А величина момента 9. Строим эпюру полных изгибающих моментов МS (рис. 25, в). На опоре А На опоре В Под правым зубчатым колесом 10. Составляем схему крутящих моментов, действующих на вал, и строим эпюру моментов (рис. 25, г). Справа на шкиве действует крутящий момент М1 = 358,3 Н×м, в сечении вала, на котором расположено зубчатое колесо, происходит скачок моментов на величину 89,6 Н×м. 11. По эпюрам изгибающих и крутящих моментов устанавливаем опасное сечение – в нашем примере это сечение опоры В напротив шкива клиноременной передачи. В опасном сечении М = 1405,7 Н×м, МК = 358,3 Н×м. 12. Вычисляем величину допускаемых напряжений по указанному в задании временному сопротивлению:
Рис. 25. Схема расчета моментов в сечениях вала
14. Диаметры других участков вала выбираем по конструктивным соображениям так, чтобы длины и диаметры участков соответствовали ГОСТ 12080-66 (рис. 26).
Рис. 26. Эскиз проектируемого вала
15. Проверку прочности вала при переменных напряжениях производим по опасному сечению: М = 1405,7 Н×м, МК = 358,3 Н×м, d = 65 мм. Концентраторы напряжений – галтель и посадка подшипника. 16. Вычисляем величину номинальных напряжений. Наибольшие номинальные напряжения от изгибающего момента: Наибольшие номинальные напряжения от крутящего момента: Нормальные напряжения от изгибающего момента при вращении вала меняются по симметричному циклу. smax = sМ = 51,2 МПа; smin = - sМ = - 51,2 МПа; среднее напряжение цикла sm = 0; амплитуда цикла sа = sМ = 51,2 МПа, коэффициент асимметрии R = - 1. Касательные напряжения в нереверсивных валах меняются по отнулевому циклу. tmax = t = 6,5 МПа; tmin = 0; среднее напряжение цикла tm = 0,5t = 3,25 МПа; амплитуда цикла tа = 0,5t = 3,25 МПа, коэффициент асимметрии R = 0. 17. Устанавливаем величину пределов выносливости и коэффициентов. Из табл. 7 для стали с sВ = 560 МПа (это соответствует стали 45) устанавливаем s-1 = 250 МПа, t-1 = 150 МПа, коэффициенты влияния асимметрии цикла -
Концентраторами напряжений в опасном сечении являются галтель и посадка подшипника. Из табл. 8 для стали с sВ = 560 МПа определяем значения эффективных коэффициентов концентрации напряжений: для галтели Для дальнейших расчетов принимаем максимальные значения коэффициентов Коэффициенты влияния абсолютных размеров выбираем из табл. 9. Для диаметра вала 65 мм, изготовленного из углеродистой стали Коэффициенты состояния поверхности выбираем из табл. 10. Для шлифования 18. Вычисляем фактический основной коэффициент запаса прочности:
Рис. 28. Схема стержня для задачи № 6.2
1. Вычертить расчетную схему сжатой стойки и эскиз профиля поперечного сечения. 2. Для первой попытки назначают j = 0,5, вычисляют площадь поперечного сечения и из таблиц сортаментов прокатной стали выбирают ближайшее сечение. 3. Проверяют пригодность выбранного сечения, сопоставив фактическое нормальное напряжение с допускаемым напряжением на устойчивость. При этом перегрузка не должна превышать 5 %. 4. После того, как сечение подобрано, для сечений с условием Jmin = = Jmax необходимо вычислить размер е, т. е. расстояние, на которое надо раздвинуть элементы профиля для обеспечения равенства главных моментов инерции. При расчетах на устойчивость поперечные размеры центрально сжатого стержня выбирают по формуле: F – площадь поперечного сечения, [sу] – допускаемое напряжение при расчетах на устойчивость, [s] – допустимое напряжение при расчетах на сжатие, j - коэффициент уменьшения допускаемых напряжений. Так как [sу] и j зависят от длины стержня, способа крепления концов, площади поперечного сечения и момента инерции, а кроме того эти зависимости разного вида для стержней большой, средней и малой гибкости, то из приведенного выше уравнения прямым расчетом невозможно определить F и назначить размеры поперечного сечения. Поэтому задачу подбора размеров поперечного сечения при расчетах на устойчивость решают методом последовательных приближений. При первой попытке назначают j = 0,5, вычисляют площадь F и выбирают размеры поперечного сечения, соответствующие этой площади. Далее проверяют пригодность выбранных размеров. Для этого: а) по принятым размерам вычисляют площадь поперечного сечения F; б) вычисляют минимальный главный центральный момент инерции Jmin; в) вычисляют минимальный радиус инерции
е) вычисляют допускаемые напряжения на устойчивость ж) вычисляют величину напряжений сжатия з) сопоставляют напряжения сжатия с допускаемыми напряжениями на устойчивость и) вычисляют расхождение напряжений Если расхождение меньше 5 %, то выбранные размеры считают удовлетворительными и на этом заканчивают подбор размеров поперечного сечения. Если расхождение больше 5 %, то выбирают новые размеры поперечного сечения и повторяют проверку. При второй и последующих попытках удобнее сразу назначать новые размеры поперечного сечения. Если напряжения s больше допускаемых [sу], то размеры поперечного сечения надо увеличить, и наоборот. Площадь поперечного сечения при каждой следующей попытке удобнее изменять на величину 0,5Fd, где F – ранее выбранная площадь поперечного сечения, а d - расхождение напряжений. Расчеты производят до тех пор, пока не найдется такой размер, для которого расхождение напряжений будет меньше 5 %. Либо найдем два таких соседних стандартных размера, для меньшего из которых напряжения сжатия превышают допускаемые больше чем на 5 %, а для большего – напряжения сжатия меньше допускаемых с расхождением больше 5 %. При расчете составного сечения (рис. 30) главные центральные моменты инерции вычисляют по формуле: а) вычерчивают профиль поперечного сечения; б) отмечают центр тяжести всего профиля поперечного сечения (0), через который проводят главные оси Х и У; в) отмечают центры тяжести каждой отдельной части составного профиля, через которые проводят оси (х1, у1,...); г) определяют расстояния между параллельными осями (а1, а2,… b1, b2,…);
Таблица 12 Значения коэффициентов j для разных материалов
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Александров, А. В. Сопротивление материалов [текст] : учебник для вузов / А. В. Александров. – М. : Высш. шк., 2003. – 560 с.* 2. Александров, А. В. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности [текст] : учебник для студ. строит. вузов/ А. В. Александров. – М. : Высш. шк., 2002. – 399 с.* 3. Введение в сопротивление материалов [текст] : учебное пособие / под ред. Б. Е. Мельникова Б. Е. – СПб., 2002 – 160 с.* 4. Дарков А. В. Сопротивление материалов [текст] : учебник / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. – М. : Высш. шк., 2003. – 286 с.* 5. Долинский, Ф. В. Краткий курс сопротивления материалов [текст] : учеб. пособие / Ф. В. Долинский. – М. : Высш. шк., 1988. – 160 с.* 6. Саргсян. А. Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности [текст] / А. Е. Саргсян. – М. : Высш. шк., 2000. – 286 с.* Учебное издание Зинаида Ильинична Кормщикова СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Контрольные задания и методические указания по выполнению самостоятельных расчетно-графических работ для студентов очной формы обучения специальностей АДиА, АиАХ, МиОЛК, МСХ, СТиТМиО, ЭиАСХ Смакетировано на кафедре технической механики Компьютерная верстка – З. И. Кормщикова Лицензия КР № 0037 от 20.10.97 Редакционно-издательский отдел СЛИ СПбГЛТА. Подписано в печать . Бумага офсетная. Формат 60х90 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Тираж . Заказ №.
Сыктывкарский лесной институт (СЛИ) 167981, г. Сыктывкар, ул. Ленина, 39.
Отпечатано в типографии СЛИ 167981, г. Сыктывкар, ул. Ленина, 39. КРАТКИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Сопротивление материалов – одна из основных инженерных дисциплин, изучаемых в высших технических учебных заведениях. Занятия по курсу должны сопровождаться составлением конспекта лекций, решением задач на практических занятиях и выполнением лабораторных работ. Программой курса также предусматривается выполнение расчетно-графических работ (РГР). Данные для выполнения контрольных работ студент выбирает в соответствии с личным номером, которым являются три последние цифры зачетной книжки. Личный номер необходимо представить в виде сотен, десятков и единиц и из таблиц заданий выписать данные, соответствующие полученным числам сотен, десяток и единиц. Например (см. табл. 1), личный номер студента 320 представляем в виде 320 = № 300 + № 20 + № 0. Последняя цифра № 0 соответствует номеру расчетной схемы, под № 20 берем числовые значения Р1 = 1400 кН и Р2 = 800 кН, под № 300 – а = 1,2 м, b = 1,4 м. Расчетно-графические работы следует выполнить на листах писчей бумаги четким почерком. Перед решением каждой задачи надо выписать ее условие с числовыми данными, аккуратно нарисовать эскиз в масштабе и указать на нем в числах все величины, необходимые для расчета. Необходимо указывать размеры всех величин. Арифметические расчеты производятся до 3-х значащих цифр, а окончательные ответы округляются до 2-х значащих цифр. РГР № 1. РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ Требуется произвести расчеты статически определимого (а) и статически неопределимого (б) ступенчатого стержня, находящегося под действием продольных сил. Материал стержня - сталь с модулем упругости Е = 2 × 105 МПа. Расчетные схемы стержней представлены на рис. 1, числовые данные указаны в табл. 1. Площади поперечных сечений стержней следующие: широкая ступень имеет площадь сечения 50 см2, узкая – 40 см2. Линейные и поперечные размеры стержней в статически неопределимой задаче такие же, как и для статически определимой схемы. При решении задачи схему стержня следует изобразить вертикально.
Рис. 1. Расчетные схемы к РГР № 1 Таблица 1 Числовые данные к РГР "Расчет стержня"
Последовательность выполнения РГР № 1 1. Вычертить схему стержня с приложенными силами, соблюдая масштаб размеров по длине. Проставить числовые значения размеров и сил. 2. Изобразить реакции в заделках и вычислить их величину. 3. Установить число участков. Под участком понимают часть стержня, в пределах которой не изменяются ни продольная сила, ни площадь поперечного сечения (F). Каждый участок пронумеровать. 4. Для каждого участка вычислить величину продольной силы (Nz) с учетом знака. Растягивающая сила имеет знак "+", сжимающая "-". Построить эпюру продольных сил с указанием числовых значений. 5. Вычислить величины нормальных напряжений (s) на каждом участке и построить их эпюру. 6. Вычислить величину продольной деформации (Dli) для каждого участка, построить эпюру деформаций по длине стержня. Деформация удлинения имеет знак "+", а укорочения "-". 7. Рассчитать, на какую величину изменится длина всего стержня. Пример решения РГР № 1 1. Вычерчиваем эскиз стержня с приложенными силами, выдерживая масштаб размеров по его длине (рис. 2). 2. Число участков стержня – 3. 3. Вычисляем на каждом участке величину продольной силы. Участок I: Участок II: Участок III: Эпюра продольных сил показана на рис. 2, а. Реакция в заделке составила RА = 300 кН. Произведем проверку. Сумма всех внешних сил, приложенных к стержню, равна "0": 4. Рассчитываем напряжения для каждого участка стержня по формуле si = Ni/Fi, (рис. 2, б).
Рис. 2. Пример построения эпюр Nz, s, Dl
5. Рассчитываем абсолютные деформации каждого участка.
6. Для построения эпюры продольной деформации стержня следует начало координат поместить в заделке (рис. 2, в). На границе между III и II участком укорочение стержня составит 0,3 мм, на границе II и I участка абсолютная деформация составит Схема статически неопределимого стержня показана на рис. 3. Наличие двух заделок на концах стержня создает две реакции RA и R В, эти силы являются внешними и для их определения недостаточно использовать только уравнение статики Необходимо ввести еще одно дополнительное уравнение, которое составим на основании деформаций стержня.
Стержень расположен между двумя жесткими заделками, поэтому его длина не может измениться. Второе уравнение, которое позволит раскрыть статическую неопределимость – уравнение совместности перемещений.
Подставляем в это уравнение деформации участков с численными значениями, из чего определим неизвестную реакцию RВ. Величину Е в этом уравнении можно не учитывать.
Приводим уравнение к общему знаменателю, решаем его и находим, что R В = - 271,84 кН. Знак "-" указывает на то, что принятое направление реакции следует изменить в обратную сторону. Реакцию в заделке А определим из уравнения статики
Определение величины продольной силы, напряжений и деформаций для статически неопределимого стержня проводится по той же методике, что и для статически определимого стержня. Эпюры сил, напряжений и деформаций показаны на рис. 4.
Условие
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-19; Просмотров: 232; Нарушение авторского права страницы
Схема 0
Схема 1
Схема 2
Схема 3
Схема 4
Схема 5
Схема 6
Схема 7
Схема 8
Схема 9
кН (растяжение)
кН.
кН (сжатие).
= 0.
МПа,
МПа.
МПа.
м.
м.
м.
мм. Концевое сечение стержня сместится на 
мм. Следовательно, под действием внешних сил стержень удлинился на 3,48 мм.
. 
.
Рис. 3. Расчетная схема статически неопределимого стержня
.
II участок
.
III участок
.
IV участок
.
V участок
.
.
.
.
, R А = 971,84 кН. Знак «+» указывает на то, что принятое направление реакции R А выбрано верно.
Рис. 4. Эпюры продольных сил, напряжений и деформаций для статически неопределимого стержня
выполняется, следовательно, продольные силы и деформации стержня определены верно.
,
Рис. 7. Консольная балка
,
при z1 = 0 М1 = 0,
при z1 = 4 м М1 = 40 кН×м;
при z0 = Р/q = 3 м М1 = Mmax = 45 кН×м.
Эпюра изгибающего момента на первом участке имеет форму квадратичной параболы, выпуклость которой направлена навстречу q.
Второй участок 0 £ z2 £ 2 м.
Поперечная сила:
= 10 кН.
Изгибающий момент:
,
при z2 = 0 М2 = 10 кН×м,
при z2 = 2 м М2 = - 10 кН×м.
Рис. 8. Балка на двух опорах
.
кН.
кН.
Проверка: 
.
Балка имеет 4 участка. Составляем для каждого участка уравнения поперечных сил и изгибающих моментов.
кН.
, при z1 = 0 М1 = 0, при z1 = 1 м М1 = 22 кН×м.
кН.
, при z2 = 0 М2 = - 8 кН×м, при z2 = 1 м М2 = 14 кН×м.
, при z3 = 0 Q3 = 18 кН, при z3 = 2 м Q3 = - 2 кН, Q3 = 0, при z3 = 1,8 м.
, при z3 = 0 М3 = 0, при z3 = 1,8 м М3 = 16,2 кН×м, при z3 = 2 м М3 = 16 кН×м.
. Условие прочности балки по касательным напряжениям: 
.
м2. Момент сопротивления прямоугольного сечения 
, выразив сторону b через h, получим 
. Требуемая высота балки составит: 
0,188 м. Округляем до четного числа и получаем h = 0,19 м. Ширина балки составит b = 0,13 м. Проверим условие прочности по нормальным напряжениям: 
= 57,5 МПа меньше допускаемых 
= 60 МПа. Проверим условие прочности по касательным напряжениям: 
= 1,8 МПа, что значительно меньше допустимых 
= 40 МПа.
. После подстановки известных значений получим: 
рад. Модуль упругости чугуна Е =
Рис. 9.
. 
= 0,663 м.
,
.
,
,
.
,
.
,
.
кН;
кН.
.
, 
, при z = 2,483 м поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент достигает максимального значения (30,83 кН×м).
кН;
кН.
.
; 
.
кН;
кН.
.
.
.
= 35,17 - 4,17 = 31 кН, 
= 4,17 + + 29,33 = 33,5 кН, RD = 50,67 кН.
.
. Из формулы имеем: 
.
,
– площадь прямоугольника, определяемого как произведение его сторон, 
- площадь параболы как геометрической фигуры, определяемая произведением 1/3 ее сторон, у2 и у3 – ординаты центров тяжести прямоугольника и параболы, исходя из пропорций в прямоугольном треугольнике у2 = у3 = 3/4× l.
.
, где 
- площадь единичной эпюры, выражаемая площадью прямоугольного треугольника, 
- ордината центра тяжести единичной эпюры. Тогда 
.
кН.
.
, где dо – ранее принятый диаметр вала, k – требуемая величина коэффициента запаса прочности, обычно принимают k = = 1,65, kо – значение коэффициента, полученного при расчете. Вновь найденное значение диаметра вала округляют до ближайшего по ГОСТу и выбирают диаметры для остальных участков вала.
;
.
268,7 Н×м.
89,6 Н×м.
358,3 Н×м.
, 358,3 - 89,6 - 268,7 = 0.
Н.
Н.
Н.
кН.
Н.
Н.
= 5068,9 Н,
= 4868,9 Н,
,
= - 2283,4 Н,
= - 427,8 Н,
= - 208,1 Н.
,
Н.
,
Н.
.
Н×м. На опоре В величина момента равна 
Н×м. В точке приложения силы Y3 величина момента равна 
Н×м.
Н,
Н.
.
.
Н×м. На опоре В величина момента равна 
Н×м. В точке приложения силы Х3 величина момента равна 
Н×м.
Н×м.
Н×м.
Н×м.
МПа.
13. Вычисляем диаметр вала по третьей теории прочности: 
, 
, 
0,064 м. По стандартному ряду принимаем d = 65 мм.
= 51,2 МПа.
= 6,5 МПа.
= 0, 
= 0.
для посадки подшипников 
.
.
, 
, 
.
, 
. Значение коэффициента запаса прочности не вышло за допустимые пределы kо = 1,5 ¸ 1,8, следовательно, диаметры вала пересчитывать не надо, и все размеры вала остаются такими, какие были приняты.
, где Р – сжимающая сила,
;
Рис. 29. Схемы крепления концов стержня
, где m - коэффициент, учитывающий способ крепления стержня (рис. 29);
д) по гибкости l (табл. 12) находят величину коэффициента j. Для неуказанных в таблице значений l коэффициент j определяют линейной интерполяцией: 
;
;
;
;
.
, где Ji – момент инерции каждой отдельной части площади поперечного сечения относительно собственной центральной оси, параллельной центральной оси всего сечения, ai – расстояние между параллельными центральными осями отдельной части поперечного сечения и всего сечения, Fi – площадь сечения. При расчете моментов инерции составного сечения поступают следующим образом:
Рис. 30. Схема составного сечения.
Рис. 31.
.